位置矢量运动方程轨迹方程位移2

称为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度。
结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢

对时间的二阶导数。 说明：一般情况下与 力的斜上抛运动）。
v
方向不同（如不计空气阻
五. 直线运动 1.直线运动的描述
直位线矢运：动r ：x质i 点直运线动运轨动迹中为，一用直坐线标；x(代数量)可表
v

dx
i

dy
j

dz
k
dt

dt

dt
vxi vy j vzk
A
B6B5B4
r
B3B2B1B
r(t)
r(t t)
0

大 方小 向： ：drv
v vx2 vy2 vz2
的方向---轨道切线方向；
3、平均速率与瞬时速率 定义：平均速率=Δs/Δt
C e（n 法向）
et
(切向）
A ,t P
B 图 1-6
二、圆周运动的切向加速度及法向加速度
1、切向加速度
如图1-7，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质
点速度 V=vet v为速率。

v

et
A,t

en r
O
图 1-7
加速度为 a=dv/dt=dv/dtet+vdet/dt（2-2）
式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引 起的，方向与et共线，称该项为切向加速度， 记为 at= dv/dtet =atet（2-3）
称为质点在Δt时间段内的平均速率。为了描述 运动细节，引进瞬时速率。 定义：v=ds/dt
称为t时刻质点的瞬时速率，简称速率.当Δt趋 于零时， Δr=dr, Δs=ds,所以，瞬时速率=瞬时速度 的大小。
结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时 间的一阶导数。
说明： （1）比较平均速率与平均速度：二者均为过程量；
示质点的位置；
运动方程：x x(t)
P2 x2 0
P1 x
x1
§ 1-2圆周运动
本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。
一、自然坐标系
图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻 质点P位于A 点的和，e单ne法t位、向矢en为分量坐别，标为以轴AA点为，切原由向点此及，构法成et切向的向 参照系为自然坐标系（可推广到 三维）
(xB xA )i ( yB y A ) j (zB z A )k
xi yj zk
讨论：
a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长 度；
b. 路程是标量，大小与位移的大小一般不

相等，即；r s c. 在极限情况下 ；dr

ds
d. 单方向直线运动时； r s
式（2-2）中第二项为：
v det dt
v d dt
en

v r
ds dt en

v2 r
en
该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。
称此项为法向加速度，记为
an

v2 r
en
（2-5）
大小为
an

v2 r
（2-6）
是加速度的法向分量。

前者为标量，后者为矢量。 （2）比较速率与速度：二者均为瞬时量；前者为
标量，后者为矢量。 （3）一般，平均速率不等于平均速度的大小。速
率不等于速度的大小。
四、加速度
为了描述质点速度变化的快 慢，从而引进加速度的概 念。
1、平均加速度
定义a：平v均(t加速t度) v(t) v
at为加速度的切向分量。 结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导
数。
2、法向加速度


B,t dt et
ds A,t
d r
O
式（2-2）中，第二项是由质点运
动方向改变引起的。
图 1-8
如ed点’图et与t指的1e向-8t大夹，圆小角质心等为点O于d，由（d可A见点。有图运因d1e动-为t=8）到dde当Bt垂点edn直，趋e有t于，d0所e时t=以e，’由t-有eAt,
矢量形式：
r(t)

x(t)i

y(t)
j

z(t)k
分量形式：
x x(t)

y

y(t)
z z(t)
消去t 可得轨迹方程： f (x,y,z) = 0
3.位移 位移：质点一段时间内位置的改变；
r r(t t) r(t)



(xBi yB j zBk ) (xAi yA j zAk )
三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量；
1.平均速度
v

r

x
i

y
j

z
k
t t t t
vxi vy j vzk
大小： v r 方向： r 的方向；
t
2.瞬时速度
v lim r dr t0 t dt
二、位置矢量 运动方程 轨迹方程 位移
1.位矢：表征空间某点P的位置，由原点0到P 的矢量； 如图1-2
z
z
r

op

xi

yj

zk
r r x2 y2 z2
rP


y
cos x , cos y , cos z
r
r
r
x

y
x
图 1-2
2、运动方程 质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运 动方程。 运动方程
t
t
（见图1-4）
称为Δt时间间隔内质点的平 均加速度
y
A, t
1

（2 平移） r1
r2
o
B,t t
2
x
图 1-4
2、瞬时加速度
为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加

速度。 定义：
a

lim
v
t0 t

dv dt
d 2r dt 2
§1-1 质点运动的描述
一、参考系 坐标系 质点 1、参考系 为描述物体运动而选择的 参考物体叫参考系。 2、坐标系 为了定量地研究物体的运 动，要选择一个与 参考系相 对静止的坐标系。如图1-1。 说明：参考系、坐标系是任 意选择的，视处理问题方便 而定。
z
参考系
o
y
Fra Baidu bibliotek
坐标系
x
图 1-1
3、质点 忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质 量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。 说明： ⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中 有很多理想模型）。 ⑵质点突出了物体三个基本性质： 1）具有质量； 2）占有位置； 3） 无体积。 ⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。视研 究问题的性质和精确度而定.