解析几何中求参数取值范围的5种常用方法

解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）

求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.

解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1

又∵线段AB的垂直平分线方程为

y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）

令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2

又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点

∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.

分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.

解: 依题意有

∴tanθ=2S

∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4

又∵0≤θ≤π

∴π4 <θ< p>

例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）

A a<0

B a≤2

C 0≤a≤2

D 0<2< p>

分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.

解: 设Q（y024 ，y0）由|PQ| ≥a

得y02+（y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0

∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立

又∵ y02≥0

而2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（B ）

二、利用判别式构造不等式

在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.

例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）

A [-12 ，12 ]

B [-2，2]

C [-1，1]

D [-4，4]

分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0

解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）

由得k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0

∵直线L与抛物线有公共点

∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）

例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k 的取值范围.

分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.

解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0

∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则

解得-2<-2< p>

三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.

例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 （a>0）与连结两点A（1，2）、B（2，3）的线段没有公共点，求实数a的取值范围.

分析:结合点A，B及椭圆位置，可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.

解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。

当A、B同时在椭圆内，则

解得a >17

当A、B同时在椭圆外，则

解得0<6< p>

综上所述，解得0<6 或a>17

例7若抛物线y2=4mx （m≠0）的焦点在圆（x-2m）2+（y-1）2=4的内部，求实数m 的取值范围.

分析:由于焦点（m，0）在圆内部，则把（m，0）代入可得.

解：∵抛物线的焦点F（m，0）在圆的内部，

∴（m-2m）2+（0-1）2<4 即m2<3

又∵m≠0

∴-3 <0或0<3< p

>四、利用三角函数的有界性构造不等式

曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

例8 若椭圆x2+4（y-a）2 = 4与抛物线x2=2y有公共点，

求实数a的取值范围.

分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程，得到实数a与参数θ的关系，再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.

解：设椭圆的参数方程为（θ为参数）

代入x2=2y 得

4cos2θ= 2（a+sinθ）

∴a = 2cos2θ-sinθ=-2（sinθ+ 14 ）2+ 178

又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178

例9 已知圆C：x2 +（y-1）2= 1上的点P（m，n），使得不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c的取值范围

分析:把圆方程变为参数方程，利用三角函数的有界性，确定m+n的取值情况，再确定c的取值范围.

解：∵点P在圆上，∴m = cosβ，n = 1+sinβ（β为参数）

∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin（β+ π4 ）+1

∴m+n最小值为1-2 ，

∴-（m+n）最大值为2 -1

又∵要使得不等式c≥-（m+n）恒成立

∴c≥2 -1

五、利用离心率构造不等式

我们知道，椭圆离心率e∈（0，1），抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.