结构概念分析 (6)材料力学
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P为压力 kE kG u 0 P为拉力 kE kG u 0
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【算例Ex03b】
计算条件： 1）刚性二力杆 L=1m； 2）弹簧刚度 k=1000 N/m 3）集中荷载 P=1000 N 4）求线性屈曲系数； 5）命令流：Ex03b.mac
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
C. 直接写刚度矩阵法
杆单元的单元刚度矩阵
自创，方便
轴向刚度
切向刚度?!
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
总单元刚度矩阵
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
弹性刚度矩阵
应力刚度矩阵
kE
同济大学 郭小农
kG
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
根据物理意义直接写弹性刚度矩阵 2个自由度
【思考】
1）注意ANSYS中的编程方法。当两个节点坐标重 合时，如何施加扭转弹簧？
2）对比理论解和ANSYS解Ex03c.mac，对比屈曲 系数和屈曲模态。如何根据结构概念直接判定一 阶屈曲模态？
3）取NN=99，画出结构的第1阶屈曲模态和第99 阶屈曲模态。观察其他各阶屈曲模态。第1阶屈曲 模态和第99阶屈曲模态均为正弦曲线，为什么？
【理论解】
根据物理意义直接写弹性刚度矩阵和应力刚度矩阵
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
根据物理意义直接写弹性刚度矩阵和应力刚度矩阵
5 4 1 0 2 1 0 0
k 4
6
4
1
P
1
2
1
0
L2 1 4 6 4 L 0 1 2 1
0
1
4
5
0
0
1
2
Байду номын сангаасkE
kG
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
B. 能量法 更不方便！
设结构的临界荷载为 Pcr P 弹性应变能
U k 2
u12 u22 u32 u42
荷载势能
V
P
u12
u2
u1 2
u42
2L u3 u2 2 u4 u3 2
U V 0
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
kG 1 L P kE k
kL P
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【思考】
1）屈曲分析在数学上属于什么问题？屈曲分析的求解过程 中，先进行一次静力分析的原因？
矩阵的特征值问题 kG 1 kE E 0
2）本题中的应力刚度矩阵是正的还是负的？当P为拉力时， 会不会发生屈曲？如何计算悬索结构的屈曲荷载？压力会 增大结构刚度还是减小结构刚度？
1 0 k0 1
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
根据物理意义 直接写应力刚度矩阵
P 2 1
L
1
2
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
根据物理意义直接写弹性刚度矩阵和应力刚度矩阵
1
2 1
k
1 1
P
L
1
2 1 1 2
1
1
1 2
kE kG
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
A. 平衡法 不方便！
设结构的临界荷载为 Pcr P 根据屈曲后位置建立平衡方程
R1 k u1 2u2 3u3 4u4 5 R2 k 4u1 3u2 2u3 u4 5
Pu4 LR1 Pu3 2LR1 Lku4 Pu2 3LR1 2Lku4 Lku3 Pu1 4LR1 3Lku4 2Lku3 Lku2
【理论解】
根据物理意义直接写弹性刚度矩阵和应力刚度矩阵
1
2 1
k
1
P
1
2
1
1 L 1 2 1
1
1
2
kE
kG
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【思考】
1）对比理论解和ANSYS解Ex03b.mac，对比屈曲系数和屈 曲模态。ANSYS中模态的归一化准则？
2）取NN=4，采用子程序读取刚度矩阵和应力刚度矩阵， 和理论解进行对比。
Pu kuL
即： k P Lu 0
写成矩阵形式：
kE kG u 0
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
B. 能量法
根据屈曲后位置建立能量守恒方程
弹性应变能：U ku2 / 2
荷载作用点的竖向位移：v L L2 u2 u2 2L 荷载势能： V Pv Pu2 2L
势能驻值原理： U V 0
3）取NN=99，画出结构的第1阶屈曲模态和第99阶屈曲模 态。观察其他各阶屈曲模态。第1阶屈曲模态和第99阶屈曲 模态均为正弦曲线，为什么？
4）取NN=2，采用CAD解答，理解第1阶屈曲模态的意义。
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【算例Ex03c】
计算条件： 1）刚性二力杆 L=1m； 2）弹簧刚度 k=1000 Nm/rad 3）集中荷载 P=1000 N 4）求线性屈曲系数； 5）命令流：Ex03c.mac
可得： ku Pu / L 0
写成矩阵形式： kE kG u 0
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
平衡方程 kE kG u 0
弹性刚度矩阵
kE
弹性恢复力
几何刚度矩阵 应力刚度矩阵
[kG
]
P L
和荷载相关的
屈曲时，u 0 则有： kE kG 0
即： kG 1 kE E 0 矩阵的特征值问题
4）和命令流Ex03b.mac对比，思考为啥这2个算例 的模态正好相互倒置？
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
第03讲
认识应力刚度
【算例Ex03a】
计算条件： 1）刚性二力杆 L=1m； 2）弹簧刚度 k=1000 N/m 3）集中荷载 P=1000 N 4）求线性屈曲系数； 5）命令流：Ex03a.mac
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
A. 平衡法
设结构的临界荷载为 Pcr P
根据屈曲后位置建立平衡方程
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【算例Ex03b】
计算条件： 1）刚性二力杆 L=1m； 2）弹簧刚度 k=1000 N/m 3）集中荷载 P=1000 N 4）求线性屈曲系数； 5）命令流：Ex03b.mac
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
C. 直接写刚度矩阵法
杆单元的单元刚度矩阵
自创，方便
轴向刚度
切向刚度?!
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
总单元刚度矩阵
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
弹性刚度矩阵
应力刚度矩阵
kE
同济大学 郭小农
kG
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
根据物理意义直接写弹性刚度矩阵 2个自由度
【思考】
1）注意ANSYS中的编程方法。当两个节点坐标重 合时，如何施加扭转弹簧？
2）对比理论解和ANSYS解Ex03c.mac，对比屈曲 系数和屈曲模态。如何根据结构概念直接判定一 阶屈曲模态？
3）取NN=99，画出结构的第1阶屈曲模态和第99 阶屈曲模态。观察其他各阶屈曲模态。第1阶屈曲 模态和第99阶屈曲模态均为正弦曲线，为什么？
【理论解】
根据物理意义直接写弹性刚度矩阵和应力刚度矩阵
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
根据物理意义直接写弹性刚度矩阵和应力刚度矩阵
5 4 1 0 2 1 0 0
k 4
6
4
1
P
1
2
1
0
L2 1 4 6 4 L 0 1 2 1
0
1
4
5
0
0
1
2
Байду номын сангаасkE
kG
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
B. 能量法 更不方便！
设结构的临界荷载为 Pcr P 弹性应变能
U k 2
u12 u22 u32 u42
荷载势能
V
P
u12
u2
u1 2
u42
2L u3 u2 2 u4 u3 2
U V 0
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
kG 1 L P kE k
kL P
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【思考】
1）屈曲分析在数学上属于什么问题？屈曲分析的求解过程 中，先进行一次静力分析的原因？
矩阵的特征值问题 kG 1 kE E 0
2）本题中的应力刚度矩阵是正的还是负的？当P为拉力时， 会不会发生屈曲？如何计算悬索结构的屈曲荷载？压力会 增大结构刚度还是减小结构刚度？
1 0 k0 1
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
根据物理意义 直接写应力刚度矩阵
P 2 1
L
1
2
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
根据物理意义直接写弹性刚度矩阵和应力刚度矩阵
1
2 1
k
1 1
P
L
1
2 1 1 2
1
1
1 2
kE kG
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
A. 平衡法 不方便！
设结构的临界荷载为 Pcr P 根据屈曲后位置建立平衡方程
R1 k u1 2u2 3u3 4u4 5 R2 k 4u1 3u2 2u3 u4 5
Pu4 LR1 Pu3 2LR1 Lku4 Pu2 3LR1 2Lku4 Lku3 Pu1 4LR1 3Lku4 2Lku3 Lku2
【理论解】
根据物理意义直接写弹性刚度矩阵和应力刚度矩阵
1
2 1
k
1
P
1
2
1
1 L 1 2 1
1
1
2
kE
kG
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【思考】
1）对比理论解和ANSYS解Ex03b.mac，对比屈曲系数和屈 曲模态。ANSYS中模态的归一化准则？
2）取NN=4，采用子程序读取刚度矩阵和应力刚度矩阵， 和理论解进行对比。
Pu kuL
即： k P Lu 0
写成矩阵形式：
kE kG u 0
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
B. 能量法
根据屈曲后位置建立能量守恒方程
弹性应变能：U ku2 / 2
荷载作用点的竖向位移：v L L2 u2 u2 2L 荷载势能： V Pv Pu2 2L
势能驻值原理： U V 0
3）取NN=99，画出结构的第1阶屈曲模态和第99阶屈曲模 态。观察其他各阶屈曲模态。第1阶屈曲模态和第99阶屈曲 模态均为正弦曲线，为什么？
4）取NN=2，采用CAD解答，理解第1阶屈曲模态的意义。
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【算例Ex03c】
计算条件： 1）刚性二力杆 L=1m； 2）弹簧刚度 k=1000 Nm/rad 3）集中荷载 P=1000 N 4）求线性屈曲系数； 5）命令流：Ex03c.mac
可得： ku Pu / L 0
写成矩阵形式： kE kG u 0
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
平衡方程 kE kG u 0
弹性刚度矩阵
kE
弹性恢复力
几何刚度矩阵 应力刚度矩阵
[kG
]
P L
和荷载相关的
屈曲时，u 0 则有： kE kG 0
即： kG 1 kE E 0 矩阵的特征值问题
4）和命令流Ex03b.mac对比，思考为啥这2个算例 的模态正好相互倒置？
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
第03讲
认识应力刚度
【算例Ex03a】
计算条件： 1）刚性二力杆 L=1m； 2）弹簧刚度 k=1000 N/m 3）集中荷载 P=1000 N 4）求线性屈曲系数； 5）命令流：Ex03a.mac
《结构概念分析及ANSYS程序实现》
【理论解】
A. 平衡法
设结构的临界荷载为 Pcr P
根据屈曲后位置建立平衡方程