圆锥曲线中的探索性问题

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专题 圆锥曲线中的探索性问题

1.(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2=2px (p >0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |;(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由.

2.(2016·四川)已知椭圆E :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的

三个顶点,直线l :y =-x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标;

(2)设O 是坐标原点,直线l ′平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ,且与直线l 交于点P .证明:存在常数λ,使得|PT |2=λ|P A |·|PB |,并求λ的值.

高考必会题型

题型一 定值、定点问题

例1 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为1

2,直线l 经过椭圆C 的右焦

点F 交椭圆于A 、B 两点. (1)求椭圆C 的方程;

(2)若直线l 交y 轴于点M ,且MA →=λAF →,MB →=μBF →

,当直线l 的倾斜角变化时,探求λ+μ

的值是否为定值?若是,求出λ+μ的值;否则,请说明理由.

变式训练1已知抛物线y2=2px(p>0),过点M(5,-2)的动直线l交抛物线于A,B两点,当直线l的斜率为-1时,点M恰为AB的中点.

(1)求抛物线的方程;

(2)抛物线上是否存在一个定点P,使得以弦AB为直径的圆恒过点P,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

题型二定直线问题

例2在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2

=2py(p>0)相交于A,B两点.

(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;

(2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦

长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.

变式训练2 椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0),F 1、F 2

分别是它的左、右焦点,已知椭圆C 过点(0,1),且离心率e =223

.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)如图,设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ,直线l 的方程为x =4,P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,直线P A 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点,求F 1D →·F 2E →

的值;

(3)过点Q (1,0)任意作直线m (与x 轴不垂直)与椭圆C 交于M 、N 两点,与l 交于R 点,RM →=xMQ →,RN →=yNQ →

,求证:4x +4y +5=0.

题型三 存在性问题

例3 (1)已知直线y =a 交抛物线y =x 2于A ,B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得∠ACB 为直角,则a 的取值范围为________.

(2)如图,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为3

2,以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T :

(x +2)2+y 2=r 2 (r >0),设圆T 与椭圆C 交于点M ,N .

①求椭圆C 的方程;②求TM →·TN →

的最小值,并求此时圆T 的方程;

③设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点,且直线MP ,NP 分别与x 轴交于点R ,S ,O 为坐标原点.试问:是否存在使S △POS ·S △POR 最大的点P ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

变式训练3 (2015·四川)如图,椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是

22

,点P (0,1)在短轴CD 上,且PC →·PD →=-1. (1)求椭圆E 的方程;

(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A ,B 两点.是否存在常数λ,使得OA →·OB →

+λP A →·PB →为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

高考题型精练

1.(2015·陕西)如图,椭圆E :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)经过点A (0,-1),且

离心率为

22

. (1)求椭圆E 的方程;

(2)经过点(1,1),且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ,Q (均异于点A ),证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2.

2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (1,0),且点P (1,3

2)在椭圆C 上,O 为坐标

原点.

(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,且∠AOB 为锐角,求直线l 的斜率k 的取值范围;

(3)过椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2-

53=1上异于其顶点的任一点P ,作圆O :x 2+y 2=4

3

的两条切线,切

点分别为M ,N (M ,N 不在坐标轴上),若直线MN 在x 轴,y 轴上的截距分别为m ,n ,证明:13m 2+1

n 2为定值.

3.(2016·山东)已知椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的长轴长为4,焦距为

2 2.

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