【运筹学 精品培训讲义】第六章(一)图论的概念

e4=（ v3， v4）≠（ v4， v3）
v•3
e5
e4=（ v3， v4=）（ v4， v3）
e5=（ v4， v3）≠（ v3， v4）
e5=（ v3， v4）=（ v4， v3）
二、常用名词：
1、端点和关联边：
若ek vi , v j E,则称点vi、v j 是边ek的端点，
边ek
即 d(vi ) 2m
三、次的性质
定理1 在图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数m 的两倍。
证明： 由于每条边均与两个顶点关联， 因此在计算顶点的次时每条边都计算了两遍 所以顶点次数的总和等于边 数的二倍。
定理5.2 在任何图G=(V,E)中，奇点的个数为偶数
证明： 设V1和V2分别是图G中奇点和偶点的集合
所以V1中的点，即奇点的个数为偶数
四、链： 对无向图G （V，E）
1、链的定义：在图G （V，E）中，一个点与边的交错序列
{vi0 , ei1 , vi1 , ei2 , vik 2 , eik 1 , vik 1 , eik , vik }, 且eit (vit1, vit )(t 1,2, k),则称这个点边序列为
•v1 e6
e3
•v 4
ee44
v•3
e5
5、次：以点vi为端点的边的条数称为点vi的次，d (vi ) 6、悬挂点和悬挂边：
次为1的点称为悬挂点，与悬挂点相联的边称为悬挂边。 7、孤立点：次为0的点称为孤立点
8、奇点与偶点： 次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点
• v1
e2
• v 2
e3
•v6 e5 •v3
程最近？ 即求图的中心
v3•
20
v2•
30
v•1
60
v
•
5
30
• 20 v4
25 18
• 15
v6
• 15 v7
结论：把医院建在v6，可使离医院最远的小区居民就
诊时所走的路程最近
4、网络流问题：
旅客流、车流、货物流
例：在一个输油管道网中，vs为起点，vt为终点,
vi为中转站（i 1,2, , k),边上的数表示该 管道的最大输油量，问应如何安排，才能
则V1 V2 V且V1 V2
d(vi ) d(vi ) d(vi ) 2m （定理5.1）
iV
iV1
iV2
V2是偶点的集合, d (vi )(i V2 )均为偶数
所以d(vi )为偶数 iV2
d (vi )为偶数
iV1
而V1是奇点的集合, d (vi )(i V1 )均为奇数
只有偶数个奇数相加才能得到偶数
要以村为中心v0建有线广播网，如要求沿道路
架设广播线，应如何架设使所用电线最短
•4•1•
1
2
•4
1
v•0
3 4
1
•
55 2
45
• 3 •2 •
•
• 1•
1
•
21
v•0
1
•
2
• 3 •2 •
3、选址问题
已知一个地区的交通网络如下图所示，其中点代表
居民小区，边表示公路，问区中心医院应建在哪个
小区，可使离医院最远的小区居民就诊时所走的路
有向图 ——边e=（vi, vj）有方向
vi为始点，vj为终点
图
此时（vi, vj）≠ （vj,vi）
百度文库无向图
——边e=（vi, 此时（vi,
vj）无方向 vj）= （vj, vi）
无
有
e1
向 图
• e2
v1 e6
v2•
• e3 e4
v4
e1
• e2
v1 e6
v2•
e3 e4
向 图
•v 4
v•3
e5
简单链
初等 链
不是链
{v5,e4 ,v4 ,e9 ,v2 ,e2 ,v3,e3,v4 ,e8,v1},
连接v5与v1的一条链
链闭开链链
: :
链中的起点与终点重合 链中的起点与终点不同
圈或回路 路
简单圈 在圈中，所含的边均不相同
vi——图中的点，称为顶点。
系
ei——图中的连线，称为边。ek 记V={vi}，E= {ei},
G=（V，E） m(G)=|E|——G的边数，简记为m
vi,v j
• e1
v3
e6 e2
•v1
e4 e3
•v 2
G
v3,v5
v•4
•v5
e5
n(G)= |V|——G的顶点数，简记为n m=6, n=5
•v5
e1
•v 4
e4
e6
d(v1) 3, d(v2 ) 1, d (v3 ) 4
d (v4 ) 3, d (v5 ) 0, d (v6 ) 1, v2、v6为悬挂点，e2、e5为悬挂边， v5为孤立点， v1、v2、v4、v6为奇点，v5、v3为偶点
d(vi ) 12 ，G的边数m=6
创始人
创立时间
问题的提 出
E.Euler（瑞士数学家） 18世纪 歌尼斯堡七桥难题
※歌尼斯堡七桥难题
普莱格尔河
七桥问题的数学模型：
用A、B表示两座小岛，C、D表示两岸， 连线AB表示A、B之间有一座桥。
C•
A•
•B
问题简化为：
D•
在该图中，从任一点出发，能否通过每条线段 一次且仅仅一次后又回到原来的出发点
是点vi
和v
的关联边
j
2、相邻点和相邻边：
一条边的两个端点称为相邻点，简称邻点，
端点落在同一个顶点的边称为相邻边，简称邻边
3、多重边与环：
e1
具有相同端点的边称为多重边或平行边；
两个端点落在同一个顶点的边称为环。 e2
4、多重图和简单图：
v2•
含有多重边的图称为多重图；
无环也无多重边的图称为简单图。
结论：不存在这样一种走法。
类似的问题：一笔画问题
图的一笔画： 可一笔画
不可一笔画
字的一笔画：如“中、日、口、串”等可一笔画 而：“田、目”等不能一笔画
图论的应用范围：
1、中国邮路问题： 邮递员如何选择适当的投递路线，使每条街道至 少走过一次且所走的总路程最短？
2、最短路问题：
一个乡有9个自然村，其间道路如下图所示，
使从vs到vt的总运输量最大？
v•1
2
v•4
4
v•s
3
4
v•2
• 7
2
v5
6
2
v•t
4
2
5
1 1
v
•
3
3
v•6
最大 流问 题
南水北调工程
南水北调工程
西气东输工程
西气东输工程
6.1 基本概念
一、图的概念
图 ------由若干个点和连接这些点的某些连
线所组成的图形 代表具
G——一个图
体事物
代表事物 之间的联
连接vi0与vik的一条链,简记为 {vi0 , vi1, ，vik 2 , vik 1, vik }
• 简单链：在链中，所含的边均不相同
• 初等链：在链中，所含的顶点、边均不相同
•v1
e6
•v6
e7
e1 e8
• e5 v5 e4
v2
• • e9 e2 v3 • e3
v4
{v6,e5,v5,e7 ,v1 } {v6 , e7 , v1, e8 , v4}