分式方程的概念及例题与解法

分式方程的概念及例题与解法

知识点梳理

知识点一：分式方程的定义

分母里含有未知数的方程叫分式方程。

要点诠释：

1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和

都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。

知识点二：分式方程的解法

1. 解分式方程的其本思想

把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

2．解分式方程的一般方法和步骤

(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

(2)解这个整式方程。

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公

分母等于零的根是原方程的增根。

注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。

3. 增根的产生的原因：

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

规律方法指导

1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．

经典例题透析：

类型一：分式方程的定义

例1、下列各式中，是分式方程的是（）

A．B．C．D．

举一反三：

【变式】方程中，x为未知量，a,b为已知数，且，则这个方程是（）

A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程

类型二：分式方程解的概念

例2、请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________.

举一反三：

【变式】在中，哪个是分式方程的解，为什么？

类型三：分式方程的解法

例3、解方程

举一反三：

【变式】解方程：(1)＝; (2)＋＝2.

类型四：增根的应用

例4、当m为何值时，方程会产生增根( )

A. 2

B. －1

C. 3

D.－3

举一反三：

【变式】.若方程＝无解，则m＝。

学习成果测评

基础达标

1．要把分式方程化成整式方程，方程两边需要同时乘以（）．

A．2x-4 B．x C．2(x-2) D．2x(x-2)

2．方程的解是（）．

A．1 B．-1C．±1 D．0

3．把分式方程的两边同时乘以（x-2），约去分母得（）．

A．1-（1-x）=1 B．1+(1-x)=1

C．1-（1-x）=x-2 D．1+(1-x)=x-2

填空题

4．已知若（a、b都是整数），则a+b的值是______．5．已知，则______________．

6．已知，则分式的值为______________．

解答题

7．解方程

（1）；（2）．

8．观察图示的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：

（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示．

（2）猜想并写出与第n 个图形相对应的等式．

综合探究

解答题

9．先阅读下列一段文字，然后解答问题．

已知：

方程2111

=-x

x 的解是x 1=2，x 2=21-； 方程3221=-x

x 的解是x 1=3，x 2=31-； 方程4331=-x

x 的解是x 1=4，x 2=41-； 方程5441=-x x 的解是x 1=5，x 2=5

1-． 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程1110101=-x x 的解，并写出检验．

10．阅读理解题：

阅读下列材料，关于x 的方程：

c c x x 11+=+

的解是x 1=c ，x 2=c

1； c c x x 22+=+的解是x 1=c ，x 2=c

2； c c x x 33+=+的解是x 1=c ，x 2=c 3；……． （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程c

m c x m x +=+（m ≠0）与它们的关系，•猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．

（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：•如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数，方程右边的形式与左边完全相同，只把其中未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x 的方程：1

212-+=-+

a a x x ．

答案与解析：

选择题

1.D （提示：关键是要将分式方程化成整式方程，所以选项A、B、C均不能达到目的．）

2.D （提示：本题不用考虑选项A、B、C，因为x=1或者-1时，原方程没有意义．只需要将x=0带入原方程检验即可．）

3.D （提示：本题有两个地方需要注意：（1）去分母时第二个分式的分子要带括号，这样可以避免符号出错；（2）方程的右边也要乘以（x-2）.）

填空题

4.19 （提示：本题的关键是找出通项，，即可求出a、b的值．）

5.（提示：先将两边平方，可得x2+=14,然后将所求代数式取倒数，求得

=15，最后再取倒数即可．）

6.（提示：由得出x-y=-3xy,带入所求分式的分子和分母即可．）

解答题

7.(1)3（提示：按解方程的步骤，注意不要跳步．）

(2)无解（提示：本题要注意解方程后一定要检验．）

8.(1)；图示略．

(2)（提示：找到通项是本题关键，建议大家先关注第（2）问．）

综合探究

解答题

9．x1=11，x2=-；代入检验即可．

10．（1）x1=c，；代入检验．（2）．