空间解析几何复习重点

mt nt
?? z ? z0 ? pt
直线的参数方程
平面与直线位置关系
? 直线与平面平行 ? 平面与平面平行 ? 两直线异面的判定
平面束
? 定理2.3.1 设两个平面
? 1 : A1x ? B1 y ? C1z ? D1 ? 0, ? 2 : A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0
直的条件，有
1g?? ? ? ?? 1g?? ? ? ?? 1g??? ? ? ?? 0,
解得 ? : ? ? 1: ??1?，于是经过直线 l 且与平面 ? 垂直的平
面方程为
y ? z ? 1 ? 0,
所求的射影直线方程为
?x ? y ? z ? 0,
? ?
y
?
z
?
1
?
0.
? 重点、难点 ? 2-4
X?x ? x0 ?? Y?y ? y0 ?? Z?z ? z0 ?? 0
空间直线的一般方程
? ? ?
A1 x A2 x
? ?
B1 y ? B2 y ?
C1z ? C2z ?
D1 D2
? ?
0 0
x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0
m
n
p
直线的对称式方程
?x ?
? ?
y
?
x0 ? y0 ?
3
下面求直线 l 在平面? 上的射影直线方程 .
以直线 l为轴的平面束方程为
? ?x ? y ? z ? 1?? ? ?x ? y ? z ? 1?? 0,
即
?? ? ? ?x ? ?? ? ? ?y ? ??? ? ? ?z ? ?? ? ? ? ?? 0,
在平面束中找一个平面与平面 ? 垂直，那么依两平面垂
设点 P ?x, y, z?不是顶点P0 ,则点P 在锥面上当且仅当由
点 P0 与P 所确定的直线必与准线 ? 相交于某点 P? ?x?, y?, z? ?,
因此
? ? ?? ?
（三）常见的曲面
柱面方程 锥面方程 旋转曲面方程 直纹曲面 曲线族生成的曲面
柱面方程
柱面由它的 准线和母线方向 所确定
? ? ? ?
x F
? x?
l
?x? ,
? y ? y? m
y?, z? ??
? ?,
z ? z? n
,
? ?
G
?x?
,
y? ,
z? ??
?.
?
图3.1
锥面方程
.
锥面由它的 准线和顶点 所确定
? 重点 ? 1-2，1-4，1-5
（二）直线和平面方程
平面方程 直线方程 平面与直线位置关系
平面束 距离、夹角 异面直线
平面的 点位式方程
x ? x0 y ? y0 z ? z0
X1
Y1
Z1 ? 0
X2
Y2
Z2
Ax ? By ? Cz ? D ? 0 平面的一般方程
已知一个平面过空间中的一点 M0 ?x0, y0, z0 ? 且其法向量为 n? ? ?X,Y, Z ?则平面的 点法式方程 为：
( cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a?
? ?b
?|
a?
||
? b
|
cos?
其中?
为a?
? 与b
的夹角
数量积的坐标表达式
a?
? ?b
?
a xbx
?
a yby
?
a zbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos? ?
a??
? b
a xbx ? a yby ? a zbz
X1
Y1
Z1 ? 0
XYZ
x ? x2 X2 X
y ? y2 Y2 Y
z ? z2 Z2 ? 0 Z
l M?1 v1
v1 ? v2 M?2
v2
图2.10
l1
?2
l2
公垂线方程
例2.4.5 试求直线 ? x ? y ? z ? 1 ? 0,
l
:
? ?
x
?
y?
z
?
1
?
0
在平面 ? : x ? y ? z ? 0 上的射影直线方程，并求 l与 ?
?
azby )i
?
(a ?
z
bx
?
a xbz ) j
? (a xby ? a ybx )k
???
a?
?
? b
?
i ax
j ay
k az
bx by bz
a?//
? b
ax ? ay ? az bx by bz
6、混合积
[a?b?c?]
?
(a?
?
? b)
?c?
?
ax bx
ay by
Fra Baidu bibliotekaz bz
cx cy cz
其中 a x,a y ,az 分别为向量在 x, y, z 轴上的投影 .
向量模长的坐标表示式 | a? |? a x2 ? a y2 ? a z2
向量方向余弦的坐标表示式
cos? ? cos ? ? cos? ?
ax
a
2 x
?
a
2 y
?
a z2
ay
ax2
?
a
2 y
?
a z2
az a x2 ? a y2 ? a z2
交于一条直线 ，则以l 为轴的共轴平面束方 程是
??A1x? B1y?C1z? D1?? ? ?A2x? B2y?C2z? D2?? 0,
其中 ? ,? 是不全为零的任意实数.
适用于求过已知直线的平面方程
距离、夹角
点到直线的距离
uuuuuur
d?
M0M ? v .
v
M d
M0
v
l
推论 2 ：点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 与平面 图2.8
ax2
?
a
2 y
?
a
2 z
bx2 ? by2 ? bz2
a xbx ? a yby ? a zbz ? 0
5、向量积 (叉积、外积)
|
c?
|?
|
a?
||
? b
|
sin
?
其中?
为a?
? 与b
的夹角
c?的方向既垂直于 a?
? ，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a?
?
? b
?
?
?
(a ybz
Ax ? By ? Cz ? D ? 0 之间的距离为
Ax ? By ? Cz ? D d?
A2 ? B2 ? C 2
? 两异面直线之间的距离
? ? uuuuuur
M1M2 , v1, v2
d?
.
v1 ? v2
M2 v2
l2
P2
d
P1 M1
v1
l1
异面直线
x ? x1 y? y1 z ? z1
?1
（一）向量代数
向量的表示 方向余弦 内积 外积 混合积
3、向量的表示法
向量的分解式：
a?
?
? a xi
?
? ayj
?
? azk
??? 在三个坐标轴上的分向量： a xi , a y j , a zk
向量的坐标表示式： a? ? {a x , a y , a z }
向量的坐标： a x , a y , a z
的夹角 .
解 直线 l的方向向量为 ?1,1, ?1?? ?1, ?1,1?? ?2?0,1,1?
为简单起见，取为 v ? ?1,1,1?. 又平面 ? 的法向量 n ? ?1,1,1?.
依公式(2.4.9)，直线 l 与平面 ? 的夹角 ? 满足
sin? ? ngv ? 6 . nv 3
所以 ? ? arcsin 6 .