专题七下第1讲

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第1讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程

高考定位 高考对本内容的考查主要有:(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算,二阶矩阵的逆矩阵及其求法,矩阵的特征值与特征向量的求法,属B 级要求; (2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程,参数方程与普通方程的互化,极坐标与直角坐标的互化,属B 级要求

.

真 题 感 悟

1.(2017·江苏卷)已知矩阵A =⎣⎢

⎡⎦⎥⎤0 11 0,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤

1 00 2. (1)求AB ;

(2)若曲线C 1:x 28+y 2

2=1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2,求C 2的方程. 解 (1)AB =⎣⎢

⎡⎦⎥⎤0

11

0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00

2=⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0 21

0. (2)设P (x 1,y 1)是曲线C 1上任意一点,变换后对应的点为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢

⎡⎦⎥⎤0

21 0 ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x 1y 1, 所以⎩⎨⎧x =2y 1,y =x 1,即⎩⎪⎨⎪⎧x 1=y ,

y 1=12

x .

因为P (x 1,y 1)在曲线C 1上,所以x 218+y 2

1

2=1,

从而x 2+y 2=8,即为曲线C 2的方程.

2.(2016·江苏卷)已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1 20 -2,矩阵B 的逆矩阵B -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 -120 2,求矩阵AB .

解 B =(B -1)-1=⎣⎢⎡⎦

⎥⎤22 12202 12

⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤1 140 12.

∴AB =⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1

20

-2 ⎣⎢

⎢⎡⎦

⎥⎥⎤1 1

40

12=⎣⎢

⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 -1. 3.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧x =-8+t ,y =t

2(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =2s 2,

y =22s (s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求

点P 到直线l 的距离的最小值. 解 由⎩⎪⎨⎪

⎧x =-8+t ,y =t

2消去t . 得l 的普通方程为x -2y +8=0, 因为点P 在曲线C 上,设点P (2s 2,22s ).

则点P 到直线l 的距离d =|2s 2-42s +8|5=2(s -2)2+4

5,

∴当s =2时,d 有最小值

45

=455. 4.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨

⎧x =1+12t ,

y =32t

(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x =cos θ,

y =2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于

A ,

B 两点,求线段AB 的长.

解 直线l 的方程化为普通方程为3x -y -3=0, 椭圆C 的方程化为普通方程为x 2

+y 2

4=1,

联立方程组得⎩

⎪⎨⎪

⎧3x -y -3=0,x 2+y 24=1,

解得⎩⎨⎧x 1=1y 1

=0或⎩⎪⎨⎪

⎧x 2=-17,y 2=-837,

∴A (1,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫

-17,-

837. 故AB =

⎝ ⎛

⎭⎪⎫1+172+⎝

⎛⎭⎪⎫0+8372=167.

考 点 整 合

1.矩阵的乘法与逆矩阵 (1)

(2)若二阶矩阵A ,B 满足AB =BA =E (E 为二阶单位矩阵),则称A 是可逆矩阵,B 为A 的逆矩阵,记为B =A -1. 2.矩阵对应的变换

矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 对应的变换T :(x ,y )→(x ′,y ′)满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

ax +by cx +dy . 3.二阶矩阵的特征值和特征向量

(1)设λ是二阶矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值,它的一个特征向量为α=⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x y ,则有

M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =λ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x y . (2)f (λ)=⎣⎢

⎡⎦⎥⎤λ-a -b -c λ-d =λ2-(a +d )λ+ad -bc 为矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤

a b c d 的特征多项式. (3)如果λ是二阶矩阵M 的特征值,则λ是M 的特征多项式的一个根,它满足f (λ)=0,此时将λ代入⎩⎨⎧ax +by =λx ,cx +dy =λy 可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x 0y 0,它即为M 的属于λ的

一个特征向量.

4.直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐

标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x ,y )和(ρ,θ),

则⎩⎨⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ,⎩⎪⎨⎪

ρ2=x 2+y 2,tan θ=y

x (x ≠0).

5.直线的参数方程

经过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x =x 0+t cos α,

y =y 0+t sin α(t 为参数).

设P 是直线上的任一点,则t 表示有向线段P 0P →

的数量. 6.圆的参数方程

圆心在点M (x 0,y 0),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x =x 0+r cos θ,y =y 0+r sin θ(θ为参数,

0≤θ≤2π).

热点一 二阶矩阵与平面变换

【例1】 (2017·盐城模拟)已知矩阵A =⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1:x 24+y 2

2=1,求曲线C 的方程. 解 设曲线C 上任一点为(x ,y ), 经过变换T 变成(x 0,y 0),

则⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x 0y 0,即x 0=x ,y 0=2y . 由x 204+y 20

2

=1,得曲线C 的方程为x 2+4y 2=4. 探究提高 解决这类问题一般是设变换T :⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x ′y ′,求出原曲线在T 的变换下

得到的曲线,再根据条件求相应的系数值.

【训练1】 已知曲线C 1:x 2

+y 2

=1,对它先作矩阵A =⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

1

00

2对应的变换,再

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