高考数学压轴题精选(一)(老师用)

高考数学压轴题精选(一)

1.（本小题满分12分）设函数x ax

x

x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数。求正实数a 的取值范围；

设1,0>>a b ,求证:

.ln 1b

b a b b a b a +<+<+ 解：（１）01

)(2

'

≥-=

ax

ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立, x

a 1

≥

∴对),1[+∞∈x 恒成立 ﻩ又

11

≤x

1≥∴a 为所求。

（2)取b b a x +=

,1,0,1>+∴

>>b

b

a b a ，

一方面,由（１）知x ax

x

x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数, 0)1()(=>+∴f b

b

a f 0ln 1>+++⋅+-

∴

b b a b

b a a b b

a

即b

a b b a +>+1

ln

另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G

)1(0111)('>>-=-

=x x

x x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续,又01)1(>=G ∴当1>x 时,0)1()(>>G x G

∴x x ln >即

b

b

a b b a +>+ln

ﻩ综上所述，

.ln 1b

b a b b a b a +<+<+ 2.已知椭圆Ｃ的一个顶点为(0,1)A -,焦点在ｘ轴上,右焦点到直线10x y -+=

（１）求椭圆C 的方程；

（2)过点F （1，０）作直线l 与椭圆Ｃ交于不同的两点A 、B ，设,(2,0)FA FB T λ=,若

||],1,2[+--∈求λ的取值范围。

解：(1)

=1c =…………………1分

由题意1,b a =∴=

ﻩ所以椭圆方程为2

212

x y +=………………………３分 （2）容易验证直线l 的斜率不为0。

故可设直线ｌ的方程为1x ky =+，

2

212

x y +=代入中,得.012)2(22=-++ky y k

设1122(,),(,),A x y B x y

则2

22

21+-=+k k y y .21

221+-=k y y ……………………………5分 ∵，FB FA λ=∴有.02

1<=λλ，且y y

222

1222

12()414222

y y k k y y k k λλ+∴=-⇒++=-++由

021

2121

2

5

]1,2[≤++≤-

⇒-≤+

≤-⇒--∈λ

λλ

λλ.72

07202

4212222≤≤⇒≤⇒≤+-≤-⇒k k k k …………７分

∵).,4(),,2(),,2(21212211y y x x y x y x +-+=+∴-=-=

又.2

)

1(42)(4,222221212

21++-=-+=-+∴+-=+k k y y k x x k k y y 故2

212

212

)()4(||y y x x ++-+=+

2

22222222222)

2(8

)2(28)2(16)2(4)2()1(16+++-+=++++=k k k k k k k 2

22)2(8

22816+++-

=k k ……………………………………………………8分

令720.2

12

2≤≤+=

k k t ∴21211672≤+≤k ,即].21,167[∈t ∴.2

17

)47(816288)(||222--=+-==+t t t t f

而]21,167[∈t ,∴169()[4,]32

f t ∈

∴].8

2

13,

2[||∈+TB TA 0

３.设函数322

()f x x ax a x m =+-+(0)a >

(１)若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点,求m 的范围； （2)若函数()f x 在[]1,1-内没有极值点，求a 的范围;

（3)若对任意的[]3,6a ∈,不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立,求实数m 的取值范围. 解：(1）当1a =时3

2

()f x x x x m =+-+，

因为()f x 有三个互不相同的零点，所以3

2

()0f x x x x m =+-+=， 即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根。

令3

2

()g x x x x =--+，则'

2

()321(31)(1)g x x x x x =--+=--+。 因为()g x 在(,1)-∞-和13(,)+∞均为减函数，在()

13

1,-为增函数, m 的取值范围()5271,-

(2)由题可知,方程'

2

2

()320f x x ax a =+-=在[]1,1-上没有实数根，

因为'2'2

(1)320

(1)3200f a a f a a a ⎧=+-≤⎪-=--≤⎨⎪>⎩

,所以3a ≥

（3)∵'22

3()323()()a f x x ax a x x a =+-=-+,且0a >,

∴函数()f x 的递减区间为3(,)a a -,递增区间为(,)a -∞-和3(,)a +∞;