第四章 状态空间模型
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1
在一般的统计模型中出现的变量都是可以观测到的， 这些模型以反映过去经济变动的时间序列数据为基础，利 用回归分析或时间序列分析等方法估计参数，进而预测未 来的值。
状态空间模型的特点是提出了“状态”这一概念。实 际上，无论是工程控制问题中出现的某些状态（如导弹轨 迹的控制问题）还是经济系统所存在的某些状态都是一种 不可观测的变量，正是这种观测不到的变量反映了系统所 具有的真实状态，所以被称为状态向量。这种含有不可观 测 变 量 的 模 型 被 称 为 UC 模 型 (Unobservable Component Model)。
2
UC模型通过通常的回归方程式来估计是不可能的， 必须利用状态空间模型来求解。状态空间模型建立了可 观测变量和系统内部状态之间的关系，从而可以通过估 计各种不同的状态向量达到分析和观测的目的。
3
利用状态空间形式表示动态系统主要有两个优点： 第一，状态空间模型将不可观测的变量(状态变量) 并入可观测模型并与其一起得到估计结果； 其次，状态空间模型是利用强有效的递归算法—— 卡尔曼滤波来估计的。卡尔曼滤波可以用来估计单变量 和多变量的ARMA模型、MIMIC（多指标和多因果）模 型、马尔可夫转换模型以及变参数模型。
0 Qt
6
当 k 1 时，变为单变量模型，量测方程可以写为
yt Ztαt dt ut
(4.1.5)
var(ut ) 2 t 1, 2 , , T
其中：Zt 表示 1m矩阵，t 表示 m1状态向量， ut 是方 差为 2 的扰动项。
7
若使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定：
11
系统矩阵 Zt ，Ht ，Tt ，Rt ，Qt 可以依赖于一个未知参数 的集合。状态空间模型的一个主要的任务就是估计这些参数，
在例1的MA(1)模型中的参数 { , 2} 和例2的AR(2)模型中的 参数 { 1， 2， 2} 是未知的，这些参数将通过 向量表示，
并被称为超参数（hyperparameters）。超参数确定了模型的 随机性质，在 ct 和 dt 中出现的参数仅影响确定性的可观测变 量和状态的期望值。在状态空间模型中可以引入外生变量作 为解释变量，也可以引入 yt 的延迟变量，这些都可以放到 dt 中去。如果 ct 或 dt 是未知参数的一个线性函数，这些未知参 数也可以作为状态变量或者超参数的一部分元素。
(4.1.8)
t 1, 2 , , T
8
量测方程中的矩阵 Zt , dt , Ht 与状态方程中的矩阵 Tt , ct , Rt , Qt 统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都 被假定为非随机的。因此，尽管它们随时间改变，但 都是可以预先确定的。对于任一时刻 t，yt 能够被表示
成当前和过去的 ut 和 t 及初始向量 0 的线性组合，所
12
例3 变参数模型
通常的回归模型可用下式表示，即 ：
第四章 状态空间模型
State Space Models
上世纪60年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡 尔曼滤波 (Kalman Filtering)。进入70年代初，人们明确提出 了状态空间模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。 80年代以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。许 多时间序列模型，包括典型的线性回归模型和ARIMA模型都 能作为特例写成状态空间的形式，并估计参数值。在计量经 济学文献中，状态空间模型被用来估计不可观测的时间变量： 理性预期，测量误差，长期收入，不可观测因素（趋势和循 环要素）。状态空间模型在经济计量学领域其他方面的大量 应用请参见 Harvey（1989）和 Hamilton（1994） 。
10
例2 二阶自回归模型AR(2)
yt 1 yt1 2 yt2 ut ,
考虑两个可能的状态空间形式( k=1, m=2 )是
形式1:
yt (1, 0)αt
αt
2
源自文库
yt yt
1
12
1
0
αt
1
10
ut
形式2:
yt (1, 0)αt
αt
yt yt
1
11
2
0
αt1
10
ut
(4.1.14)
(4.1.16)
(4.1.3)
其中：Tt 是 mm 矩阵，称为状态矩阵，
ct 是m1 向量，
Rt 是mg 矩阵，t 是g1状态噪声向量，是均值为0，
协方差矩阵为 Qt 的连续的不相关扰动项，即
E(εt ) 0
var(εt ) Qt
(4.1.4)
量测方程和状态方程的扰动项的协方差矩阵用 表示
Ω
var
ut εt
Ht 0
变量、滞后内生变量等；
ut 是k1量测噪声向量，是均值为0，协方差矩阵为 Ht 的不相关扰动项，即
E(ut ) 0 var(ut ) Ht
(4.1.2)
5
一般地，t 的元素是不可观测的，但是可以表示成一阶
马尔可夫过程。下面定义状态方程或称转移方程为：
αt Ttαt1 ct Rtεt , t 1, 2， ,T
4
§4.1 状态空间模型的定义
设 yt 是包含 k 个经济变量的 k1 维可观测向量。这些
变量与 m1 维向量 t 有关，t 被称为状态向量(其中可以
包含不可观察因素)。定义“量测方程” 或“信号方程” 为:
yt Ztαt dt ut , t 1, 2， ,T (4.1.1)
其中：Zt 是 km 矩阵，称为量测矩阵； dt 是 k1 向量，表示确定性的可观察向量，包括外生
以模型是线性的。
9
例1 一阶移动平均模型MA(1)
yt t t1 ， t 1, 2 , , T
定义状态向量 t =( yt ,t )可以写成状态空间形式
量测方程： yt (1, 0) t
状态方程：
t
0 0
1 0
t
1
1
t
这种形式的特点是不存在量测噪声。
(4.1.9)
(4.1.10) (4.1.11)
(1) 初始状态向量 0 的均值为 a0，协方差矩阵为 P0，即
E(α0 ) a0 var(α0 ) P0
(4.1.6)
(2) 在所有的时间区间上，扰动项 ut 和 t 相互独立，而且 它们和初始状态 0 也不相关，即
E(ut εs ) 0
s, t 1, 2 , ,T
(4.1.7)
且
E(ut α0 ) 0 ， E(εt α0 ) 0
在一般的统计模型中出现的变量都是可以观测到的， 这些模型以反映过去经济变动的时间序列数据为基础，利 用回归分析或时间序列分析等方法估计参数，进而预测未 来的值。
状态空间模型的特点是提出了“状态”这一概念。实 际上，无论是工程控制问题中出现的某些状态（如导弹轨 迹的控制问题）还是经济系统所存在的某些状态都是一种 不可观测的变量，正是这种观测不到的变量反映了系统所 具有的真实状态，所以被称为状态向量。这种含有不可观 测 变 量 的 模 型 被 称 为 UC 模 型 (Unobservable Component Model)。
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UC模型通过通常的回归方程式来估计是不可能的， 必须利用状态空间模型来求解。状态空间模型建立了可 观测变量和系统内部状态之间的关系，从而可以通过估 计各种不同的状态向量达到分析和观测的目的。
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利用状态空间形式表示动态系统主要有两个优点： 第一，状态空间模型将不可观测的变量(状态变量) 并入可观测模型并与其一起得到估计结果； 其次，状态空间模型是利用强有效的递归算法—— 卡尔曼滤波来估计的。卡尔曼滤波可以用来估计单变量 和多变量的ARMA模型、MIMIC（多指标和多因果）模 型、马尔可夫转换模型以及变参数模型。
0 Qt
6
当 k 1 时，变为单变量模型，量测方程可以写为
yt Ztαt dt ut
(4.1.5)
var(ut ) 2 t 1, 2 , , T
其中：Zt 表示 1m矩阵，t 表示 m1状态向量， ut 是方 差为 2 的扰动项。
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若使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定：
11
系统矩阵 Zt ，Ht ，Tt ，Rt ，Qt 可以依赖于一个未知参数 的集合。状态空间模型的一个主要的任务就是估计这些参数，
在例1的MA(1)模型中的参数 { , 2} 和例2的AR(2)模型中的 参数 { 1， 2， 2} 是未知的，这些参数将通过 向量表示，
并被称为超参数（hyperparameters）。超参数确定了模型的 随机性质，在 ct 和 dt 中出现的参数仅影响确定性的可观测变 量和状态的期望值。在状态空间模型中可以引入外生变量作 为解释变量，也可以引入 yt 的延迟变量，这些都可以放到 dt 中去。如果 ct 或 dt 是未知参数的一个线性函数，这些未知参 数也可以作为状态变量或者超参数的一部分元素。
(4.1.8)
t 1, 2 , , T
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量测方程中的矩阵 Zt , dt , Ht 与状态方程中的矩阵 Tt , ct , Rt , Qt 统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都 被假定为非随机的。因此，尽管它们随时间改变，但 都是可以预先确定的。对于任一时刻 t，yt 能够被表示
成当前和过去的 ut 和 t 及初始向量 0 的线性组合，所
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例3 变参数模型
通常的回归模型可用下式表示，即 ：
第四章 状态空间模型
State Space Models
上世纪60年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡 尔曼滤波 (Kalman Filtering)。进入70年代初，人们明确提出 了状态空间模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。 80年代以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。许 多时间序列模型，包括典型的线性回归模型和ARIMA模型都 能作为特例写成状态空间的形式，并估计参数值。在计量经 济学文献中，状态空间模型被用来估计不可观测的时间变量： 理性预期，测量误差，长期收入，不可观测因素（趋势和循 环要素）。状态空间模型在经济计量学领域其他方面的大量 应用请参见 Harvey（1989）和 Hamilton（1994） 。
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例2 二阶自回归模型AR(2)
yt 1 yt1 2 yt2 ut ,
考虑两个可能的状态空间形式( k=1, m=2 )是
形式1:
yt (1, 0)αt
αt
2
源自文库
yt yt
1
12
1
0
αt
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ut
形式2:
yt (1, 0)αt
αt
yt yt
1
11
2
0
αt1
10
ut
(4.1.14)
(4.1.16)
(4.1.3)
其中：Tt 是 mm 矩阵，称为状态矩阵，
ct 是m1 向量，
Rt 是mg 矩阵，t 是g1状态噪声向量，是均值为0，
协方差矩阵为 Qt 的连续的不相关扰动项，即
E(εt ) 0
var(εt ) Qt
(4.1.4)
量测方程和状态方程的扰动项的协方差矩阵用 表示
Ω
var
ut εt
Ht 0
变量、滞后内生变量等；
ut 是k1量测噪声向量，是均值为0，协方差矩阵为 Ht 的不相关扰动项，即
E(ut ) 0 var(ut ) Ht
(4.1.2)
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一般地，t 的元素是不可观测的，但是可以表示成一阶
马尔可夫过程。下面定义状态方程或称转移方程为：
αt Ttαt1 ct Rtεt , t 1, 2， ,T
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§4.1 状态空间模型的定义
设 yt 是包含 k 个经济变量的 k1 维可观测向量。这些
变量与 m1 维向量 t 有关，t 被称为状态向量(其中可以
包含不可观察因素)。定义“量测方程” 或“信号方程” 为:
yt Ztαt dt ut , t 1, 2， ,T (4.1.1)
其中：Zt 是 km 矩阵，称为量测矩阵； dt 是 k1 向量，表示确定性的可观察向量，包括外生
以模型是线性的。
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例1 一阶移动平均模型MA(1)
yt t t1 ， t 1, 2 , , T
定义状态向量 t =( yt ,t )可以写成状态空间形式
量测方程： yt (1, 0) t
状态方程：
t
0 0
1 0
t
1
1
t
这种形式的特点是不存在量测噪声。
(4.1.9)
(4.1.10) (4.1.11)
(1) 初始状态向量 0 的均值为 a0，协方差矩阵为 P0，即
E(α0 ) a0 var(α0 ) P0
(4.1.6)
(2) 在所有的时间区间上，扰动项 ut 和 t 相互独立，而且 它们和初始状态 0 也不相关，即
E(ut εs ) 0
s, t 1, 2 , ,T
(4.1.7)
且
E(ut α0 ) 0 ， E(εt α0 ) 0