三角函数知识点总结

高考针对复习——三角函数

¥ 考点诠释

考点1. 三角公式

1.和角公式

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ

tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ

2.二倍角公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1

tan2α=

2tanα1−tan2α

3.半角公式

sin α

2

=√

1−cosα

2

cos α

2

=√

1+cosα

2

tan α

2

=√

1−cosα

1+cosα

=

sinα

1+cosα

=

1−cosα

sinα

以上为常用公式，一定要熟记。在解答题中第一步大多是将复杂的三角函数式化为标准三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)+C

考点2. 三角函数常用的关系

1.诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”

当我们表示出来的角并不在[0,π]的区间内，我们就需要将角转化到该区间内，并对他的性质进行研究。因此首先就要把一个角转变为（n·π

2

±m）的形式（其中m∈[0,π],n∈Z）。接下来我们再通过判断这个角是哪一个象限的角，根据对应关系，即正弦一，二象限为正；余弦一，四象限为正；正切一，三象限为正。来判断这个数的正负。那么这个角所对应的函数数值部分就等于sinm

2.sin2α+cos2=1

该公式用于“1”的妙用。在答题中若出现1首先就要想到这个公式。

3.sinα

cosα

=tanα

这个公式用于“切割化弦”这一思路中。绝大部分的题目都需要化成正弦或余弦的关系，只有极少部分要统统化成正切关系。

4.正弦定理，余弦定理

正弦定理和余弦定理运用于解三角形，而解三角形的题目也可以与三角函数进行结合，那么解三角形就是前提，利用解三角形得出的结论（角的大小，正弦值的大小，余弦值的大小）进行下一步的计算。

*在△ABC中∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，∠C所对的边为c

（1）正弦定理

a

=b

=

c

（2）余弦定理

cosA=b2+c2−a2

2bc

cosB=

a2+c2−b2

cosC=a2+b2−c2

2ab

（3）若sinA=m

n ，那么 cosA=√n2−m2

n

考点3. 三角函数

在解答题中，三角函数一般有两种题型：一种是求函数的周期，对称轴，或对称中心。另一种就是求函数在某一区间内的最大值。

如果是前者的问题，我们就要注意要化成同角，同种关系的标准函数。如f(x)=Asin(ωx+φ)+C或f(x)=Acos(ωx+φ)+C或f(x)=Atan(ωx+φ)+C 再根据函数性质解答，那么我们通常有以下步骤。

（1）降幂，利用二倍角公式降幂

（2）化成同角，在将为一次幂的前提进行同角转化。

（3）辅助角公式，所得到的函数关系只存在sin 和cos关系的时候，我们运用辅助角公式（即通过配角满足和角公式）。

若f(x)=asinx+bcosx 令f(x)=√a2+b2(

√a2+b2+

√a2+b2

其中：（sinφ和cosφ的值可以互换）

sinφ=

a

√a2+b2

cosφ=

b

√a2+b2

此时便可组成f(x)=Asin(ωx+φ)+C （4）在R上的最大值是A，最小值是-A

周期T=2π

ω对称轴令ωx+φ=π

2

+kπ(k∈Z)

对称中心令x=ωx+φ=kπ（k∈Z）则为（x,C）

伸缩变换：通过带特殊值确定φ

如果是后者的问题，首先要确定函数本质：一种是三角函数，另一种则是将三角函数作为参数的其它函数（经常是二次函数）。如果是三角函数就要注意最大值和最小值能否在给定区间内取到，不能取到则计算区间一头一尾比较大小。

如果将三角函数看做参数那么就要注意三角函数的值域就是该函数的定义域。例如f(x)=sin2x+8sinx+1令u=sinx 则得到f(x)=u2+8u+1但要注意u∈[-1,1]所以这个函数的最小值不能取到-15

说明：单位圆和三角函数图像是“三角函数”这一单元中重要的两种图像，因此要学会用两种图像解题，数形结合。这种方法可以简便运算，也便于发现问题实质。其中各种三角函数的定义均是由单位圆引出。所以不能够忘本。

O

x

α

β

A

B € 习题精练：（凡未提及文理则为理科）

【2010崇文二模】如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆交于,A B 两点．已知,A B 的横坐标分别为

572

,510

． （Ⅰ）求tan()αβ+的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．

【2010丰台二模】已知函数f(x)=sin()A x ωϕ+(其中A>0,

0,02

π

ωϕ><<

)的图象如图所示。（Ⅰ）求A ，ω及ϕ的值； （Ⅱ）若

tan α=2, ,求()8

f π

α+的值。

【2010朝阳二模】设函数()2sin cos cos(2)6

f x x x x π

=--．

（Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）当2[0, ]3

x π

∈时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值.

【2010宣武二模】如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30ο

，相距10海里C 处的乙船.（Ⅰ）求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离； （Ⅱ）设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA 成θ角， 求()x x x f cos cos sin sin 2

2

θ+θ=()R x ∈的值域.

【2010西城二模】如图，在四边形ABCD 中，3AB =，

2AD BC CD ===，60A =o .（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；

（Ⅱ）求BCD ∆的面积.

()f x 北

20

10 A B

•

•C

A

B

C

D