电场强度通量 高斯定理

4
5-4 电场强度通量 高斯定理
2、几种典型的电场线 正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
5
5-4 电场强度通量 高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
6
5-4 电场强度通量 高斯定理
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
7
5-4 电场强度通量 高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
8
5-4 电场强度通量 高斯定理
e E d S ( E1 E 2 E 3 E 4 ...) d S
S S
E
q6 q5 q3 q1 q7 q4
dS


E1 d S E 2 d S E 3 d S E 4 d S
S S S S

q1
43
2
2、球外
rR
Q 4π 0 R 2
E
Q 4πε0 r 2
r
O
o
R
r
s
Q
电场在带电面两侧有突变。
30
5-4 电场强度通量 高斯定理
例3 静电复印机中光导硒鼓是一个圆筒，在 充电极的作用下，带有均匀的静电荷，由于 反射光的强弱使其电荷分布发生变化，这时 在电场力的吸引下把墨粉末加到光导体表面 上，“硒鼓”上形成深浅层次的墨粉图像， 最后移到复印纸上，复印出文字和图像。
单位长度 例4 均匀带电圆柱面， 上的电荷 ，半径为R 。求电场 强度分布。
λ R
解: 对称性：轴对称 闭合面：圆柱面
r
E
E d S E dS E dS
S
侧面 两底面
通过闭合面的电通量为：
‖ 0 E 2 π rl 由于电场线与上下底面平行，所以通过上下底面的
下底面 上底面
dS E dS
下底面
E
A
E
2 EA

利用高斯定理解E
E d S E2 A q
S 0 i
1
内 i

A
0
σ E 2ε0
38
5-4 电场强度通量 高斯定理
σ E 2ε0
σ
E E E
σ
E
39
5-4 电场强度通量 高斯定理
θ
en
θ 90 ，电力线穿出， 电通量为正 ，电力线穿进， θ 90

E
E
en
θ
S
14
电通量为负
5-4 电场强度通量 高斯定理
例1 三棱柱体放置在如图所示的均匀电场中。 求通过此三棱柱体的电通量。 通过三棱柱体表面的电通量为 解：
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
en
θ
通过曲面S的电通量为：
E
e d e E d S
S S
dS
S
13
5-4 电场强度通量 高斯定理
4）非均匀电场，闭合曲面S的电通量为
Φe E dS E cos dS
S S
规定：面元矢量的方向 由闭合面内指向面外， 有正负的电通量。
例6 求平板电容器充电后极板间的电场强度。
40
5-4 电场强度通量 高斯定理 ,
解:
正带电平面电场强度：E 2 0 负带电平面电场强度： E 2 0
+σ
-σ
电场强度的叠加原理得 0 二带电平面外：E 2 0 2 0 二带电平面内： E 2 0 2 0 0
E 2 π rh
‖ 0
E
h
r
+ + +
o
S
y
由于电场线与上下底面平 行，所以通过上下底面的电通量为零。
x
33
5-4 电场强度通量 高斯定理
利用高斯定理解E
h E 2 π rh q 0 i 0
1
内 i
+ +
E
λ E 2 πε0 r
h
r
+ + +
o
y
x
34
5-4 电场强度通量 高斯定理
d S1 d S 0 d 2 2 r1 r0
d
r1
d S1
d S0
r0
17
5-4 电场强度通量 高斯定理
▲任一面元dS 对某点 所张的立体角： d
d S0
dS

球面
d S0 d S d 2 2 cos r r
▲闭合曲面对面内一点所张的 立体角等于球面对面内一点 所张的立体角，为
5-4 电场强度通量 高斯定理
5-4 电场强度通量 高斯定理
电场在复印技术上的应用：
静电复印机
2
5-4 电场强度通量 高斯定理
一、电场线（人为画的，并不存在）
1、规定 (1) 切线方向为电场强度方向 (2) 疏密表示电场强度的大小
3
5-4 电场强度通量 高斯定理
典型电场的电场线分布图形
正点电荷与负点电荷的电场线 一对等量正点电荷的电场线 一对等量异号点电荷的电场线 一对不等量异号点电荷的电场线 带电平行板电容器的电场线
S2
Φe1 Φe 2
en

o
en
en E
R
x
15
z
M
Q
5-4 电场强度通量 高斯定理 通过面S1的电通量为 Φe1 E dS ES1 cos π ES1 s1 通过面S2的电通量为 Φe 2 E dS ES2 cosθ ES1 s1
31
5-4 电场强度通量 高斯定理
静电复印机原理图：
现求光导筒均匀带电时的电场强度
32
5-4 Baidu Nhomakorabea场强度通量 高斯定理
设有一无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷， 即电荷线密度为，求距直线为r 处的电场强度。 解： 对称性：轴对称 闭合面：圆柱面 通过闭合面的电通量：
S
侧面 两底面
+ +
E dS E dS E dS
q
i 1
n
内
i
24
5-4 电场强度通量 高斯定理
4、高斯定理的讨论 (1) 高斯面：闭合曲面。
(2) 电场强度：所有电荷产生的总电场强度， 闭合面内、外电荷对电场有贡献。 (3) 电通量：穿出为正，穿进为负。 (4)只有闭合面内的电荷对电通量有贡献。 (5) 静电场：有源场。
1 Φe E dS ε0 S
θ 时，通过平
Φe ES ES cos θ
ES
S
S
θ
en
E
S S en
面积矢量
S
12
5-4 电场强度通量 高斯定理
3）非均匀电场，曲面S的电通量 任取平面元dS，该处电场可认为均匀，通过平 面元dS的电通量为：
dΦe E cosθdS E dS dS dS en 面积元矢量
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - -
平板电容器极板间电场强度？
9
5-4 电场强度通量 高斯定理
3、电场线的特点 通过上述典型电场的电场线分布图得电场线的 特点为 (1) 始于正电荷，止于负电荷，非闭合线。 (2) 任何两条电场线不相交。
1
0
闭合面内电荷
20
5-4 电场强度通量 高斯定理
2）点电荷在闭合曲面内 通过闭合面的电通量等 于球面的电通量 ，为
q Φe ε0
1
0
闭合面内电荷
+
S0
S
21
3）点电荷在闭合曲面外
5-4 电场强度通量 高斯定理
通过面元 d S1 和面元 d S2 的电通量为
dΦ2 E2 dS2 0
2 E d S e E d S E 4 r
S
S
S
R
O
r
1 内 qi 0 ε0 i
E 0
Q
29
5-4 电场强度通量 高斯定理
1 内 通过闭合面的电通量： e EdS E 4r qi S ε0 i Q Q E 2 ε0 4πε0 r
用高斯定理求电场强度的一般步骤为： 1、分析电场的对称性； 2、根据对称性选择合适的闭合面； 3、应用高斯定理计算电场。
1 Φe E dS ε0 S
q
i 1
n
内
i
27
5-4 电场强度通量 高斯定理
例2 求带电高压球周围的电场
28
5-4 电场强度通量 高斯定理
设高压球半径为R , 球面均匀带电Q。求高压 球面内外任意点的电场强度。 解：对称性分析：球对称 闭合面：球面 1、球内 0 r R 通过闭合面的电通量为：
E P
σ
E dS E dS E dS
S
侧面
‖ 0
两底面
由于电场线与柱面平行，所以侧面的电通量为零
37
5-4 电场强度通量 高斯定理
E dS E dS E dS
S 上底面 下底面
E
上底面
E dS E dS
电通量为零。
35
5-4 电场强度通量 高斯定理
利用高斯定理解E
E 2 π rl

内 q i i
R λ
0
i
E
内 q i
2 0l
r
内 i
E
圆柱面内 r R
q
i
0
E0
圆柱面外 r R
q
i
内 i

l
E 2π 0 r
36
5-4 电场强度通量 高斯定理
例5 无限大均匀带电平面，面密度 , 求电场强度分布。 解: 对称性：面对称 闭合面：圆柱面 通过闭合面的电通量为：
通过三棱柱体表 面的电通量为
y
N
S1
P
S2
Φe Φe1 Φe2 ES1 ES1 0
en

o
en
en E
R
x
16
z
M
Q
5-4 电场强度通量 高斯定理
三、高斯定理 Gauss theorem 1、立体角 立体(空间) 角， 如锥体的“顶角” 半径为 r1的球面部分的面积 d S1 ，半径为 r0 的球面部分的面积 d S0 ，立体角为
r
S0 4r 2 r0 r
2 0 2 0
4
S
r0
S0
18
5-4 电场强度通量 高斯定理
2、高斯定理的导出 在点电荷q的电场中，通过求电通量导出。
库仑定律
电场强度叠加原理
高斯 (C.F.Gauss 17771855）
高斯 定理
德国数学家、天文学家和物理学 家，有“数学王子”美称，他与 韦伯制成了第一台有线电报机和 建立了地磁观测台，高斯还创立 了电磁量的绝对单位制。
19
5-4 电场强度通量 高斯定理
1) 点电荷位于球面中心
面元处的场强为
q E 4 πε0 R 2
通过闭合球面的电通量为
e E d S E cosdS EdS
S S S
dS
+
R
E
q q 2 E dS 4R 2 S 4 0 R 0 1
dΦ1 E1 dS1 0
通过这一对面元的电 通量之和为零： 通过闭合面的电通量为
dS1
q
+
dΦ1 dΦ2 0
S
E2
E1
e E dS 0
1
dS 2
S
22
0
闭合面内电荷
闭合面内无电荷
5-4 电场强度通量 高斯定理
4)任意电荷系 任意带电体系可以看成由多个或无 限多个点电荷所组成。 通过闭合面的电通量为：
10
5-4 电场强度通量 高斯定理
二、电场强度通量 1、电通量的定义
通过电场中某个面的电场线数 2、电通量的计算公式 1）均匀电场， E 垂直 平面时，通过平面S的 电通量为：
S
S
en
E
Φe ES
11
5-4 电场强度通量 高斯定理
2） 均匀电场，E 与平面夹角 面S的电通量为：
q
i 1
n
内
i
25
5-4 电场强度通量 高斯定理
四、高斯定理应用举例 高斯定理对任何电荷分布都成立。只有电荷
分布具有对称性时，才能由电荷Q求电场E。 常见的电荷分布的对称性：
球对称
带电球体 带电球面 点电荷
柱对称
带电圆柱体 带电圆柱面 带电直线
面对称 带电无限 大平板
26
5-4 电场强度通量 高斯定理
41
5-4 电场强度通量 高斯定理
无限大带电平面的电场叠加问题




σ ε0
0
σ ε0
0
σ ε0
0
42
5-4 电场强度通量 高斯定理
第1次作业（第五章静电场） P.50 一、选择题 1, 4，5, 7，8, 9, 10，11，12，13，14 二、填空题 1，2，3, 5，6 三、计算题 1, 2, 3
0

q2
0

q3
0

q4
1 内 q 0 ... ε i 0 i 1
n
q2

1
S
23
0
闭合面内电荷
5-4 电场强度通量 高斯定理
3、高斯定理
高斯面
在真空中静电场，通过任一闭合曲面的电 通量，等于该曲面内所包围的所有电荷的代 数和除以 ε 0 。
1 Φe E dS ε0 S