自动控制系统数学模型

y f(x),平衡点(x0,y0 ),现x x0 △x,则y y0 △y
y
f
(
x
)
f
(
x0
)
d d
yx|xx0
(x
x0
)
1 d2y 2 !d x2
|xx0
(
x
x0
)2
以y0 f(x0 )代入,整理可得：
y
y0
d d
y x
|xx0
(x x0 )
1d 2!d
2y x2
|x
x0
(x x0 )2
当(x x0 )很小,可忽略(x x0 )的高次项：
第二章 自动控制系统的数学模型 §2-1-1 控制系统微分方程
一、线性元件的微分方程 元件微分方程列写步骤： (1) 确定元件的输入量和输出量(必要时还需考虑扰动输入量和
引入中间变量) (2) 根据工作规律和工作条件列写微分方程 (3) 消去中间变量得到输出量与输入量关系的微分方程,惯例把与
输入量有关各项写在方程右边,把输出量有关各项写在方程左 边,方程两边各导数项均按降幂排列
.
y(n() 0 ) y(n1)( 0 ) y( 0 ) y ( 0 ) 0
设线性定常系统或元件由n阶微分方程描述,其中y(t) 、 x(t)分别为输出量和输入量,设X(s)=L[x(t)],Y(s)= L[y(t)]
§2-2-1 传递函数的概念和定义
an
dny d tn
a n1
d n1y d tn1
a1
dy dt
a0y
bm
dmx d tm
bm 1
d m 1x d tm 1
化简可得增量化微分方程
Tm d △d tω△ω Ku △ua K m △Mc
若电动机运行时Mc不变,则 Tm d △d tω△ω Ku △ua
若电动机运行时ua不变,则 Tm d △d tω△ω K m △Mc
§2-1-3非线性微分方程的线性化
对于不太严重的非线性 系统,可在一定工作范围在一性化处 理,即在平衡点附近泰勒 级数展开,忽略高次项略高次项可数：
K (τdur 1 K0 dt
u
r
)
1
K
m
K
0
Mc
§2-1-4 例2-5转速负反馈直流调速系统的微分方程
当 ur不 变 ,或 Mc不 变 ,可 得 增 量 化 微 分 方 程 分别 为:
Tm 1
KK00τddωt ω
1
K
m
K
0
Mc
Tm 1
KK00τddωt ω
K ( τd ur 1 K0 dt
§2-1-4 例2-5转速负反馈直流调速系统的微分方程
合并以上方程消, 去中间变量uf、u1、u2和ua ,并令 K K1K2K3K u ,K0 K1K2K3K uKf ,则有
( Tm
K0τ )ddωt (1
K0 )ω
K ( τd ur dt
ur ) K m Mc
即:
Tm 1
KK00τddωt ω
ur)
§2-2-1 传递函数的概念和定义
i
(
t
)
C
d
uo( t dt
)
Ri(t ) uo(t) ui(t)
R
C
d
uo( t dt
)
u
o(
t
)
ui(
t
)
RCsUo(s) RCuo(0) Uo(s) Ui(s) 式 中: U o( s ) ￡ [ uo( t ) ] ,Ui( s ) ￡ [ ui( t ) ]
J
d 2
dt 2
M
f1
d
dt
k1
即J
d 2
dt 2
f1
d
dt
k1
M
§2-1-1元件微分方程列写
例2-4电枢控制的他激直流电动机
La
dia dt
ia Ra
ea
ua
ea Ce
M Cmia
JBaidu Nhomakorabea
d
dt
M
Mc
§2-1-1元件微分方程列写 例2-4电枢控制的他激直流电动机
从以上四个方程消去a、e ia、M三个中间变量得,
b1
d d
x t
b0
x
y( n() 0 ) y( n1 )( 0 ) y ( 0 ) 0
x( m() 0 ) x( m1 )( 0 ) x ( 0 ) 0
则 ( ansn an1sn1 a1s a0 ) Y ( s )
( bmsm bm1sm1 b1s b0 ) X ( s )
G( s)
Y(s) X( s)
bmsm a nsn
bm1sm1 a n1sn1
b1s b0 a1s a0
§2-2-1传递函数的概念和定义
an
dny d tn
a n1
d n1y d tn1
a1
dy dt
a0y
bm
dmx d tm
b m 1
d m1x d tm1
b1
dx dt
b0x
设 X(s) L[x(t)]Y,(s) L[y(t)],
在0初始条件下有, :(RCs1)Uo(s) Ui(s)
U o(
s )
1 R C s 1
Ui( s
)
G(
s)
Ui( s )
G ( s )
U o( Ui(
s s
) )
1 R C s 1
§2-2-1 传递函数的概念和定义
定义：线性系统(或元件)在初始条件为0时,输出量拉氏 变换与输入量拉氏变换之比,称为该系统(或元件) 传递 函数。
TaTm
d2ω d t2
Tm
ddωt ω
Kuua
Km(Ta
d Mc dt
Mc )
式 中 ,Ta
La Ra
,Tm
J Ra C eC m
,K u
1 Ce
,K m
Tm J
当La较小,Ta忽略时：Tm ddωt ω Kuua KmMc
若 取 电 机 转 角 θ 为 输 出,则
Tm
d2θ dt2
dθ dt
y
y0
d d
y x
|x
x0
(x
x0 ),即△y
K△x
§2-1-4线性系统微分方程的编写 例2-5转速负反馈直流调速系统原理图
§2-1-4 转速负反馈直流调速系统方块图和各元件微分方程
ue ur uf
u1 K1ue
u2
K
2(
τd u1 dt
u1 )
式 中 ， τ RC
ua K3u2 Tm ddωt ω Kuua K m Mc uf Kfω
§2-1-1元件微分方程列写
例2-1 RLC串联电路
§2-1-1元件微分方程列写
例2-2弹簧-质量-阻尼器系统
设x(0)=0,x’(0)=0,x’’(0)=0
d2x
dx
m dt2 F f dt kx
即m
d2x dt2
f
dx dt
kx
F
§2-1-1元件微分方程列写 例2-3机械转动系统
Kuua
KmMc
§2-2-2 微分方程的增量化表示
电动机静态方程
ω Kuua KmMc
设电动机在某平衡状态 ( ua 0、 Mc 0ω 、 0 ) 下 运 行 ： ua ua 0 △ ua M c M c 0 △ Mc ωω0 △ ω ω0 K u ua 0 K m M c 0
§2-2-2 微分方程的增量化表示