高效解题的两个角度“一题多解”与“多题一解”

万方数据

小学数学一题多解与一题多变

小学数学一题多解与一题多变B 摘要：在本文里，一题多用特指渗透于同一数学问题里的不同的数学思想；而一题多变则是指对同类数学问题的不同问法与解答的归纳，并进而构建数学模型。在小学数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散，培养发散思维能力的目的。关键词：数学，一题多解，一题多变，创造性，创设思维思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。一、一题多解，有利于加强学生的思维训练一题多解，指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得。就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模

发散思维训练题

发散思维训练题10. 如学校举办歌唱，第一排站9个学生，第二排插第一排的缝，第三排插第二排的缝，依次到地10排，一共多少人发散思维训练题11. 有一对亲兄弟好久不见面了。某天见面了，谈话间，哥哥再接然想起自己的侄女最近要结婚，他把这事同弟弟说了。可是，，对于弟弟来说，他却没有一个要结婚的侄女。这又是怎么一回事发散思维训练题12. 村边有一棵树，树底下有一条牛，它被主人用两米长的绳子拴住了鼻子。一会儿，主人拿着饲料来了，他把饲料放在离树三米远的地方，坐在一边抽烟去了。可是，当他没有注意的时候，牛把饲料全吃光了。当然，绳子很结实，没有断，也没有被解开。这是怎么一回事发散思维训练题13. 有两个人，一个人脸朝东、一个人脸朝西地站着。不准走动，不准照镜子，怎样才能看到对方的脸发散思维训练题14. 有一个试场监考非常严密，考生要作弊是根本不可能的。可是，试卷交齐后，阅卷的老师发现在50份卷子中，有15份卷子除了考生的姓名之外，答案是完全一样的。这是什么原因 " 发散思维训练题15. 一个男子惊恐地发觉头部的某处有黑色生长物，但他根本没求医服药，就顺利地除掉那黑色生长物。他是怎么办的发散思维训练题16. 在美国，有这样的一对夫妻，他们两人年纪相同，都是40岁。婚后，他们每天都要吵架，而且每天只吵架一次。可是，在上个月，他们只吵架15次。这是怎么回事发散思维训练题17. 有一名非常善辩的律师，办理离婚案件一贯蛄在女方立场，且为女方进行免费辩护，使女方从男方那里多得赡养费。然而，有一次这个律师自己出现了离婚问题，而这个律师仍不改变立场，仍为女方免费辩护，结果又使女方多得了赡养费，而且该律师在钱财上又没有什么损失。会有这样的事吗发散思维训练题18. 如果一架飞机不偏不倚正好坠落在美国和加拿大的边界。在这种情况下，你该在哪一个国家埋葬幸存者

从“一题多解”转变为“多题一解”

从一题多解到 “ ” 多题一解 “ ” 【摘要】一题多解是训练学生发散思维的好方法，然而仅仅停留在一题多解的层面上远远 “ ” 不够的，即让学生的思维无限发散，不注意收（及时归纳总结方法），那将不利于学生对数 “ ” 学思想方法的掌握和运用。因此，一题多解要关注考纲和考试说明、关注学生的学情 “ ” 、关注解法的选择，最终变为多解归一，升华为解一类题的方法。【关键词】一题多解多题一解求异思维发散思维文[１]说： “一题多解应该关注考纲和考试说明、关注学生的 ‘学情’ 、关注解法的选择。 ” 这一点笔者在高三教学感触颇深。让我们先看一例：例 1.已知点 ( ) ( ) ( ) 3,0,0,33,3,0, A B C ABC - D 外接圆为 D e （1）求 D e 的方程；（2）设直线 ( ) 1 :33 l y m x =+ 与直线 ( ) 2 :31 l y nx =- 的交点为P ，且点P 在 D e 上①若 D e 关于直线 1 l 对称，求n 的值；②若 0,0 m n >> ，求证：mn m n +- 为常数。解法一：（标准答案提供方法）将直线 1 l 与 2 l 的方程联立方程组 ( ) ( ) 33 31 y m x y nx ì =+ ? í =- ? ? 解得 ( ) 31 331 m x n m m n y n m + ì = ? - ? í + ? = ? - ? 代入圆D 的方程得： ( ) 2 2 31 31 ()3112 m n m n m n m + éù + +-= êú -- ?? 化简得 ( ) ( ) ( ) 222 3133212 m mn m n n m +++-=- 移项因式分解得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 313232232 m n m mn m n n m mn m n +=-++---+- éùéù ???? 化简得 ( ) ( )( ) 2 31331334 m n m n mn m +=+-- 因为 0 m > ，所以 ( ) ( ) 313334 m n n mn m +=-- 移项分解因式得 ( )( ) 31313(31)(1) n n m n n -+=++ 因为 0 n > ，所以 1 3 mn m n +-=- 【评注】此法是参考答案提供的方法，对照题意思路清晰——入口宽，但要想真正化到最终结果，却不太容易——运算量大。然而这一点符合《考试说明》考查学生运算求解能力的要求，毕竟此法是通性通法。解法二：设直线 1 l 与圆D 的交点 ( ) 00 , Q x y ，则将直线 1 l 与圆D 的方程联立方程组 ( ) 22 33 2390 y m x x y y ì =+ ? í +--= ? ? 消去 y 得

解三角形应用举例练习高考试题练习

解三角形应用举例练习班级姓名学号得分一、选择题 1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为…………………（） A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为…..（） A. 3 400 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 3.在?ABC 中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则?ABC 一定是…………………………………….( ) A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角三角形. 4.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为……………….( ) A C D B 阳光地面 A.75° B.60° C.50° D.45° 5.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为…………………………………..( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 6.在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 …………………（） A 、无解 B 、一解 C 、两解 D 、解的个数不能确定二、填空题 7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 8.我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶. C D 12 A B D 6045 0 m o o 10．.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为_______.

一题多解之五种方法解一道经典数学题

1 O B C D ① A 一题多解之五种方法解一道经典数学题江苏海安紫石中学黄本华一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！例题如图，在平面直角坐标系中，点A (－1，0)，B (0，3)，直线BC 交坐标轴于B ， C 两点，且∠CBA ＝45°.求直线BC 的解析式．【分析】要求BC 解析式，现在已经知道了B 点坐标，所以只要求到C 点坐标就好了。这就要用到条件∠CBA ＝45°。但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。如图①，作AD ⊥BC 于D ，由A 、B 的坐标可知1OA =，3OB =，根据勾股定理2 2 10AB OA OB =+=， 5BD AD ==AC x =，则1OC x =+，25DC x =-255BC x =-，在 RT OBC ?中，根据勾股定理得出222OC OB BC +=，即()2 222 13(55)x x ++=-，解得15 2 x =- （舍去），25x =，求得6OC =，得出C （﹣6，0），然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式．解法一：如图①，作AD ⊥BC 于D ， ∵点A （﹣1，0），B （0，3）， ∴1OA =，3OB =，∴2 2 10AB OA OB =+=， ∵∠CBA =45°，∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴5BD AD == 设AC x =，则1OC x =+， ∴25DC x =-，∴BC=+255BC x = -+，在152 x =- 中，222OC OB BC +=2 ，即()222213(55)x x ++=-），解得x 1=﹣ （舍去），25x =， ∴5AC =，6OC =，∴C （﹣6，0），设直线BC 的解析式为3y kx =+，

高中数学-解三角形应用举例练习及答案

高中数学-解三角形应用举例练习一、选择题 1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为………………………………………………( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 2.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是……………………………………………………….( ) A.103海里 B.3610海里 C. 52海里 D.56海里 3. 有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( ) A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 4. .已知平行四边形ABCD 满足条件0)()(=-?+→ -→-→-→-AD AB AD AB ，则该四边形是………( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形 5. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时………………………………………………………………………………………… . ( ) A.5海里 B.53海里 C.10海里 D.103海里 6．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为 ………………………………………………………………………..( ) A. 21d d > B. 21d d = C. 21d d < D. 不能确定大小二、填空题

2014高中数学一题多变一题多解特训(一)

高中数学一题多解和一题多变根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明：一题多解和一题多变（一）类型一：一题多解例题：已知tan α=43 ,求sin α,cos α的值分析：因为题中有sin α、cos α、tan α，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一根据同角三角函数关系式tan α= 43= αα cos sin ，且sina2α + cos2α =1。两式联立，得出：cos2α=2516,cos α= 54 或者cos α= -54 ；而s in α=53或者sin α=-53 。分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二 tan α=43 ：α在第一、三象限在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=25 16 cos α=54 sin α=αcos 2 1-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 54 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：

法三 tan α= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α = ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sin α=53，cos α= 54 或sin α=-53，cos α=-54 分析：上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sin α、cos α、tan α，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：法四当α为锐角时，由于tana=43 ,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得， c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =54 ∴sin α= 53 ，cos α=54 或sin α= -53 ，cos α= -54 分析：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：法五当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设α=∠AOT ，因为tan α= 43 ，则T 点坐标是T(1, 43 ),由勾股定理得：OT= ?? ? ??+432 1= 45

高中数学解三角形的实际应用举例综合测试题(含答案)

高中数学解三角形的实际应用举例综合测试题(含答案) 解三角形的实际应用举例同步练习 1．在△ABC中，下列各式正确的是（） A. ab ＝sinBsinA B.asinC＝csinB C.asin(A＋B)＝csinA D.c2＝a2＋b2－2abcos(A＋B) 2．已知三角形的三边长分别为a、b、a2＋ab＋b2 ，则这个三角形的最大角是（） A.135 B.120 C.60 D.90 3．海上有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C 岛成60的视角，从B岛望A岛和C岛成75角的视角，则B、C间的距离是（） A.52 nmile B.103 nmile C. 1036 nmile D.56 nmile 4．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据 A.、a、b B.、、a C.a、b、 D.、、 5．某人以时速a km向东行走，此时正刮着时速a km的南风，那么此人感到的风向为，风速为. 6．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，则c＝. 7．某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60 的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯

塔的距离是. 8．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300，则甲、乙两楼的高分别是. 9．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2，再向塔前进103 米，又测得塔顶的仰角为4，则塔高是米. 10．在△ABC中，求证：cos2Aa2 －cos2Bb2 ＝1a2 －1b2 . 11．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得CAB＝45，CBA＝75，AB＝120 m，求河宽.（精确到0.01 m） 12．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？答案 1．C 2．B 3．D 4．C 5．东南2 a 6．40 7．103 8．203 ，203 3 9．15 10．在△ABC中，求证：cos2Aa2 －cos2Bb2 ＝1a2 －1b2 . 提示：左边＝1－2sin2Aa2 －1－2sin2Bb2 ＝(1a2 －1b2 )－2(sin2Aa2 －sin2Bb2 )＝右边. 11．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标

发散思维的题目测试题

发散思维的题目测试题发散思维(Divergent Thinking)，又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维，是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式。下面就是小编给大家带来的关于发散思维的题目，希望能帮助到大家! 逻辑思维训练500题假设法一个真实的假设往往可以让事实呈现眼前，让真理浮出水面。一个人如果做什么事都可以让其思维以这些假设前提为基础，那么他便能真真正正地活在NLP里而不会陷入困境，他的人生也就会有更大地进步和提升。初级题： 1.如何问问题? 有甲、乙两人，其中，甲只说假话，而不说真话;乙则是只说真话，不说假话。但是，他们两个人在回答别人的问题时，只通过点头与摇头来表示，不讲话。有一天，一个人面对两条路：A与B，其中一条路是通向京城的，而另一条路是通向一个小村庄的。这时，他面前站着甲与乙两人，但他不知道此人是甲还是乙，也不知道“点头”是表示“是”还是表示“否”。现在，他必须问一个问题，才可能断定出哪条路通向京城。那么，这个问题应该怎样问? 1.这个人只要站在A与B任何一条路上，然后，对着其中的一个人问：“如果我问他(甲、乙中的另外一个人)这条路通不通向京城，他会怎么回答?” 如果甲与乙两个人都摇头的话，就往这条路向前走去，如果都点头，就往另一外一条走去。 2.他们的职业是分别什么?小王、小张、小赵三个人是好朋友，他们中间其中一个人下海经商，一个人考上了重点大学，一个人参军了。此外他们还知道以下条件：小赵的年龄比士兵的大;大学生的年龄比小张小;小王的年龄和大学生的年龄不一样。请推出这三个人中谁是商人?谁是大学生?谁是士兵? 2.小张是商人，小赵是大学生，小王是士兵。假设小赵是士兵，那么就与题目中“小赵的年龄比士兵的大”这一条件矛盾了，因此，小赵不是士兵;假设小张是大学生，那就与题目中“大学生的年龄比小张小”矛盾了，因此，小张不是大学生;假设小王是大学生，那么，就与题目中“小王的年龄和大学生的年龄不一样”这一条件矛盾了，因此，小王也不是大学生。所以，小赵是大学生。由条件小赵的年龄比士兵的大，大学生的年龄比小张小得出小王是士兵，小张是商人。 3.谁做对了?甲、乙、丙三个人在一起做作业，有一道数学题比较难，当他们三个人都把自己的解法说出来以后，甲说：“我做错了。”乙说：“甲做对了。”丙说：“我做错了。”在一旁的丁看到他们的答案并听了她们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个人说对了。”请问，他们三人中到底谁做对了? 3.假

初中数学一题多解与一题多变

____________________________________________________________________________________________ 初中数学一题多解与一题多变时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。一、一题多解，多解归一对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ， E D C B A

求证：BD=CE. （本题来自《几何》第2册69页例3）思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。例2：已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E 添加字母，不写推理过程） D 思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； 2.BE=CE； ____________________________________________________________________________________________

解三角形应用举例最新衡水中学自用精品教学设计

解三角形应用举例主标题：解三角形应用举例副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角难度：3 重要程度：5 考点剖析：能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．命题方向： 1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题．规律总结： 1个步骤——解三角形应用题的一般步骤 2种情形——解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 2个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程． (2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．

知识梳理 1．距离的测量背景可测元素图形目标及解法两点均可到达a，b，α 求AB：AB＝ a2＋b2－2ab cos α 只有一点可到达b，α，β 求AB：(1)α＋β＋B＝π； (2) AB sin β＝ b sin B 两点都不可到达a，α，β， γ，θ 求AB：(1)△ACD中，用正弦定理求AC； (2)△BCD中，用正弦定理求BC； (3)△ABC中，用余弦定理求AB 2.高度的测量背景可测元素图形目标及解法底部可到达 a，α求AB：AB＝a tan_α 底部不可到达a，α，β 求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝AD sin_β 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．

数学解题之一题多解与多题一解

摘要本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系。与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。关键词：一题多解多题一解思维能力

Abstract A multi solution with multi-title, a solution is a commonly used method in the teaching of mathematical problem solving. To a given problem, can mathem ati cal kn owl edg e h as been an org an i c gath eri ng of stu den ts' di v erg en t thin kin g i s a good opportunity for its exercise; a solution of the multi-title, students can digest the knowledge, but also training the students of the Idea. In this paper, two typical example that is a question to the multi-solution and multi-title solution-based explanation on the purpose of training the training of the students' thinking abilities can be achieved through different examples. To a given problem, you can broaden the horizons of the students 'thinking, divergent thinking of the students, for students to learn multi-angle analysis and problem solving; a solution more than the question, can enhance students' depth of thinking, learn to analyze things from outside to inside, to seize the the nature of things, find things intrinsically linked. This article is intended relationship between the development of the ability to clear a given problem and a solution of the multi-title, with students thinking, so that teachers pay more attention to the culture of problem-solving approach to students' thinking ability in mathematical problem solving teaching process. Key words：Multiple solutions for one question A solutions of the multi-title Thinking ability

大脑发散思维训练的方法有哪些

大脑发散思维训练的方法有哪些导读：我根据大家的需要整理了一份关于《大脑发散思维训练的方法有哪些》的内容，具体内容：发散思维能力是以材料、功能、结构、形态、组合、方法、因果、关系等8个方面为"发散点"，进行具有集中性的多端、灵活、新颖的发散训练，以培养创造性思维的能力。今天我... 发散思维能力是以材料、功能、结构、形态、组合、方法、因果、关系等8个方面为"发散点"，进行具有集中性的多端、灵活、新颖的发散训练，以培养创造性思维的能力。今天我为大家推荐大脑发散思维训练的方法。大脑发散思维训练的方法一、破除常规法有一个年轻人给另一个年轻人出了一道趣味智力测验题："昨天我父亲碰到一场雨，当时没戴帽子，也没有撑雨伞，他头上什么也没遮，结果他的衣服全淋湿了，但是，他头上一根头发也没有湿。为什么会这样呢?" 这道题很简单，如果按照常规解答就无法回答。因为头上有头发，怎么能够不湿呢?所以，必须破除常规：设想这个人头部没有头发，是个秃子，这样才能解答。事实上这个人真是个秃子。这就是破除常规思维训练法。二、追根求源法一天夜里，有一个姑娘正在街上行走，突然，从旁边窜出三个歹徒来，企图施暴，这时，姑娘从手提包里拿出一把枪，对准歹徒，叫他们迅速离开。歹徒认为姑娘拿出来的是玩具，一点不怕，猛扑上去。于是，枪声响了，两个歹徒闻声倒地，被打死了。另一个歹徒正拔腿要跑，被行人抓住

了。这时，派出所民警也来了。大家一面指责歹徒为非作歹，一面又怪姑娘不该把人打死。正在议论纷纷，两个歹徒忽然活了过来，从地上爬了起来。试问，这是怎么回事呢? 要回答此题，关键在于枪上。这支枪肯定不是真枪，因为真枪能把人打死，死人是不能复活的。此枪也不是玩具，因为玩具是打不死人的。那么，这是什么枪呢?这就要追根求源，一直要找到这是一支既能打昏人又能使人复活的枪。这究竟是什么枪呢?原来是一支麻醉枪，姑娘是动物园的驯兽员。这就是追根求源思维训练法。三、谐音拼读法有夫妇两人，都是音乐教师。一次，为了买一样东西，妻子到丈夫的办公室去，在办公桌上用纸写了四个字："5632"。同事们都不知何意，但丈夫回头一看，立即就明白了，把需要的东西买了回来。请问"5632"是什么意思? 原来，"5632"是"速拿米来"的意思。"5632"是四个音符。这就是谐音拼读思维训练法。四、数字去除法大河上有座东西向横跨江面的桥，人通过需五分钟。桥中间有一个亭子。亭子里有一个看守者，他每隔三分钟出来一次。看到有人通过，就叫他回去，不准通过。有一个聪明人想了一个巧妙的办法，终于通过了大桥。请问：这个聪明人想了一个什么办法通过这座大桥? 聪明人想的办法是：从东往西过桥，走了两分半钟即转过脸来往东走。当看守者出来见到他时就命令他往回走，这样就可以掉转头来过桥了。三

从一题多解到一题多变

从一题多解到一题多变发表时间：2016-04-07T15:20:25.413Z 来源：《中小学教育》2016年2月总第233期作者：黄文宽 [导读] 甘肃省庆城县陇东中学高三复习课题目综合性强，为减轻学生负担，例题的选取则是备课中至为关键的一环。甘肃省庆城县陇东中学745000 高三复习课题目综合性强，为减轻学生负担，例题的选取则是备课中至为关键的一环。我们既要考虑学生对已有知识的掌握程度，又要考虑知识与方法的联系和区别。我们课题组第二阶段的工作重点侧重于习题变式的研究，旨在让学生既达到温故知新的目的，又能加深对题目的理解和知识方法的融会贯通。一、原题呈现椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上，离心率e= 。 (Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程。二、追本溯源，感知命题背景该题考查了对椭圆方程及几何性质的综合运用，在一定程度上做到了知识点的有效覆盖。三、一题多解，探析解题思路第一，问的解法：解：设椭圆方程为＋=1，由条件可得，解得c2=4，a2=16，b2=12，所以椭圆方程为：＋=1。当然，（Ⅰ）问的解法可以优化如下：由e= 得a2=4c2，b2=3c2。可设椭圆方程为+ =1，将A(2,3)代入上式即得c2=4,所以椭圆方程为＋＝1。第二，问的解法：解法1:直线AF1的方程y= （x+2），直线AF2的方程x=2，设B（x0,0）（x0＞-2）为角平分线与x轴交点坐标，利用角平分线上的点到角两边距离相等和点到直线的距离公式得：=2-x0，从而解得x0＝。利用两点式得直线方程为:y=2x-1。解法2：设p（x，y）是角平分线上任意一点, 直线AF1的方程y= （x+2），直线AF2的方程:x=2,则=2-x，得x+2y-8=0（舍）或2x-y-1=0（即为所求）。评注：解法1主要运用角平分线上的点到角的两边距离相等及点到直线的距离公式,解方程求得B点坐标后,用两点确定角平分线所在直线方程。解法2则通过设所求直线上任意一点,巧用方程的思想,简化计算。当然,该题还有其他解题思路,这里,我们选取几种典型的解法做以交流。解法3：由角平分线性质定理有＝，代入得= ，解得x0= (下同解法1)。解法4：依据F1关于角平分线的对称点必在直线AF2上，在AF2上取一点P满足|AP| =|AF1|=5，结合直角三角形AF1F2 易得P(2,-2)，∴kF P= ，故直线的方程为y=2x-1。解法5：利用直角三角形内切圆半径公式r= （其中a、b为直角边长，c为斜边长）,得Rt△AF1F2的内切圆半径r=1，易得内切圆圆心为I（1,1）。由内切圆圆心的特征，得直线AI是∠F1AF2的角平分线,k=2(下略)。解法6：由＋所得结果是∠F1AF2的角平分线所在直线的方向向量, 得＋= （-4，-3）+ （0，3）= （- ，- ），∴ k=2(下略)。解法7：设∠F1AF2＝2α∈（0°，90°），由tan2α= 及在Rt△AF1F2中tan2α= ，解得tanα= 或tanα=-2（舍去），故 k=tan∠ABF2=cotα=2(下略)。解法8：由椭圆“焦点三角形”的性质可得S△AF F =b2tan ∠F1AF2= |F1F2|·|AF2|=6，∴tan ∠F1AF2=tan∠BAF2= 。故 k=tan∠ABF2=tan（-∠BAF2）=2（下略）。解法9：以AF1为直径且过点F2的圆的方程为x2+（y- ）2= ,记圆与y轴负半轴交于点Q（0，-1）,则由|F1Q|=|F2Q|得 ∠F1AQ=∠F2AQ,即AQ为所求角平分线。利用两点式得直线方程为:y=2x-1。四、题目变式，拓展解题思维变式1: 椭圆E以坐标轴为对称轴，焦点F1、F2在x轴上，离心率e= ，并且椭圆上有一点A，∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为 y=2x-1，求椭圆E的方程。变式2: 椭圆E以坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，焦距为4，并且椭圆上有一点A，∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为y=2x-1，求椭圆E的方程。变式3：椭圆E经过点A（x0，y0）,对称轴为坐标轴,焦点F1、F2在x轴上,离心率e。 (Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程。变式4:双曲线E经过点A（x0，y0）,对称轴为坐标轴,焦点F1、F2在x轴上,离心率e。 (Ⅰ)求双曲线E的方程；(Ⅱ)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程。变式5：物线E经过点A（x0，y0）,对称轴为x轴,焦点F2,准线方程与x轴的交点F1。 (Ⅰ)求抛物线E的方程；(Ⅱ)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程。变式教学的实践证明它的确是一种提高课堂教学效率的有效途径，同时更有利于学生思维的提升和解决问题能力的提高，能关注学生个体的发展，符合新课程的教学理念。通过变式教学，可以一题多解、多题归一，使得学生悟出一般的解题方法和规律，达到举一反三、触类旁通能力的培养和教学效率的提高，使高三学生的复习时间得到了有效的保障。

解三角形应用举例

第7节解三角形应用举例最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题. 知识梳理 1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)． 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒] 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( ) (2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为? ?????0，π2.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )

解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A.北偏东15° B.北偏西15° C.北偏东10° D.北偏西10° 解析如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案 B 3.(教材习题改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ， ∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.2522 m 解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACB sin B ＝50×2212 ＝502(m). 答案 A 4.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是______n mile. 解析设两船之间的距离为d ，则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d ＝70，即两船相距70 n mile.

二年级一题多解教学设计

二年级数学《一题多解》教学设计一、教学目标：知识与技能 1、通过合作学习、自主探究，进一步理解乘加的意义，能正确进行有关实际问题的计算。 2、训练学生思维的灵活性，用多种方法灵活计算乘加，实现运算多样化。 3、从情景图提取有用的信息，提问并解答，提高分析问题、解决问题的能力。过程和方法; 1、让学生在独立思考的基础上进行小组合作，共同寻找解决问题的途径和方法。情感、态度和价值观： 1、让学生体会数学知识的趣味性，激发学生的求知欲。 2、感受到数学与生活的密切联系，体验到生活中处处有数学。二、教学重点： 1、能够利用乘法解决简单实际问题. 2、引导学生发现问题、提出问题并解决问题。三、教学难点：用多种方法解决同一问题。四、说教学过程：一、情境启发

对口令：7、8、9的乘法口诀。（有节奏地进行对口令：师生对、生生对） 3、创设情景小鲤鱼泡泡要闯关需要我们帮忙解决问题。（1）学生看图列式口答问题. 这幅图要求学生画一画在列式，式子板书在黑板上。引入新课板书课题解决问题二、学习新知出示例5 老师准备明天带你们去平凉庄小学参观。有2名教师和32名学生，租下面的客车，坐得下吗？ 1. 出示（座位示意图）请学生观察，你发现了什么？（1）2名教师和32名学生这辆车坐的下吗？（2）学生先独立解决？小组交流总结。教师总结。三、巩固练习 1、出示口算题 2、我们班32个学生，每人吃一个，这些鸡蛋够吗？（1）学生读题，找出解决问题的方法。（2）列式计算，找出最简单的方法。（3）对学生进行营养午餐和爱国教育。 3、课后第2题

（1）学生读题，找解决问题的办法。（2）学生独立完成，全班交流。 4、李叔叔送来30盆鲜花，他想摆出像右图这样一个花坛，这些花够吗？学生自己说说解决这一题的方法，教师评讲。 5、小亮一共有40节车轮，他能组装出一列有6节车箱的小火车吗？车头用了8节车轮。为什么？ 6、（2）小文用16元钱买了同一种花送给妈妈，猜猜她买的是什么花？买了几只？（3）你还能提出什么数学问题，并解答吗？这一题因为有三问，让学生一个一个的解答。 7、我家喂了8只鸡，6只鸭，9只羊。他们一共有多少只脚？这一题是个思维扩展题，也是个机动题，有时间课堂解决，如果时间不够就课外解决。四、课堂小结谈谈你的收获五、布置作业 P85页5和7题