非平稳时间序列模型(1)

• 方程(13.2.2)中没有截距项(这里称为漂移项)和时间趋势项，若在方程中分别加入漂移项和 时间趋势项，可得到另外两种随机游走方程：
• 方程(13.2.6)称为带漂移的单位根过程，方程(13.2.7)称为带漂移和时间趋势的单位根过程
。
Yt Yt1 t
(13.2.6)
Yt t Yt1 t
• 这里 Yt Y，t因1 此， Y检t验1 是Yt否1为单位t 根(过程就1)转Y而t1检验原t 假设 =0。
• 若 =0，则 =1， 为一个单位根过程；若
Y Y Y <0，则 <1， 是t 平稳的t 。于是t我1 们构造原假设 : =0，备择假设 : <0。
(13.4.2)
Yt Yt1 vt 1
• 如或果几时条间 ，序 则列X t是X非不t 平满稳足的如序下列平。稳性定义中的一条
平稳性定义 • （1）X t 的均值不随时间变化，
E(Xt )
•
（2）X
的方差不随时间变化，
t
var( X t ) E( X t )2 2
• （3）任何两期的X t与 X tk之间的协方差仅依赖于这 两期间隔的距离或滞后长度（ k），而不依赖于其他 变量（对所有的 k），即 X与t X tk的协方差表述为
迪基－富勒(ADF)检验。对应三种不同形式的DF检验，ADF检
验为：
p
Yt Yt1 i Yt i ut
(13.4.7)
i 1
p
Yt 0 Yt1 i Yti ut
(13.4.8)
i 1 p
Yt 0 1t Yt1 i Yti ut
(13.4.9)
i 1
▪上述检任然是都是基于 的估计。
(13.2.7)
认识数据特征：平稳数据和几种单位跟数据
图13.2.1： Yt 0.6Yt1 t
图13.2.2：Yt Yt1 t
图13.2.3：Yt 1 Yt1 t
图13.2.4：Yt 1 0.3t Yt1 t
§13.3. 趋势平稳和差分平稳过程
• 一、趋势平稳和差分平稳的数据生成过程
ຫໍສະໝຸດ Baidu
t = (1.15)
(-0.68)
(0.14)
• Eviews5检验结果输出表为：
所对应t统
计量值为-0.6
79，大于5%
显著性水平对
应的临界值-3.
05，不能拒绝
为单位根的原
假设。
• （二）我国季度GDP的数据特征
• 我们选择1995Q1～2008Q2的季度GDP, 数据来自中 经网统计数据库。使用消费者价格指数(1994=100) 换算成实际GDP后，再使用X12进行季节调整，去除 季节趋势。去季节趋势后的实际GDP取自然对数值L n(RGDP)见图13.4.3。
• 与之不同的是，我国的GDP虽有一定的波动，但存 在一个明显的上升趋势。如果我们把每年的GDP看 成是一个随机变量，那么，这种上升的趋势就使得 每年GDP的均值发生变化。类似GDP这样的数据变化 特征就是本章将要介绍的非平稳数据的一个典型特 征。
§13.2 非平稳时间序列与单位 根过程
• 定义：如果一个时间序列的均值或方差随时间而 变化，那么，这个时间序列数据就是非平稳的时 间序列数据；如果一个序列是非平稳的序列，常 常称这一序列具有非平稳性。
检验模型为：
q
pt pt 1 i
pt i ut
(13.4.10)
i 1
• 使用Eviews5对 P 进行ADF检验，其中滞后期q是根据最小AIC准则
确定为0，检验方程估计得到：
•
Pt 0.24Pt1 uˆt
t = (-1.946)
• Eviews5检验结果输出表为：
系数-0.24所对应的t统计量 值为大于ADF的5%显著性水平 下对应的临界值(-1.953)而 小于10%显著水平下的临界值 (-1.610)，因此，不能在5% 的显著性水平下拒绝单位根 的原假设，但可在10%的显著 性水平下拒绝单位根的原假
Yt
Yt
H0
Yt
H1
(13.4.3)
• 如何检验模型(13.4.3)的原假设是否成立？
• 在原假设 下，估计的 的回归系数的t统计值即 使在大样本H0下也不服从tY分t1 布，因此，使用通常的t 检验无法检验原假设是否成立。
• 迪型不基(同13－于.4t富.3分)勒中布的系，解数将决这的办时通法的常：t统t在型计原统量假计称设量之，为<但0下极统，限计使分量用布。模 • 迪极基限－分富 布勒 的使 临用 界蒙值特，麦卡金罗农仿(真Ma实cK验i计nn算on了)计 算统了计更量
三、ADF检验的实例
• （一）我们选择了1978～2007年江西省的商品零售价格
指数( P )和1989～2007年江西省净出口总额( EX )数
据，数据图形如图13.4.1和13.4.2。
图13.4.1：商品零售价格指数
图13.4.2：净出口总额
• 针对商品零售价格指数没有明显确定趋势的数据特征，设定ADF
为全面的极限分布临界值表，常用的计量软件都 带有。
• 与三种随机游走时间序列相对应的三种形式的D F检验形式：
Yt Yt1 ut
(13.4.4)
Yt 0 Yt1 ut
(13.4.5)
Yt 0 1t Yt1 ut
(13.4.6)
• 不论我们采用哪种形式的迪基－富勒检验，判
断法则都是基于 的估计。
及其趋势。
• 一旦从中减去其均值，所得到的序列就是平稳的， 因除此去，确由 定(性13趋.3势.6)的生过成程的称Yt为称除为趋趋势势。平稳过程。这种
• (4)在模型(13.3.1)中，若 0 0, 1 0, 2 1则, 可
以得到：
Yt 0 1t Yt1 t
(13.3.7)
• 这是一个带漂移和时间趋势的随机游走，将模型(13. 3.7)转化成差分的形式：
第十三章 非平稳时间序列模型
13.1 认识非平稳的数据特征 13.2 非平稳时间序列与单位根过程 13.3. 趋势平稳和差分平稳过程 13.4 单位根检验 13.5 ARIMA模型 13.6 谬误回归 13.7 协整与误差校正模型 13.8 我国商业银行利率的协整分析
前言
• 在前面的章节中，所阐述的有关时间序列数据模型 的内容都假定数据是平稳的，那么，实际经济中的 数据有没有可能是非平稳的？如何检验时间序列数 据的非平稳性？
Yt 0 1t t
(13.3.8)
• 可以看出，Yt含有时间趋势，因此Yt的均值随时间而 变化，Y是t 非平稳的。要使 变Yt 成平稳，需要对其进 行除趋势处理。也就是说， 是Yt 趋势平稳过程。
二、趋势平稳的检验方法
• 实际研究中一个简单的区分趋势平稳和差分平稳的 方法，就是从数据中去除其所含有的确定性部分， 然后检验其剩余部分是单位根过程还是平稳过程。 如果剩余部分是单位根过程，则说明该数据本身是 差分平稳，否则该数据就是趋势平稳过程。
设。
• 针对 EX 的数据图形的趋势，我们选择带漂移项，不带时间趋势 项的ADF检验：
q
EX t EX t1 i EX ti ut i 1
(13.4.11)
• 使用Eviews5对EX 进行ADF检验，其中滞后期q是根据最小AIC准 则确定为1，检验方程估计得到：
• EXt 126034.9 0.166EXt1 0.044EXt1 uˆt
• 特别是，如果我们面对的是非平稳的数据，原有的 基于平稳数据而建立的分析方法是否仍然适用？如 果不适用，我们就应该针对非平稳数据的特征，提 出新的分析方法。本章我们将系统阐述非平稳性的 概念、估计与检验方法。
§13.1 认识非平稳的数据特征
• 我们以中国国内生产总值(GDP)，经济增长率(g)的 数据为基础分析相关概念，具体数据如图：
k E[( X t )( X tk )]
• 所谓时间序列的随机游走（random walk）即指下一期 的值等于当期的值加上随机误差项。我们把随机游走划 分为带漂移的随机游走和不带漂移的随机游走。
• 非平稳性和随机游走的关系 ：
• 假设 Yt由一阶自回归过程所生成： Yt Yt1 t
• Nelson,Plosser(1982)等认为很多经济时间序列都 是由单位根而不是由确定性时间趋势来更好地 近似描述。因此，近期广受欢迎的一种非平稳 性检验就是所谓的单位根检验。
• 回忆我们曾讨论方程(13.2.1)中的 值，它帮助我们确定Y是平稳还是非平稳：
• 我们已在13.2节中定义, 如果 <1时， 是平稳的；当 >1时， 趋于以更快的速度爆炸性增 长，此时 称为发散过程；但当 =1， 是非平稳的且被称为单位根过程。
图13.4.3：实际GDP季度 数据
• 从图形可以看出，RGDP含有明显的确定性趋势，它很可能是带漂 移项、时间趋势项的单位根过程，因此，我们设定检验方程：
(13.2.1)
• 将 1代入方程(13.2.1)：
Yt Yt 1 t
(13.2.2)
• 这样定义的 Y被称为随机游走，假定时间序列从第0期
开始，我们就有：Y
t
Y
0
t
i
i 1
(13.2.3)
t
E(Yt ) E(Y0 i ) Y0 i 1
(13.2.4)
var(Yt ) t 2
(13.2.5)
Y Y • 因而此 判， 定迪是基否－是t富平勒稳（的DF, ）t 单1位根检t验的原理：估计方程（13.4.1），并确定是(否1有3.4<1.,1从)
Yt
Yt
Yt
Yt
Yt
• 首先，在方程（13.4.1）两边同时减去 ，得到：
• 定义
，我们就得到迪基－富勒（DF）检验最简单的表达式：
Yt 1
图13.1.1GDP数据图
图13.1.2 经济增长率数据图
• 从图13.1.2可以发现，我国经济增长率数据既没有 上升趋势，也没有下降趋势，而是围绕在某个均值 附近上下波动。一旦某年度的经济增长率偏离均值 ，它会随后较快地向均值回复，也就是说，经济增 长率具有均值回复特征。经济增长率的数据特征与 上一章中所介绍的平稳数据特征很相似。
以得到：
Yt 0 Yt1 t
(13.3.4)
• 这是一个带漂移的随机游走过程，是非平稳的单位 根过程，将其写成差分的形式：
Yt (Yt Yt1) 0 t
(13.3.5)
• 这意味着时间序列的变化(Yt)除了受 0的影响外，
还受误差项 t的影响，并且 Yt将把以前时期的 t值累
积起来，随机误差项对 的Yt这种累积效应被称为随 机趋势。 • 带漂移的单位根过程也是差分平稳的。
• 注意：检验原假设 =0的 检验随DF检验形式的
不同而不同，所对应统计量的临界值也不相同
，认识这点非常重要。
二、扩展的迪基－富勒(ADF)检验
• 考虑误差项存在序列相关，对迪基－富勒检验方程的设定形
式进行相应修正：将 Yt若干阶差分的滞后项作为迪基－富
勒检验方程中的解释变量，这种情形的DF检验被称为增广的
(13.3.2)
• 模型(13.3.2)是一个不带漂移和时间趋势项的随机游 走，是非平稳的单位根过程，对其取差分的形式， 得到：
Yt (Yt Yt1) t
(13.3.3)
• 由于随机误差项( )t是平稳的，因此，Y是t 平稳的。
换言之，一个不带漂移的随机游走是一个差分平稳 过程。
• (2)在模型(13.3.1)中，若 0 0, 1 0, 2 1则, 可
• (3)在模型(13.3.1)中，若 0 0, 1 0, 2 0则, 可
以得到：
Yt 0 1t t
(13.3.6)
• 模型(13.3.6) 所生成的数据，其均值不是常数而是时
间的函数（等于0 1）t ，其方差恒定(等于 的t 方差
) ，一旦知道了 的， 值，就可以准确预测 01
的Yt均值
• 例如，对如下模型做回归：
Yt 0 1t t
(13.3.9)
• 得到回归残差ˆt Yˆt ˆ0 ˆ1t ，再检验 ˆt 的平稳性， 基于检验结果判断 Yt 是否趋势平稳。
§13.4 单位根检验
• 一、迪基－富勒(DF)检验
• 数据的非平稳性可能归因于一个确定性时间趋 势，也可能是源自于数据生成过程中的随机游 走，也许两者兼而有之，区分非平稳数据的这 两种特征非常重要。
• 图13.1.1中我国的名义GDP表现出很强的趋势，这 种趋势是随机性的还是确定性的呢？还是两者兼而 有之呢？为清楚理解这一问题的含义，考虑如下模 型：
Yt 0 1t 2Yt1 t
(13.3.1)
• (1)在模型(13.3.1)中，若 0 0, 1 0, 2 1则, 可
以得到：
Yt Yt 1 t