1概率论基础
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i =1 ∞
σ 代数可以理解为信息集。例如，Ω3上有以下重要的σ 代数：
Fk 可以理解为“到时刻k的信息集”
σ代数构成的滤子
如果F0、F1、F2、F3 L 是Ω上的一系列σ 代数，且靠后的σ 代数 包含靠前的σ 代数，那么称{Fk }是一个滤子。 显然，F0、F1、F2、F3是Ω3的一个滤子。
有限非空集合Ω上定义的所有子集的集合为F，定义将Ω上 的元素映射到实数集的函数为随机变量。 例如，前面Ω3上定义的S0、S1、S 2、S3都是随机变量。 S0 =4，S1 ( H ) = 8, S 2 (TT ) = 1, S3 ( HHH ) = 32 S1 (TH ) = 2, S2 ( HTH ) = 4
风险中性概率
1+ r − d u −1− r % % % % % % 定义p = ,q = , 显然0 < p, q < 1且p +q =1 u−d u−d % % 可以把p和q看做某种概率测度下的二项分布概率。 % % 即：S1 ( H ) = p, S1 (T ) = q % % 称p和q为风险中性概率，有别于客观真实概率！ 定义风险中性概率仅仅是为了定价计算的方便！ 1 % % 于是，V0 = [ pV1 ( H ) + qV1 (T )] 1+ r
概率论基础
西南财经大学 张勇
本章概要
• • • • • 二叉树定价模型 有限概率空间 勒贝格测度和勒贝格积分 一般概率空间 独立性
二叉树定价模型
• 假定股票价格是个离散序列 • 每一步股票价格的变动只有两种可能（上 升、下降） • 假定0<d<1+r<u，这是因为：
– 两种情形下的股票风险收益，不能都高于或者 都低于无风险收益。 – 若不然，会有什么情况出现？
以掷硬币决定的价格二叉树
H表示正面朝上，T表示背面朝上，u=2，d=0.5，这里ud=1
随机变量和随机过程
用Sk 表示掷币k次后的随机变量，显然有： S1 ∈ Ω1 ={H , T }；S2 ∈ Ω 2 ={HH , HT , TH , TT }, S3 ∈ Ω3 ={HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT },L 随机变量构成的序列：S1 , S2 , S3 L 被称为随机过程。 S k 只在离散的k 上有定义，所以{S k }是离散的随机过程。
有限概率空间
假定Ω是一个定义好的概率空间，例如前面已定义过的 Ω3 ={HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT } F 是Ω上所有子集的集合。在这个例子中， Φ、 {HHH , HHT , HTH }、 {TTT }、Ω3都是Ω3的子集， 所以，它们都是集合F3上的元素。 概率测度Ρ( )是一个函数将F映射到[0,1],且满足： Ρ(Ω) = 1, 且Ρ(U X i )= ∑ Ρ( X i ), 这里各个X i 互不相交。
Borel可测
如果∀A ∈ Β( ), 集合{x ∈ ; f ( x) ∈ A} ∈ Β( ), 则称f ( )是Borel可测的。 实际上，构造一个Borel不可测的函数是很困难的。 上述定义仅仅有数学理论意义，几乎没有实用意义。
R上的勒贝格积分
①若函数g ( )定义在 上，且取值仅为0和1，则称g ( )为示性函数。 称A {x ∈ ; g ( x) = 1}为函数g的示性集。 示性函数g的勒贝格积分
资产组合复制T=2的期权（1）
欧式期权在T = 2时的价值V2 = ( S 2 − K ) + 仍然假定V0是期权现在的价值。我们卖空该期权，获得现金V0 同时购买∆ 0数量的股票，再把剩下的V0 − ∆ 0 S0投资一年期存款。 一年后，该资产组合的价值X 1可能出现两种情况： X 1 ( H ) = ∆ 0 S1 ( H ) + (1 + r )(V0 − ∆ 0 S0 ) X 1 (T ) = ∆ 0 S1 (T ) + (1 + r )(V0 − ∆ 0 S0 ) 这里X 1 ( H )、X 1 ( H )、∆ 0、V0都是待定参数。
1
∫
( f + g )d µ0 = ∫ fd µ0 + ∫ gd µ0
,
∫
cfd µ0 = c ∫ fd µ0
∀x ∈ , f ( x) ≤ g ( x) ⇔ ∫ fd µ0 ≤ ∫ gd µ0 若A I B = φ，
∫
AU B
fd µ0 = ∫ fd µ0 + ∫ fd µ0
A B
勒贝格积分下的收敛定理
n →∞ n →+∞
f n ( x)
∞ , 若x = 0 n − nx e 2 逐点收敛于f ( x) = , 但 ∫ f n ( x) d µ0 = 1 2π 0, 若x ≠ 0
2
lim ∫ f n ( x)d µ0 ≠ ∫ lim f n ( x)d µ0 = 0
n →∞ n →+∞
fd µ0
sup{∫ hd µ0 ; ∀x ∈ , 简单函数h( x) ≤ f ( x)成立}
fd µ0不一定有限，如果有限，称非负函数f ( )勒贝格可积。
④若函数f ( )定义在 ，且在某些点取+∞或-∞，定义f 的勒贝格积分为: fd µ0
∫
f + d µ0 − ∫ f − d µ0 ,
当∫ f + d µ0和∫ f − d µ0都有限时，称函数f ( )勒贝格可积。
i =1 i =1 n n
概率测度的一个例子
1 2 扔一枚硬币出现正面（H）的概率是 ,出现背面是 ，该概率测度下 3 3 我们可以计算Ω3上每个子集的对应客观概率。
σ代数
满足以下三条性质的、Ω上某些子集构成的集合G被称为Ω上的σ 代数。 (i)φ A ∈ G;(ii)A ∈ G ⇔ A ∈ G;（iii)A1、A2、A3 L ∈ G ⇔ U Ai ∈ G；
ωk 表示集合Ω k中的一个样本点，那么：
S1 (ω1 ) = H 或者T S3 (ω3 ) =Ω3中的任意一个元素
欧wk.baidu.com看涨期权的二叉树定价
欧式看涨期权赋予投资者仅在未来的T时刻， 以事先约定的价格K 购买1单位标的资产。 以该股票价格为标的，行权时间T = 1的欧式看涨期权， 其价值的随机变量为：
资产组合复制T=2的期权（2）
两年后，该资产组合的价值应该对应V2的四种情况： V2 ( HH ) = ∆1 ( H ) S 2 ( HH ) + (1 + r )[ X 1 ( H ) − ∆1 ( H ) S1 ( H )] V2 ( HT ) = ∆1 ( H ) S 2 ( HT ) + (1 + r )[ X 1 ( H ) − ∆1 ( H ) S1 ( H )] V2 (TH ) = ∆1 (T ) S 2 (TH ) + (1 + r )[ X 1 (T ) − ∆1 (T ) S1 ( H )] V2 (TT ) = ∆1 (T ) S 2 (TT ) + (1 + r )[ X 1 (T ) − ∆1 (T ) S1 ( H )] 这四个方程和前面的两个方程可以解得： V0、∆ 0、∆1 ( H )、∆1 (T )、X 1 ( H )和X 1 (T ) 前两个方程解得：∆1 ( H ) = 后两个方程解得：∆1 (T ) = V1 ( HH )-V1 ( HT ) S 2 ( HH ) − S 2 ( HT ) V1 (TH )-V1 (TT ) S 2 (TH ) − S 2 (TT )
任意集合上的勒贝格积分
∫
A
fd µ0
∫
I A fd µ0 , 其中I A是集合A的示性函数。
例题：A是[0,1]上所有有理数的集合，计算∫ 1d µ0和∫ I A dx
A 0 +∞ +∞, 若x = 0 例题：若f ( x) = , 计算∫ f ( x)d µ0和∫ f ( x)dx −∞ 0, 若x ≠ 0
– 定义为区间的长度。 – 具有概率测度P的大部分性质。 –μ0 (R)=+∞
Borel集
Borel集被定义为包含 上所有开区间的最小的σ 代数。 所有的广义开区间属于Borel集。 所有的广义闭区间属于Borel集。 所有的区间属于Borel集。 所有的有理数属于Borel集。 所有的无理数属于Borel集。 有没有不属于Borel集的集合？有，康托集。
σ(S )与F 的区别
k k
称{ω ∈ Ω；X (ω ) ∈ A}为随机变量X 映射下，集合A的原像。 更多的时候，习惯把{ω ∈ Ω；X (ω ) ∈ A}简记为{X ∈ A} 例如，我们只知道股票在时刻2的价格信息， 取A={φ ,{1},{4},{16},{1,4},{1,16},{4,16},{1,4,16}}， 则A在S 2下的原像为{φ , ATT ,AHT U ATH ,AHH ,L , Ω} 显然，原像的集合是一个σ 代数，称为σ ( S 2 )，而σ ( S 2 ) ⊂ F2 这样，称随机变量S 2是F2可测的。
这里期权在t=1时刻的价值仅有两种可能。
构造资产组合复制该期权
用定期存款和该股票可以构造资产组合，复制该期权。 假定V0是期权现在的价值。我们可以卖空该期权，获得现金V0 我们购买∆ 0数量的股票，再把剩下的V0 − ∆ 0 S0投资一年期存款。 一年后，如果S1 =uS0 , 那么有：V1 ( H ) = ∆ 0uS0 + (1 + r )(V0 − ∆ 0 S0 ) 如果S1 =dS0 , V1 (T ) = ∆ 0 dS0 + (1 + r )(V0 − ∆ 0 S0 ) 联立上面两式解得： V1 ( H )-V1 (T ) ∆0 = u−d 1 1+ r − d u −1− r V0 = [ V1 ( H ) + V1 (T )] 1+ r u − d u−d
∀x ∈ , 若 lim f n ( x) = f ( x)存在，称{f n ( x)}逐点收敛于极限函数f ( x)
n →+∞
概率论中的逐点收敛例子： f n ( x) 1 − ( x −2n ) e 逐点收敛于f ( x) ≡ 0，但 ∫ f n ( x)d µ0 = 1 2π
2
lim ∫ f n ( x)d µ0 ≠ ∫ lim f n ( x)d µ0
∫ ∫
gd µ0
µ0 ( A)
②若函数h( )定义在 ，且为示性函数的线性组合，则称h( )为简单函数。 简单函数h的勒贝格积分 hd µ0
∑c ∫
k =1 k
n
g k d µ0 = ∑ ck µ0 ( Ak )
k =1
n
③若非负函数f ( )定义在 ，且在某些点取值+∞，定义f 的勒贝格积分为：
∫ ∫ ∫
数学期望与方差
数学期望E ( X ) 方差Var ( X )
∑ X (ω ) P(ω ) ω
∈Ω 2
∑ ( X (ω ) − E ( X )) ω
∈Ω
P(ω )
勒贝格测度与勒贝格积分
• 引入勒贝格积分的必要性
– 勒贝格积分是黎曼积分的推广。 – 勒贝格积分可以定义在很多抽象空间上。
• 勒贝格测度(R)μ0
引导测度L与分布函数
LX ( A) Ρ( X ∈ A) = Ρ{ω ∈ Ω；X (ω ) ∈ A} 集合A在随机变量X 下的引导测度，就是集合A在映射X 下原像ω的概率测度。例如：
小结
随机变量X 只是一个函数映射：Ω → ，与概率无关。 分布函数是定义在 上的一个引导测度LX , 它依赖两方面： ①对于 上的任意子集，映射X 下的原像构成的样本集合。 ②概率映射Ρ：Ω → [0,1]给出样本集合的对应概率值。 简言之，整个流程是： → Ω → [0,1] 可见，概率测度并不影响随机变量X 的取值。无论是客观 概率P还是风险中性概率测度Q都是如此。 同一随机变量X 在不同的概率测度下分布不同。 不同随机变量在同一概率测度下分布可能相同。
风险中性概率定价
% % 其他计算结果仍可以用前面定义的p、q表示： 1 % % [ pV2 ( HH ) + qV2 ( HT )] X1 (H ) = 1+ r 1 % % X 1 (T ) = [ pV2 (TH ) + qV2 (TT )] 1+ r 1 % % V0 = [ pX 1 ( H ) + qX 1 (T )] 1+ r X 1 ( H ) − X 1 (T ) ∆0 = S1 ( H ) − S1 (T )
σ 代数可以理解为信息集。例如，Ω3上有以下重要的σ 代数：
Fk 可以理解为“到时刻k的信息集”
σ代数构成的滤子
如果F0、F1、F2、F3 L 是Ω上的一系列σ 代数，且靠后的σ 代数 包含靠前的σ 代数，那么称{Fk }是一个滤子。 显然，F0、F1、F2、F3是Ω3的一个滤子。
有限非空集合Ω上定义的所有子集的集合为F，定义将Ω上 的元素映射到实数集的函数为随机变量。 例如，前面Ω3上定义的S0、S1、S 2、S3都是随机变量。 S0 =4，S1 ( H ) = 8, S 2 (TT ) = 1, S3 ( HHH ) = 32 S1 (TH ) = 2, S2 ( HTH ) = 4
风险中性概率
1+ r − d u −1− r % % % % % % 定义p = ,q = , 显然0 < p, q < 1且p +q =1 u−d u−d % % 可以把p和q看做某种概率测度下的二项分布概率。 % % 即：S1 ( H ) = p, S1 (T ) = q % % 称p和q为风险中性概率，有别于客观真实概率！ 定义风险中性概率仅仅是为了定价计算的方便！ 1 % % 于是，V0 = [ pV1 ( H ) + qV1 (T )] 1+ r
概率论基础
西南财经大学 张勇
本章概要
• • • • • 二叉树定价模型 有限概率空间 勒贝格测度和勒贝格积分 一般概率空间 独立性
二叉树定价模型
• 假定股票价格是个离散序列 • 每一步股票价格的变动只有两种可能（上 升、下降） • 假定0<d<1+r<u，这是因为：
– 两种情形下的股票风险收益，不能都高于或者 都低于无风险收益。 – 若不然，会有什么情况出现？
以掷硬币决定的价格二叉树
H表示正面朝上，T表示背面朝上，u=2，d=0.5，这里ud=1
随机变量和随机过程
用Sk 表示掷币k次后的随机变量，显然有： S1 ∈ Ω1 ={H , T }；S2 ∈ Ω 2 ={HH , HT , TH , TT }, S3 ∈ Ω3 ={HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT },L 随机变量构成的序列：S1 , S2 , S3 L 被称为随机过程。 S k 只在离散的k 上有定义，所以{S k }是离散的随机过程。
有限概率空间
假定Ω是一个定义好的概率空间，例如前面已定义过的 Ω3 ={HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT } F 是Ω上所有子集的集合。在这个例子中， Φ、 {HHH , HHT , HTH }、 {TTT }、Ω3都是Ω3的子集， 所以，它们都是集合F3上的元素。 概率测度Ρ( )是一个函数将F映射到[0,1],且满足： Ρ(Ω) = 1, 且Ρ(U X i )= ∑ Ρ( X i ), 这里各个X i 互不相交。
Borel可测
如果∀A ∈ Β( ), 集合{x ∈ ; f ( x) ∈ A} ∈ Β( ), 则称f ( )是Borel可测的。 实际上，构造一个Borel不可测的函数是很困难的。 上述定义仅仅有数学理论意义，几乎没有实用意义。
R上的勒贝格积分
①若函数g ( )定义在 上，且取值仅为0和1，则称g ( )为示性函数。 称A {x ∈ ; g ( x) = 1}为函数g的示性集。 示性函数g的勒贝格积分
资产组合复制T=2的期权（1）
欧式期权在T = 2时的价值V2 = ( S 2 − K ) + 仍然假定V0是期权现在的价值。我们卖空该期权，获得现金V0 同时购买∆ 0数量的股票，再把剩下的V0 − ∆ 0 S0投资一年期存款。 一年后，该资产组合的价值X 1可能出现两种情况： X 1 ( H ) = ∆ 0 S1 ( H ) + (1 + r )(V0 − ∆ 0 S0 ) X 1 (T ) = ∆ 0 S1 (T ) + (1 + r )(V0 − ∆ 0 S0 ) 这里X 1 ( H )、X 1 ( H )、∆ 0、V0都是待定参数。
1
∫
( f + g )d µ0 = ∫ fd µ0 + ∫ gd µ0
,
∫
cfd µ0 = c ∫ fd µ0
∀x ∈ , f ( x) ≤ g ( x) ⇔ ∫ fd µ0 ≤ ∫ gd µ0 若A I B = φ，
∫
AU B
fd µ0 = ∫ fd µ0 + ∫ fd µ0
A B
勒贝格积分下的收敛定理
n →∞ n →+∞
f n ( x)
∞ , 若x = 0 n − nx e 2 逐点收敛于f ( x) = , 但 ∫ f n ( x) d µ0 = 1 2π 0, 若x ≠ 0
2
lim ∫ f n ( x)d µ0 ≠ ∫ lim f n ( x)d µ0 = 0
n →∞ n →+∞
fd µ0
sup{∫ hd µ0 ; ∀x ∈ , 简单函数h( x) ≤ f ( x)成立}
fd µ0不一定有限，如果有限，称非负函数f ( )勒贝格可积。
④若函数f ( )定义在 ，且在某些点取+∞或-∞，定义f 的勒贝格积分为: fd µ0
∫
f + d µ0 − ∫ f − d µ0 ,
当∫ f + d µ0和∫ f − d µ0都有限时，称函数f ( )勒贝格可积。
i =1 i =1 n n
概率测度的一个例子
1 2 扔一枚硬币出现正面（H）的概率是 ,出现背面是 ，该概率测度下 3 3 我们可以计算Ω3上每个子集的对应客观概率。
σ代数
满足以下三条性质的、Ω上某些子集构成的集合G被称为Ω上的σ 代数。 (i)φ A ∈ G;(ii)A ∈ G ⇔ A ∈ G;（iii)A1、A2、A3 L ∈ G ⇔ U Ai ∈ G；
ωk 表示集合Ω k中的一个样本点，那么：
S1 (ω1 ) = H 或者T S3 (ω3 ) =Ω3中的任意一个元素
欧wk.baidu.com看涨期权的二叉树定价
欧式看涨期权赋予投资者仅在未来的T时刻， 以事先约定的价格K 购买1单位标的资产。 以该股票价格为标的，行权时间T = 1的欧式看涨期权， 其价值的随机变量为：
资产组合复制T=2的期权（2）
两年后，该资产组合的价值应该对应V2的四种情况： V2 ( HH ) = ∆1 ( H ) S 2 ( HH ) + (1 + r )[ X 1 ( H ) − ∆1 ( H ) S1 ( H )] V2 ( HT ) = ∆1 ( H ) S 2 ( HT ) + (1 + r )[ X 1 ( H ) − ∆1 ( H ) S1 ( H )] V2 (TH ) = ∆1 (T ) S 2 (TH ) + (1 + r )[ X 1 (T ) − ∆1 (T ) S1 ( H )] V2 (TT ) = ∆1 (T ) S 2 (TT ) + (1 + r )[ X 1 (T ) − ∆1 (T ) S1 ( H )] 这四个方程和前面的两个方程可以解得： V0、∆ 0、∆1 ( H )、∆1 (T )、X 1 ( H )和X 1 (T ) 前两个方程解得：∆1 ( H ) = 后两个方程解得：∆1 (T ) = V1 ( HH )-V1 ( HT ) S 2 ( HH ) − S 2 ( HT ) V1 (TH )-V1 (TT ) S 2 (TH ) − S 2 (TT )
任意集合上的勒贝格积分
∫
A
fd µ0
∫
I A fd µ0 , 其中I A是集合A的示性函数。
例题：A是[0,1]上所有有理数的集合，计算∫ 1d µ0和∫ I A dx
A 0 +∞ +∞, 若x = 0 例题：若f ( x) = , 计算∫ f ( x)d µ0和∫ f ( x)dx −∞ 0, 若x ≠ 0
– 定义为区间的长度。 – 具有概率测度P的大部分性质。 –μ0 (R)=+∞
Borel集
Borel集被定义为包含 上所有开区间的最小的σ 代数。 所有的广义开区间属于Borel集。 所有的广义闭区间属于Borel集。 所有的区间属于Borel集。 所有的有理数属于Borel集。 所有的无理数属于Borel集。 有没有不属于Borel集的集合？有，康托集。
σ(S )与F 的区别
k k
称{ω ∈ Ω；X (ω ) ∈ A}为随机变量X 映射下，集合A的原像。 更多的时候，习惯把{ω ∈ Ω；X (ω ) ∈ A}简记为{X ∈ A} 例如，我们只知道股票在时刻2的价格信息， 取A={φ ,{1},{4},{16},{1,4},{1,16},{4,16},{1,4,16}}， 则A在S 2下的原像为{φ , ATT ,AHT U ATH ,AHH ,L , Ω} 显然，原像的集合是一个σ 代数，称为σ ( S 2 )，而σ ( S 2 ) ⊂ F2 这样，称随机变量S 2是F2可测的。
这里期权在t=1时刻的价值仅有两种可能。
构造资产组合复制该期权
用定期存款和该股票可以构造资产组合，复制该期权。 假定V0是期权现在的价值。我们可以卖空该期权，获得现金V0 我们购买∆ 0数量的股票，再把剩下的V0 − ∆ 0 S0投资一年期存款。 一年后，如果S1 =uS0 , 那么有：V1 ( H ) = ∆ 0uS0 + (1 + r )(V0 − ∆ 0 S0 ) 如果S1 =dS0 , V1 (T ) = ∆ 0 dS0 + (1 + r )(V0 − ∆ 0 S0 ) 联立上面两式解得： V1 ( H )-V1 (T ) ∆0 = u−d 1 1+ r − d u −1− r V0 = [ V1 ( H ) + V1 (T )] 1+ r u − d u−d
∀x ∈ , 若 lim f n ( x) = f ( x)存在，称{f n ( x)}逐点收敛于极限函数f ( x)
n →+∞
概率论中的逐点收敛例子： f n ( x) 1 − ( x −2n ) e 逐点收敛于f ( x) ≡ 0，但 ∫ f n ( x)d µ0 = 1 2π
2
lim ∫ f n ( x)d µ0 ≠ ∫ lim f n ( x)d µ0
∫ ∫
gd µ0
µ0 ( A)
②若函数h( )定义在 ，且为示性函数的线性组合，则称h( )为简单函数。 简单函数h的勒贝格积分 hd µ0
∑c ∫
k =1 k
n
g k d µ0 = ∑ ck µ0 ( Ak )
k =1
n
③若非负函数f ( )定义在 ，且在某些点取值+∞，定义f 的勒贝格积分为：
∫ ∫ ∫
数学期望与方差
数学期望E ( X ) 方差Var ( X )
∑ X (ω ) P(ω ) ω
∈Ω 2
∑ ( X (ω ) − E ( X )) ω
∈Ω
P(ω )
勒贝格测度与勒贝格积分
• 引入勒贝格积分的必要性
– 勒贝格积分是黎曼积分的推广。 – 勒贝格积分可以定义在很多抽象空间上。
• 勒贝格测度(R)μ0
引导测度L与分布函数
LX ( A) Ρ( X ∈ A) = Ρ{ω ∈ Ω；X (ω ) ∈ A} 集合A在随机变量X 下的引导测度，就是集合A在映射X 下原像ω的概率测度。例如：
小结
随机变量X 只是一个函数映射：Ω → ，与概率无关。 分布函数是定义在 上的一个引导测度LX , 它依赖两方面： ①对于 上的任意子集，映射X 下的原像构成的样本集合。 ②概率映射Ρ：Ω → [0,1]给出样本集合的对应概率值。 简言之，整个流程是： → Ω → [0,1] 可见，概率测度并不影响随机变量X 的取值。无论是客观 概率P还是风险中性概率测度Q都是如此。 同一随机变量X 在不同的概率测度下分布不同。 不同随机变量在同一概率测度下分布可能相同。
风险中性概率定价
% % 其他计算结果仍可以用前面定义的p、q表示： 1 % % [ pV2 ( HH ) + qV2 ( HT )] X1 (H ) = 1+ r 1 % % X 1 (T ) = [ pV2 (TH ) + qV2 (TT )] 1+ r 1 % % V0 = [ pX 1 ( H ) + qX 1 (T )] 1+ r X 1 ( H ) − X 1 (T ) ∆0 = S1 ( H ) − S1 (T )