第2章 对偶问题
02对偶理论
6
对偶关系对应表
第2章 对偶理论
原问题 （对偶问题）
对偶问题（原问题）
目标函数
Max
Min
目标函数系数
约束方程右端常数
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
m个
约束
≤
条件
≥
=
约束方程右端常数
目标函数系数
n个
≥
≤ = m个
≥0 ≤0 无约束
-Y1 +2Y2 +Y3 ′- Y3〞 ≥0
Y2 -Y3 ′+Y3〞 ≥2 -Y1 +6Y2 +3Y3 - 3Y3〞≥-5 Y1 ，Y2 ，Y3 ′，Y3〞 ≥0 令Y1 ′ = -Y1 ， Y3 = Y3 ′- Y3〞 , 则模型可表示为
Min =2Y1 ′ +6Y2 Y1 ′ +2Y2 +Y3 ≥0
或出售,如何给资源定价才合算？
产Ⅰ产品的单位获利
定价应考虑的问题 1.出卖资源获利应不少于生产获利 2.价格尽可能低，才能有竞争力 设Y1 Y2 Y3分别为3种资源的出卖价格
1Y1+4Y2≥2 同理 2Y1+4Y3≥3 最低价格应使总收入最小
Min z= 8Y1+16Y2+12Y3
1
对偶问题的提出
y1符号不限, y2 0, y3 0 y1符号不限, y2 0, y3 0
√
×
Min Z 4x1 2x2 3x3
4x1 5x2 6x3 7 s.t.182x1x191x32 x2101x43 11
x1 0, x2符 号 不 限, x3 0 9
第2章 对偶问题
第2章 对偶问题判断下列说法是否正确：对偶问题的对偶问题一定是原问题；根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解； 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y >0，说明在最优生产计划中的i 种资源已完全耗尽；已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y ＝0，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；若某种资源的影子价格等于k ，在其它条件不变的情况下，当改种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； 在线性规划问题的最优解中，如某一变量j x 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数j c 或在各约束中的相应系数ij a ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其它列数字的变化。
简答题、试述对偶单纯形法的优点及其应用上的局限性。
、试述对偶单纯形法的步骤。
、试解释对偶解的经济含义和影子价格在市场决策中的作用。
、什么是资源的影子价格？同相应的市场价格之间有何区别？以及研究影子价格的意义是什么？:判断下列说法是否正确，为什么？（a ）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； （b ）如果线性规划的对偶问题存在可行解，则其原问题也一定无可行解；（c ）在互为对偶的一对原问题和对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数都一定不超过其对偶问题可行解的目标函数。
若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数最大值将增加5k 吗？ 已知*i y 为某线性规划问题的对偶问题最优解中的第i 分量，若*i y ＝0，能否肯定在最优生产计划种第i 种资源一定有剩余？写出对偶问题写出下列线性规划问题的对偶问题123max 102Z x x x =++123123123420,,0x x x x x x ++≤≥写出下列线性规划问题的对偶问题1234max 23Z x x x x =+++12341231341324252341,0,,x x x x x x x x x x x x x x +++≤-+=--+≥≥无约束写出下列线性规划问题的对偶问题1234min 3234Z x x x x =+-+1234234123414232343345237420,0,,x x x x x x x x x x x x x x x -++≤++≥----=≥≤无约束写出下列线性规划问题的对偶问题123min 567Z x x x =---123123123123531556102050,0,x x x x x x x x x x x x -+-≥--+≤--=-≤≥无约束写出下列线性规划问题的对偶问题123max 25Z x x x =++12312313123235237365,,0x x x x x x x x x x x ++≤++≤+≤≥写出下列线性规划问题的对偶问题123max Z x x x =++1231312327664,,0x x x x x x x x ++=+≥≥写出下列线性规划问题的对偶问题123min 423Z x x x =++123123131232562742,0,0x x x x x x x x x x x ++≤++=+≥≤≥无约束写出下列线性规划问题的对偶问题：1231231231231232242352373..465,,0MinZ x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩写出下列线性规划问题的对偶问题：12312312312312323231325..34,,0,MinZ x x x x x x x x x s t x x x x x x =--+-=⎧⎪-+≥-⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩无限制写出下列线性规划问题的对偶问题：123123123131232423134..40,0,MaxZ x x x x x x x x x s t x x x x x =++++≥⎧⎪-+≤⎪⎨+=⎪⎪≥≤⎩无限制写出下列线性规划问题的对偶问题：1234512345123451~45275354625..232690,MaxZ x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++++=⎧⎪++++=⎨⎪≥⎩无限制写出下面线性规划问题的对偶问题12max 52z x x =-+1212123235,0x x x x x x -+≤-+≤≥写出下面线性规划问题的对偶问题12max 56z x x =+12122553x x x x +=-+≥1x 无限制2,0x ≥设有原始问题123max 325z x x x =++约束条件：12313121232560324204400,,0x x x x x x x x x x ++≤+≤+≤≥写出以上原始问题的对偶问题。
对偶问题
②若P问题是无界解,则D问题就是无可行解. ③若P问题有可行解,而其D问题却无可行解, 则P问题就是无界解. 2、强对偶定理:若P问题和D问题都有可行解, 则它们都有最优解,并且它们的最优解的目 标函数值相等. 于是得到如下最优解判定定理: 最优解判定定理 若P问题的某个可行解X0的 目标函数值与其D问题的某个可行解Y0的目 标函数值相等,则X0和Y0分别是相应问题的 最优解.
max f 2 x1 2 x2 3 x3 1.5 x1 2 x2 3 x3 45 s.t 2 x1 x2 2 x3 20 x1 , x2 , x3 0
2
现在问题却是这样的：由于产品结构调整， 工厂需要将这些资源卖出去，然后转产生 产其它产品，那么对资历源A和B如何定价， 才能是让买卖双方都能接受。 作为厂方来说，当然希望价格越高越好，但 太高了买方肯定不能接受，要想能卖出去， 就只能定低价,但低到什么程度,底线是多少? 这里利润c1、c2和c3就是考虑的依据.即出售 资源的价格应该考虑其利润不比用这些资 源组织生产所产生的利润低.设y1和y2分别 表示资源源A和B的价格,按产品原料配套来 卖,则应该有关系:
-7
0 1 0 0 1 0 0 1 -1 -1
0
-1 0 -10000 -1 0 -1.5 -0.5 0.5 -2 -1
0
0 -1 -7 0 -1 -7 0 -1 -6 1
-10000
1 0 0 1 0 -9998.5 0.5 -0.5 -9998 1
y2
2
0
1
2
1
-2
-1
19
去掉人工变量后,D问题的第一个可行基解 正好是最优解.
单位利润
2
线性规划的对偶问题
(二)非对称型对偶问题
max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a11x1 a12 x2 a13x3 a13x3 b1
a21x1 a22 x2 a23x3 a23x3 b2 a2a1x21x1 a2a2 x222x2 a2a3x233x3 a2a3x233x3 b2b2 a31x1 a32x2 a33x3 a33x3 b3
min w b1y1 b2 y2 b3 y3 s.t. a11 y1 a21 y2 a31 y3 c1
a12 y1 a22 y2 a32 y3 c2
a13 y1 a23 y2 a33 y3 c3 y1 0，y2无约束，y3 0
第11页
(二)非对称型对偶问题
对偶问题（原问题）
目标函数 min
约束条件右端常数
目标函数的系数
3个
≥0
变
≤0
量
无符号限制
23个
约
≥
束
≤
条 件
=
第13页
二、原问题与对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题）
目标函数 max
目标函数的系数
约束条件右端常数
约 m个
束≤
条 件
≥
=
n个
变
≥0
量
≤0
无符号限制
对偶问题（原问题）
目标函数 min
约束条件右端常数
第8页
(二)非对称型对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 分析：化为对称形式。令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0)
b第二章 对偶问题
第二章：对偶问题（1）
对偶问题的提出: 复习典型引例： 某工厂在计划期内安排甲，乙两种产品，已知生 产单位产品所消耗资源以及产生的利润如下表：
甲产品 设备 原材料A 原材料B 产生的利润 1 4 0 2元
乙产品 2 0 4 3元
资源量 8 台时 16公斤 12公斤
YA--Ys=C Y,Ys ≥0
则原问题单纯形表的松弛变量的检验数对应对偶问题的一个解
第二章：对偶问题（1）
性质1的证明： 求证: 对称性 对偶问题的对偶是原问题。
证明：原问题 ：
Max CX， AX ≤ b， X ≥0 对偶： Min Y b， YA ≥ C， Y ≥0 即 Max -Y b， -YA ≤ - C， Y ≥0 对偶问题的对偶： Min - CX， - AX ≥ - b， X ≥0
对偶性质的应用二例： 例1：用对偶理论证明线性规划无最优解 (p60) Max Z= X1 +X2
MaxZ=CX AX<=b X ≥0 Min w=Y b YA≥C Y ≥0
- X1+X2+X3 <=2
- 2X1+X2-X3 <=1 X1,X2,X3>=0 对偶:
思路：利用约束 条件的矛盾证明 线性规划无解
Y*Xs=0 和 YsX*=0 ， 当且仅当 X*.Y* 为最 优解。
（Y3 ， Y4 ， Y5 ， Y6 ， Y7 ）
第二章：对偶问题（2）
所以Y* 是使目标值最小的可行解，因此Y*是最优解
同理， X*是最优解
性质5 的证明：
对偶定理 若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且 目标函数值相等。 证明：P58 设X* 是原问题最优解，B 是最优基，
运筹学课件第二章对偶问题
第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析一、学习目的与要求 1、掌握对偶理论及其性质 2、掌握对偶单纯形法3、熟悉灵敏度分析的概念和内容4、掌握限制常数与价值系数、约束条件系数的变化对原最优解的影响5、掌握增加新变量和增加新的约束条件对原最优解的影响，并求出相应因素的灵敏度范围6、了解参数线性规划的解法 二、课时 6学时第一节 线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出定义：一个线性规划问题常伴随着与之配对的、两者有密切联系的另一个线性规划问题，我们将其中一个称为原问题，另一个就称为对偶问题，在求出一个问题的解时，也同时给出了另一问题的解。
应用：在某些情况下，解对偶问题比解原问题更加容易；对偶变量有重要的经济解释(影子价格)；作为灵敏度分析的工具；对偶单纯形法(从一个非可行基出发，得到线性规划问题的最优解)；避免使用人工变量(人工变量带来很多麻烦，两阶段法则增加一倍的计算量)。
例：某家具厂木器车间生产木门与木窗；两种产品。
加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入为30元/扇。
生产一扇木门需要木工4小时，油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时，油漆工1小时；该车间每日可用木工总共时为120小时，油漆工总工时为50小时。
问：(1)该车间应如何安排生产才能使每日收入最大？(2)假若有一个个体经营者，手中有一批木器家具生产订单。
他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。
他就要考虑付给该车间每个工时的价格。
他可以构造一个数学模型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意为他加工这批订单、又使自己所付的工时费用最少。
解(1)：设该车间每日安排生产木门x1扇，木窗x2扇，则数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=-0502120343056max 21212121x x x x x x x zX*=(15,20)’ Z*=1440元解(2)：设y 1为付给木工每个工时的价格，y 2为付给油工每个工时的价格⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=-0303562450120min 21212121y y y y y y y wY*=(2,24)’ W*=1440元将上述问题1与问题2称为一对对偶问题，两者之间存在着紧密的联系与区别：它们都使用了木器生产车间相同的数据，只是数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同。
运筹学第二章对偶问题
DUAL PRICES
1.500000 0.125000 0.000000
影子价格 （对 偶问题的解）
迭代（旋转）次数 NO. ITERATIONS= 2
用软件分析
目标不变下要素的变化范围 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
目标系数的变化范围
VARIABLE
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy7
i
M y5 2 1 4 0 1 1 0 0
M y7 3 2
0 [ 4] 0
0 1 1
3/4
83M 164M 124M M 0
M0
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
i
M y5 2 1
4 0 1 1 0 0
M0
3 M－3
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
i
M y5 2
1 [ 44 ] 0 1 1
0 0 1/2
12 y3 3/4 1/2 0 1
0 0 1/4 1/4 －
2-M 16-4M 0
M0
3 M－3
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
两边乘以“1”
5x1 3x2 + x3 200 5x1 3x2 + x3 200
Max z = 3x1 +4x2 +6x3 St. 2x1 +3x2 +6x3 440 6x1 +4x2 + x3 100 对偶 5x1 3x2 + x3 200 5x1 +3x2 x3 200 x1 ，x2 ，x3 0
第二章对偶理论
3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原式变形
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
3 x1 x2 7 x3 3
x1 4 x2 6 x3
5
x1 , x2 , x3 0
注意：以后不强调等式右段项 b≥0，原因在对偶单
纯型表中只保证 而j 不0 保证
=（1.1），分别是
（P_）_ 和__（D）的可行解。Z=10 ，W=40，故有
C X ＜ Y b ，弱对偶定理成立。由推论⑴可知，W 的最
小值不能小于10，Z 的最大值不能超过40。
例二、已知
p : max Z x1 2x2
D : minW 2 y1 y2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
n
j 1
aij
yi
cj
（对偶问题）
yi 0
目标函数 约束条件
原问题
对偶问题
max
min
≤
≥
变量数量 约束条件个数
约束条件个数 变量数量
例三、
23
x1
x2
原问题
12 y1 2
2
≤ 12
8
y2
1
2
≤
8
16 y3 4 0 ≤ 16 12 y4 0 4 ≤ 12
对偶问题 2 3
二、线性规划的对偶理论
原问题 问题无界
无可 行解
对偶问题 无可 行解
问题无界
（对）
y1 y1
y1
y2 y2 0, y2
2 1 0
无可 行解
推论⑶.在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可 行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的 问题无界。
第二章 线性规划的对偶理论1-对偶问题
矩阵表达形式：
min w Y b AY C Y 0
对偶的经济解释
1、原问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1 x1 c2 x2 cnx n b1 s.t. a11 x1 a12 x2 a1n xn xn 1 xn 2 b2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn m bm am1 x1 am 2 x2 amn xn x1 x2 xn xn 1 xn 2 xn m ≥ 0 消耗的资源（吨）
第二章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶问题
每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出
一个问题的解的时候，同时也给出了另一问题的解。
例：某公司计划生产甲、乙两种产品，已知各生产一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间和调试工序每天可用于 这两种产品的能力、各销售一件时的获利情况，如下表所示。 问该公司应生产两种产品各多少件，使获取的利润为最大。
A
b
约束系数矩阵
约束条件右端项向量
约束系数矩阵的转置
目标函数中价格系数向量
C
目标函数
目标函数中价格系数向量
max z
约束条件右端项向量
min w
c
j 1
n
j
xj
b
i 1
m
i
yi
变量 xj (j=1,·,n) · ·
约束条件有n个
xj ≥0
xj ≤0 xj 无约束 约束条件有m个 ≤bi ≥bi =bi
min z 2 x1 3x 2 5 x3 x 4
第二章对偶问题
本次您浏览到是第四页，共五十五页。
这样得到一个新的线性规划问题
minw 15y1 24y2 5y3
5y1
6y2 2y2
y3 y3
2 1
y1, y2, y3 0
称这一问题是原来的LP问题的对偶线性规 划问题或对偶问题，原来的LP问题也称为原问 题。
内容总结
第二章对偶问题。变量：所有变量均具有非负约束。A’Y ≥C’。若迭代后的 单纯形表为最终表则该表也同时给出对偶问题的最优解。反之若一个约束条 件中松弛变量非零,则其对应的对偶变量为零。式中bi是线性规划原问题约束 条件的右端项，它代表第i种资源的拥有量。影子价格是资源的边际价格。最 优目标函数值：w*=-8.5（z*=8.5）。问题的最优解或最优基不变。例：在第 一章美佳公司的例1中。由弱对偶性，原问题目标函数无界
• 利用影子价格可以说明：单纯形法中的检验数可以看 成生产某种产品的产值与隐含成本的差
• 可以利用影子价格确定企业内部的核算价格，以便 控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏。
本次您浏览到是第二十四页，共五十五页。
例1
6x1+2x2 =24
资源的变化 ：设备B的可 用时间从增 加一小时
可行域
x2=3
本次您浏览到是第二十六页，共五十五页。
第四节 对偶单纯形法
按对偶问题与原问题之间的关系，对最大 化问题，在用单纯形法求解原问题时，最 终表不但给出了原问题的最优解，而且其 检验数的相反数就是对偶问题的最优解。
本次您浏览到是第二十七页，共五十五页。
单纯形法求解的基本思路
基可行解
保持解的可行性
检验数非正
设 x*j(j1,,n) 和 yi*(i1,,n) 分别是原问题和 对偶问题的最优解，则由对偶性质，有
第2章 线性规划(对偶问题)
对偶问题（或原问题）
目标函数为 Min W
n个
约束条件
＝
m个
变量
0 0 无约束
约束条件右端项cj 价值系数bi 约束条件的系数矩阵AT
例：
• 写出下面线性规划问 题的对偶问题：
• 1.
max Z 2x1 x2 3x3 x4
x1 x2 x3 x4 5
s.t.
2x1 x2 3x3
原问题（对偶问题）
目标函数 限定向量 价值向量 技术系数 约束条件 变量数目 约束条件个数 变量正负
对偶问题（原问题）
目标函数 价值向量 限定向量 技术系数 对偶变量 约束条件个数 对偶变量数目 约束条件
非对称形式的对偶问题
• 在原线性规划问题为Max型，且变量非负 的前提下：
1. 原问题约束条件是“”型
x1
x3
x4
1
4
x1, x3 0, x2 , x4无约束
• 解：根据上述对偶关 系，可以写出原问题 的对偶问题：
min W 5 y1 4 y2 y3
y1 2 y2 y3 2
s.t.
y1 y1
y2 1 3y2 y3
3
y1
y3
1
y1 0, yLeabharlann 0, y2无约束例：y1
0,
y3
0,
y2无约束
对偶的基本性质
• 原问题： Max Z=CTX
• 对偶问题： Min W=bTY
s.t. AXb X0
s.t. ATY C Y0
• ①对称性：对偶问题的对偶是原问题； • ②弱对偶性：若X是原问题的可行解，Y是
对偶问题的可行解，则CTX bTY
• 弱对偶性的证明： AX’ b X’TAT bT X’TATY’ bTY’
对偶问题
第二章.对偶理论与灵敏度分析1. 已知线性规划问题：332211m a xx c x c x c z ++= ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5,,1(01001.2154323132221212111 j x b b x x x a a x a a x a a st j 用单纯形法求解得最终单纯形表如下表所示： （a ） 求232221131211,,,,,a a a a a a 和21,b b321,,c c c 8,4,7,5,8,2,4,1,1,2/5,2/932121231322122111===========c c c b b a a a a a a2. 已知矩阵A 及其逆矩阵1-A 如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=104020012A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11202/1004/12/11A试根据改进单纯形法中求逆矩阵的方法原理求下述矩阵B 的逆矩阵1-B，已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144210152B答：先设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144010052C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-∙-72/14/114151A∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--16201002/52/1114002002/11111A C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=144210152B 有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙-1322/111211C∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--26/226/1226/426/426/226/826/1126/126/913/10013/21026/110111C B3. 已知线性规划的原问题与对偶问题分别为：（P ）原问题：CX z =max (D)对偶问题：Yb w =min⎩⎨⎧≥≤0.X b AX st ⎩⎨⎧≥≥0Y C YA st若*Y 为对偶问题最优解，又原问题约束条件右端项用b 替换之后其最优解为X ，试证明有b Y X C *≤证明：原问题右端项b 用b 替换后，新的原问题'P 及对偶问题'D 为：:'P ⎩⎨⎧≥≤=0.'m a x Z b AZ st CZz :'D ⎩⎨⎧≥≤=0.min 'Y C YA st bY w设'D 的最优解为Y ，因有b Y Z C =，有*Y 是'D 的可行解，故有b Y b Y *≤，由此b Y Z C *≤4. 已知下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为松弛变量，问题的约束(b) 直接由表写出对偶问题的最优解。
第2章对偶理论与灵敏度分析
五.互补松弛性（松紧定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束
条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变
量一定为零。也即：
n
若yˆi 0, 则有 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0
n
j 1
若 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0, 则有yˆi 0
minW=bTy
bT (12 8 16 12 )
y1 y2 y3
4x1 16 4x2 12
x1 x2 0
minW=12y1+8y2 +16y3+12y4
y4
ATy CT
AT 2140
2204
y1
CT
y2 y3
2 3
y4
2y1 +y2 +4y3 2 2y1 +2y2 +y4 3 y1 … y4 0
x (0,5,0)
对于对偶问题的可行解y (5,0)
有 80.
由弱对偶性,最优目标函数值z* *有上.下界。 25 z* * 80
互补松弛定理: 在线性规划问 题的最优解中，
一 . 对称性 ：
对偶问题的对偶是原问题
二. 弱对偶性：
若x′是原问题的可行解，y′是对偶问题的可行 解。则有 cx′≤y′b
弱对偶性的三个推论
推论(1)： 原问题任一可行解的目A标≦函Z数=W值是≦其B对偶
问题目标函数值的下界，反之对偶问题任一可行解的 目标函数值是其原问题目标函数值的上界。
推论(2)： 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对 偶问题（原问题）无可行解。注 ： 其逆不成立。
由此y1，y2，y3的取值应满足:
对偶问题与灵敏分析
y1，y2，… ，ym ≥0
y1，y2，… ，ym ≥0
原问题为：
Max Z= c1x1+c2x2+…+cnxn Min (-Z）= -c1x1-c2x2-…-cnxn
a11x1 + a12x2+…+a1n xn ≤ b1 a21x1 + a22x2+…+a2n xn ≤ b2
MaxZ（X）= 2x2-5x3
y1 -x1
-x3 ≤- 2
y2 2x1 + x2+6x3 ≤ 6
y3/
x1 - x2+3x3 ≤ 0
y3// -x1 + x2-3x3 ≤ 0
x1，x2，x3≥0
其对偶问题为：
Min W(y）= -2y1+6y2
x1
-y1 +2y2 +y3/ -y3//
≥x02
y2 -y3/ +y3// ≥2
4
4 x4
6
x1 0, x2 , x3 0, x4无限制
s.t约无2变y束符1y量4方号y1≤1y≥程约01003≤束7,≥=2yyy13y22y22约40y束y3无,332变y方y符3y3量程号无31≥≥≤≤约=00限53束2制
2．1．4对偶问题的基本性质
以对称型为例
设原问题（P）为 其对偶问题（D）为
无符号约束
约束方程≥ ≤
=
原问题（ P）为
对偶规划问题（D）为：
max z c1x1 c2 x2 c3 x3 c4 x4
s.t aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
a14 x4 a24 x4
第2章线性规划讲义的对偶问题
称CBB-1为单纯形乘子
19
二、对偶问题的基本性质
1. 对称性
2. 弱对偶性
推论：
(1)原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数 值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其 原问题目标函数值的上界。
(2)如原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无 可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数值无界，则 其原问题无可行解。
35
三、分析cj的变化 线性规划目标函数中变量系数cj的变化仅仅影响到检验 数，所以将cj的变化直接反映到最终单纯形表中，只可 能出现表2-9中的第一、二两种情况。
例5：在美佳公司例子中， (1) 若家电Ⅰ的利润降至1.5元/件, 而家电Ⅱ的利润增 至2元/件, 美佳公司最优生产计划有何变化? (2) 若家电Ⅰ的利润不变, 而家电Ⅱ的利润在什么范围 内变化时, 该公司的最优生产计划不发生变化。
28
练习： 用对偶单纯形法求解下述LP问题：
min w x1 4x2 3x4 x1 2x2 x3 x4 3
st. 2x1 x2 4x3 x4 2 xi 0(i 1,2,3,4)
29
min z cx
注: 若LP问题的标准形式为:
Ax b
st
.
x
0
其对偶单纯形法的求解步骤确定换入基变量的原则如下:
目标函数求极小值时，约束方程均为≥
2
二、对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式的LP问题(LP1)：
M Z c 1 x a 1 c 2 x x 2 c n x n
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1 a 2 x 1 1 a 2 x 2 2 a 2 n x n b 2
《运筹学》第二章 对偶问题
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
20
一组互为对偶的线性规划问题的解之间只有 下列三种情况:
(1)两个规划问题都有可行解(此时,两个规划问题都有最优 解,且最优值相等);
(2)两个规划问题都不可行; (3) 一个规划问题不可行,另一个规划问题有可行解,且具有
无界解。
21
（4）互补松弛性： 在线性规划问题的最优解中，
则 aij xj * = bi ；
bi , 则 y i* = 0 (4)’ 互补松弛性：
在线性规划问题的最优解中， 则 aij yi * = cj ；
>cj , 则 xj* = 0
n
若 y i * >0,
j=1 n
若 a ij xj * <
j=1
m
若 x j * >0,
i=1 m
若 a ij yi*
i=1 22
m
= 证b：i y∵i*
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
对偶问题的对 偶还是原问题
14
• 练习 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 4x1 3x2 2x3
4x1
第2章线性规划(对偶问题)
• 解：根据上述对偶关 系，可以写出原问题 的对偶问题：
m in W 5 y 1 4 y 2 y 3 y1 y1 s .t . y 1 y 1 y1 2 y2 y3 2 y2 1 3 y2 y3 3 y3 1 0 , y3 0 , y 2无 约 束
• 令y4=y2-y3 ，得：
• Min W=y1+2y4 S.t. y1+2y4 1 2y1-3y4 2 5y1-4y4 -3 y1 0, y4无符号约束
原问题与对偶问题的对应关系
原问题（或对偶问题） 目标函数为 Max Z 变量 n个 0 0 无约束 对偶问题（或原问题） 目标函数为 Min W n个 ＝ 约束条件
– 设X*是原问题的可行解，Y*是对偶问题的可行
解，当CTX*=bTY*时，X*，Y*是最优解。
– 证明：由弱对偶性，可知原问题的所有可行解
X’均满足 CT X’ bTY*
又因为CTX* = bTY* ，所以CT X’ CTX* ，即： X*是使目标函数取值最大的可行解。因而是最 优解。 同理可证Y*也是最优解。
m个 ＝ 价值系数cj 约束条件右端项bi 约束条件的系数矩阵A 约束 条件
m个 变量 0 0 无约束 约束条件右端项cj 价值系数bi 约束条件的系数矩阵AT
例：
• 写出下面线性规划问 题的对偶问题： • 1.
m a x Z 2 x1 x 2 3 x 3 x 4 x1 x 2 x 3 x 4 5 2 x x 3x 4 1 2 3 s .t . x1 x 3 x 4 1 x1 , x 3 0 , x 2 , x 4 无 约 束
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2章 对偶问题判断下列说法是否正确：02100011对偶问题的对偶问题一定是原问题；02100021根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；02100031已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y >0，说明在最优生产计划中的i种资源已完全耗尽；02100041已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y ＝0，说明在最优生产计划中第i种资源一定有剩余；02100051若某种资源的影子价格等于k ，在其它条件不变的情况下，当改种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；02100061在线性规划问题的最优解中，如某一变量j x 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数j c 或在各约束中的相应系数ij a ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其它列数字的变化。
简答题02200011、试述对偶单纯形法的优点及其应用上的局限性。
02200021、试述对偶单纯形法的步骤。
02200031、试解释对偶解的经济含义和影子价格在市场决策中的作用。
02200041、什么是资源的影子价格？同相应的市场价格之间有何区别？以及研究影子价格的意义是什么？02200051:判断下列说法是否正确，为什么？（a ）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； （b ）如果线性规划的对偶问题存在可行解，则其原问题也一定无可行解；（c ）在互为对偶的一对原问题和对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数都一定不超过其对偶问题可行解的目标函数。
02200061 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数最大值将增加5k 吗？02200071已知*i y 为某线性规划问题的对偶问题最优解中的第i 分量，若*i y ＝0，能否肯定在最优生产计划种第i 种资源一定有剩余？写出对偶问题02301011写出下列线性规划问题的对偶问题 123max 102Z x x x =++123123123420,,0x x x x x x ++≤≥02301021写出下列线性规划问题的对偶问题1234max 23Z x x x x =+++12341231341324252341,0,,x x x x x x x x x x x x x x +++≤-+=--+≥≥无约束02301031写出下列线性规划问题的对偶问题1234min 3234Z x x x x =+-+1234234123414232343345237420,0,,x x x x x x x x x x x x x x x -++≤++≥----=≥≤无约束02301041写出下列线性规划问题的对偶问题 123min 567Z x x x =---123123123123531556102050,0,x x x x x x x x x x x x -+-≥--+≤--=-≤≥无约束02301051写出下列线性规划问题的对偶问题123max 25Z x x x =++12312313123235237365,,0x x x x x x x x x x x ++≤++≤+≤≥02301061写出下列线性规划问题的对偶问题 123max Z x x x =++1231312327664,,0x x x x x x x x ++=+≥≥02301071写出下列线性规划问题的对偶问题 123min 423Z x x x =++123123131232562742,0,0x x x x x x x x x x x ++≤++=+≥≤≥无约束02301081写出下列线性规划问题的对偶问题： 1231231231231232242352373..465,,0MinZ x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩02301091写出下列线性规划问题的对偶问题：12312312312312323231325..34,,0,MinZ x x x x x x x x x s t x x x x x x =--+-=⎧⎪-+≥-⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩无限制023010101写出下列线性规划问题的对偶问题：123123123131232423134..40,0,MaxZ x x x x x x x x x s t x x x x x =++++≥⎧⎪-+≤⎪⎨+=⎪⎪≥≤⎩无限制02301111写出下列线性规划问题的对偶问题：1234512345123451~45275354625..232690,MaxZ x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++++=⎧⎪++++=⎨⎪≥⎩无限制02301121 写出下面线性规划问题的对偶问题12max 52z x x =-+1212123235,0x x x x x x -+≤-+≤≥02301131 写出下面线性规划问题的对偶问题12max 56z x x =+12122553x x x x +=-+≥1x 无限制2,0x ≥02301141设有原始问题123max 325z x x x =++约束条件：12313121232560324204400,,0x x x x x x x x x x ++≤+≤+≤≥写出以上原始问题的对偶问题。
02301152 写出下面线性规划问题的对偶问题11min m nij ij i j z c x ===∑∑1n ij i j xa ==∑ ()1,,i m =1m ij j i x b ==∑ ()1,,j n =()01,,;1,,ij x i m j n ≥==02301162 如下线性规划模型：12345m i n Z x x x x x x=+++++ 约束条件： 16122334455612345648107124,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x +≥+≥+≥+≥+≥+≥≥写出以上原始问题的对偶问题，在通过对偶问题求出原始问题的最优解。
对偶单纯形法02302011试用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。
12min Z x x =+1213122477,0x x x x x x +≥+≥≥02302021试用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。
123min 81612Z x x x =++121312342243,,0x x x x x x x +≥+≥≥02302031试用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。
12min 5040Z x x =+12131212323556602330,0x x x x x x x x +≥+≥+≥≥02302041试用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。
123min 23Z x x x =++123123231234282,,0x x x x x x x x x x x -+≥++≤-≥≥02302051试用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。
12min 22Z x x =-+12312312348226,,0x x x x x x x x x ++≥++≤≥02302061试用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。
1234min 324Z x x x x =+++12341234123412342450372252615,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x +++≥-+-≥+++≥≥02302071 用对偶单纯形法求解：123456min Z x x x x x x =+++++约束条件： 16122334455612345648107124,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x +≥+≥+≥+≥+≥+≥≥02302081 用对偶单纯形法求解：12min 23z x x =+1212121223302105,0x x x x x x x x +≤+≥-≥≥≥02302091 用对偶单纯形法求解 123min 41218z x x x =++约束条件：132312333235,,0x x x x x x x +≥+≥≥02302101．考虑线性规划问题：1231231231235235230..5640,,0MaxZ x x x x x x s t x x x x x x =++++=⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩ （1） 写出对偶问题；（2） 求解对偶问题02302111 通过对偶问题求下面问题的最有解123min 563z x x x =++1231231231231231223123553502076930555352415101210901020,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++≥+-≥+-≥++≥+-≥+≥-≥≥02302121用单纯形法求解下面的线性规划问题：123123123123(1)52524..63510,,0MinZ x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ 12341234123412341234(2)32424503722..52615,,,0MinZ x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =++++++≥⎧⎪-+-≥⎪⎨+++≥⎪⎪≥⎩ 02302131．用对偶单纯形法证明下面的线性规划问题无解：12312313231233264..3,,0MinZ x x x x x x x x s t x x x x x =++++≤⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩02302141 设有线性规划问题12min 23z x x =+1212121223302105,0x x x x x x x x +≤+≥-≥≥≥（1）用图解法解以上问题(2)写出它的对偶问题02302152 用大M 方法解下面的问题，再从最优表格中求对偶解。
123max 523z x x x =++约束条件：12312312352305640,,0x x x x x x x x x ++=--≤≥02302162 已知线性规划问题约束条件：124122341231234382669,,,0x x x x x x x x x x x x x x x ++≤+≤++≤++≤≥要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为()*2,2,4,0TX =，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。