《标准差》课件ppt课件

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为了解决离均差有正 、有负，离均差之和为零的问 题 ， 可先
求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数
n 求 得 平 均 绝 对 离差，即Σ|
|/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各
观测值的变异程度 ，但由于平均绝对离差包含绝对值符号 ，使用很不方便，在统计
统计学中常用样本平均数x（ ）作为总体平
均数（μ）的估计量，并已证明样本平均数是总体平 均数μ的无偏估计量。
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标准差
标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。 仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异 程度大小的统计量。
学中未被采用。
xx
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我们还可以采用将离均差平方的办法来解 决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。
先将各个离均差平方，x即 x(
)2 ，再
求离均差平方和 (x，即x)2
，简称平方和，
记为SS； 由 于离差平方和常随样本大小而改变 ，
为了消除样本大小的影响 ，用平方和 除 以 样 本
值的变异程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为
标准，求出各个观测值与平均数的离x 差 x，
（
） ，称为离均差。
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数
的性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均
差之和 为零，即Σx （ x
） = 0 ，因 而
不 能 用离均差x之和x Σ（
）来 表 示
资料中所有观测值的总偏离程度。
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设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
则样本平均数可通过下式计算：
n
（1）x
x1 x2 xn n

xi
i 1
n
n
xi
i1
其中，Σ为总和符号；
表示从第一
个观测值x1累加到第n个观测值xn。当 在意义上已明确
时，可简写为Σx，（1）式可x 改写为： x
i 1
i 1
或简写为(：x x)2
(x <)2
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体
的平均数为：
N
xi N i 1
（2）
式中，N表示总体所包含的个体数。
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当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参 数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。
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平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中 各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：
算术平均数（arithmetic mean） 中位数（median） 众数（mode） 几何平均数（geometric mean） 调和平均数（harmonic mean） 算术平均数（arithmetic mean）是指资料中各观 测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数。
（7） (x )2 / N
在统计学中，常用样本标准差S估 计总体标准差σ。
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标准差的计算方法 对于样本资料 ，可直接利用（5）或（6）式来计算标准差。
【例】 计算10只辽宁绒山羊产绒量： 450， 450， 500， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650（g）的标准差。
此例n=10，经计算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（6）式得：
(g) 即10只辽宁绒山羊产绒量的 标准差 为65.828g。
S
x2 (
x)2 / n
2955000 5400 2 /10 65.828
n 1
10 1
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标准差的特性 （一）标准差的大小，受资料中每个观测值 的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大， 反之则小。 （二）在计算标准差时，在各观测值加上或 减去一个常数，其数值不变。
料的变异程度。
表示资
统计量(x x)2 / n 1
称 为均
方（ mean square缩写为MS）,又称样本方差，记为
S2，即
(x x)2 / n 1
S2=
（3）
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相应的总体参数叫 总体方差 ，记为σ2。对于有限总体而言， σ2的计算公式为：
（4）
2 (x x)2 / N
由于
(x x)2 (x2 2xx x2)
所以（5）式可改写为：
x2 2x x nx 2

x2 2 (
x)2 n(
x)2
n
n
x2 ( （6x）)2 n
S
x2

( x)2
n
n 1
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相应的总体参数叫总体标准差，记为 σ。对于有限总体而言，σ的计算公式为：
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全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。但是全距 只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。 当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。
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为 了 准 确 地 表示样本内各个观测
大 小，(x 即x)2 / n
和的平均数
，求出离均差平方
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SUCCESS
THANK YOU
2019/6/6
为了使所得的统计量是相应总体源自文库数的无偏
估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数
时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1， 于是，
我们 采 用统计量 (x x)2 / n 1
n
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平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。 或简写成
n
(xi x) 0
i1
(x x) 0
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2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离
均差平方和为最小。
n
n
x (xi- )2 <
(xi- a)x2 （常数a≠ ）
由于 样本方差 带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的 变异程度而不作其它分析时 ， 常需要与平均数配合使用 ，这 时应将平方单位还原，即 应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差 S2 的平方根叫做样本标准差，记为S，即：
（5）
(x x)2
S n 1
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