例析《二次根式(211,212)》知识点

例析《二次根式（21.1,21.2）》知识点

知识点一：二次根式的定义及有意义的条件

例1：下列式子23，9，5—，33，122++x x ，22+x ，42——x 中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？

【解析】二次根式的判定：判断一个式子是不是二次根式，一是看根指数是不是等于2，二是看被开方数是不是非负数，只有符合这两个条件才是二次根式． 【答案】33中，“3”不是二次根号，故33不是二次根式；

122++x x =2)1(+x ，∵2)1(+x ≥0，∴122++x x 是二次根式； 42——x 中，∵2x —≤0，2x ——4＜0，∴42——x 不是二次根式； 综上所述，23，9，122++x x ，22+x 是二次根式，而5—，33，42——x 不是二次根式． 【点评】因为9=3，所以容易把9判断为不是二次根式．判断时应对原数（式）进行判断．

例2：函数21

—x y =的自变量x 的取值范围是（ ）

A ．x ≠2

B ．x ＜2

C ．x ≥2

D ．x ＞2

【解析】本题的函数关系式既含有二次根式，又含有分式，因此要全面考虑使这两种代数式都有意义的条件．由题意，得x —2≥0且x —2≠0，∴x —2＞0．∴x ＞2．

【答案】D

【点评】求代数式中字母取值范围，应考虑：①二次根式的被开方数应大于或等于0；②分母不等于0；③零指数幂、负整数指数幂的底数不等于0．

知识点二：二次根式的性质

例3：已知2)2(—x +1+y =0，求x+y 的值． 【解析】本题主要考查a （a ≥0）是非负数这一知识点．因为2)2(—x 是一个非负数，1+y 也是一个非负数，由非负数的性质可列方程求解．

【答案】∵2)2(—x +

1+y =0，又2)2(—x ≥0，1+y ≥0， ∴2)2(—x =0，1+y =0，即x —2=0，y+1=0，x=2，y ＝—1，

∴x+y=2+（—1）=1．

【点评】若两个非负数之和为零，则它们各自为零．

例4：已知2＜x ＜5，化简22)5()2(——x x += ．

【解析】本题所考知识点是利用二次根式的性质进行化简，要注意条件的运用．因为2＜x ＜5，所以x —2＞0，x —5＜0，由二次根式的性质，得22)5()2(——x x +=2—x +5—x =x —2+5—x=3．

【答案】3 【点评】利用2a =a (a ≥0)进行二次根式的化简，必须保证a ≥0．要养成运用a a =2进行化简的好习惯．

例5：已知xy ＞0，化简2x

y x —的结果是（ ） A ．y B ．y — C ．y — D ．y —— 【解析】本题应注意隐含条件：2x y —

＞0，∴y ＜0．又∵xy ＞0，∴x ＜0． ∴2x y x —=x ·2x

y —=x ·x y —=x ·x y ——=y ——． 【答案】D

【点评】由于二次根式中要求被开方数是非负数，所以在各运算法则和性质中，对被开方数的取值范围都有限制，但很多问题的条件中并没有明确点明，需要自己结合题目特点，认真分析题意，挖掘隐含条件．

知识点三：最简二次根式

例6：下列各式①3.0；②abc 27；③

53；④53；⑤22b a +中，是最简二次根式的有 ．

【解析】③、⑤是最简二次根式，因为他们都同时满足最简二次根式定义中的两个条件；而①、②、④都不是最简二次根式．因为①3.0=10

3，被开方数含有分母；②abc 27=abc 332⋅，被开方数含有指数不小于2的因式23；④

53，被开方数含有分母． 【答案】③、⑤

【点评】判别最简二次根式时，如果被开方数是多项式，应先分解因式，然后在判别．

知识点四：二次根式的乘除法运算

例7：计算：21223222330÷⨯

【解析】把322和2

12分别化成假分数，再运用公式计算． 【答案】原式=

252382330÷⨯=5221382330⨯⨯=523830)2123(⨯⨯⨯= 43

216⨯=244

3⨯=23． 【点评】进行二次根式乘除法时，把根号外面的“系数”与“系数”相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后将结果化为最简二次根式．