不动点定理在微分方程中的应用

不动点定理在微分方程中的应用

摘要：本文在简介不动点定理的重要结论的基础上,重点研究了利用Banach压缩映射原理来证明Picard定理和Schauder不动点定理来证明Peano解的存在性定理,并且利用Banach压缩映射原理和Schauder定理进一步来研究不动点定理在微分方程中应用.

关键词：不动点定理;Banach压缩映射原理;Schauder不动点定理;微分方程

一引言

不动点定理是泛函分析理论的重要组成部分,我们可以看到多种不同形式的不动点定理,不动点定理在自然科学中有着广泛的应用.在文献[1]中利用Picard的逐次迭代法来证明微分方程初值问题解的存在和唯一性定理;在文献[2]中利用Schauder不动点定理和不等式证明了积分方程解的存在和唯一性;在文献[3]中作者用Banach不动点定理来简化了Picard 定理的证明,并且利用Leray—Schauder不动点定理以此说明了不动点定理在微分方程中的应用.在文献[7]中作者用分析方法讨论两类不动点定理即Banach压缩映像原理和Schauder 不动点定理分别在Picard解的存在唯一性定理和Peano解的存在性定理证明过程中的应用.

二不动点定理的重点结论

不动点,是一个函数术语,在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”.

〈α1使得ρ（Tx,Ty）定义1称T：（X,ρ）→（X,ρ）是一个压缩映射,如果存在0〈

αρ

≤(x,y),()

x y X

∀∈

,.

定理1.1压缩映射原理(C.(C.-)É.皮卡(1890);S.Banach（1922）)：设X是一个完备的度量空间,映射ƒ:Χ→Χ把每两点的距离至少压缩λ倍,即d（ƒ（x）,ƒ(y))≤λd(x,y),这里λ是一个小于1的常数,那么ƒ必有而且只有一个不动点,而且从Χ的

任何点x0出发作出序列这序列一定收敛到那个不动点.

这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础.

定理 1.2布劳威尔不动点定理(1910):设Χ是欧氏空间中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点.

用这定理可以证明代数基本定理：复系数的代数方程一定有复数解.把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间,就是绍德尔不动点定理(1930),常用于偏微分方程理论.这些定理可以从单值映射推广到集值映射,除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济

学.

定理 1.3 莱夫谢茨不动点定理:设Χ是紧多面体,ƒ:Χ→Χ是映射,那么ƒ的不动点代数个数等于ƒ的莱夫谢茨数L (ƒ),它是一个容易计算的同伦不变量.当L (ƒ)≠0时,与ƒ同伦的每个映射都至少有一个不动点. 这个定理发展了布劳威尔定理.

定理 1.4（ Schauder 不动点定理）：设M 是Banach 空间X 的非空紧凸集,:T M M →是连续映射,则T 在M 中有不动点.

三 不动点定理的应用

本节主要介绍两个原理-- Banach 压缩映射原理和Schauder 不动点定理 3.1 Banach 压缩映射原理的应用

对于一阶微分方程的初值问题

()00,,

.dy

f x y dx y x x y ⎧=⎪⎨⎪==⎩

(1)

解的存在与唯一问题,有下面的Picard 定理：

设二元函数(),f x y 在矩形(){}

0,,D x y x x

a y y

b =

-≤-≤上连续,且关于y 满足

Lipschitz 条件,即存在常数()()0,,,,',L x y x y D >∀∈有

()(),,'',f x y f x y L y y -≤-

则

问

题

(1)

在

区

间

[]

00,x x σσ-+上有唯一解,这里

()()

,10m i n ,,

,m a x ,.

x y D b a M f x y M L σ∈⎧⎫

<<

=⎨⎬⎩⎭

证明 首先,问题(1)等价于积分方程 ()()()0

0,.x

x y x y f x y x dx =+⎰ (2)

令

[](){}

0~

0000,,max ,x x C y C x x d y y y y M σ

σσσ-≤=∈-+=-≤

()()()()0

0,,x

x Ty x y f x y x dx =+

⎰

则~C 是Banach 空间[]00,C x x σσ-+的闭子空间,故~C 也是完备的,而映射~~

:.T C C →

事实上,~

y C Ty ∀∈，是[]00,x x σσ-+上的连续函数,即[]00,,Ty C x x σσ∈-+且有

()000

max x x Ty y Ty x y σ

-≤-=-

()()00

=max

,x

x x x f x y x dx σ

-≤⎰

00max x x M x x σ

-≤≤-

=M σ，

故~

,Ty C ∈其次,~

12,,y y C ∀∈

()()20121max x x Ty Ty Ty x Ty x σ

-≤-=-

()()()()001

2

=max

x

x x x f x y x f x y x dx σ

-≤⎡⎤-⎣⎦⎰，，

()()00

1

2

max

x

x x x L y x y x dx σ

-≤≤-⎰

()0120max x x Ld y y x x σ

-≤≤-， 12=.L y y σ∙-

因1,L σ<故 T 是~

C 上的压缩映射.于是,由压缩映射原理,存在唯一~

C ϕ∈，使=T ϕϕ，即积分方程(2)有唯一解(),y x ϕ=也就是问题(1)在区间[]00,x x σσ-+上有唯一解

()y x ϕ=.

例1 (Volterra 积分方程的解)

设(),K t s 是定义在,a t b a s t ≤≤≤≤上的连续函数,则Volterra 积分方程 ()()()(),t

a

x t f t K t s x s ds λ=+⎰

(3)

对任意的[](),f C

a b ∈以及任意常数λ存在唯一的解[]()0

,.x C a b ∈

证明 作[](),C

a b 到其自身的映射T ：