应用统计学第四章推断统计
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解 ：总体的方差未知，故总体均值的置信区间为：
(XS nt/2(n1)X , S nt/2(n1))
而，经过计算得， x1490,s24.77, 又查表得， t0.02(515)2.1315
故所求的置信区间为（1476.8, 1503.2）。
• 例2：某食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量 为8000袋左右，按照规定每袋的重量应为100克，为对产 品质量进行监测，企业质检部门从某天生产的一批产品中 随机抽取了64袋，测得该样本的均值为105.36克，标准差 为10克，试估计该批产品平均重量的置信区间为多少？ （置信度为95%）
区间估计：在点估计基础上，依照一定的概率保证度 用样本估计值估计出总体参数取值的区间 范围。
4、置信区间：
由样本统计量所构造的总体参数的估计区间，用
（ , ）来表示，即（置信下限，置信上限）。
5、置信水平也称为置信度用 (1 表) 示
(1 ) 表示置信区间 ( , ) 包括总体参数真值
的概率，记为 P{}1 ，则总体参数真值
则有
近似
p
~
N(P,
P(1P) )
n
对于置信度1 ，P的置信区间为
(pz/2
p(1n p),pz/2
p(1p)) n
五、总体比率的区间估计
由样本比率的抽样分布可以知，当样本容量n 足够
（一般指不小于30，且 np,n(1p)都大于5），
样本比率的抽样分布近似正态分布。设总体比率为P，
பைடு நூலகம்
则有
近似
p
~
N(P,
有 100(1)%的可能性落在置信区间 ( , ) 内。
其中 为事先给定的概率值，称为显著性水平。
二、估计量的评选标准
• (一) 无偏性
样本估计量的均值等于该样本统计量所估计的总体参 数的真实值，则称该估计量为无偏估计量。
（二）一致性 也称为相合性，当样本容量n增加时，如果估计量越来 越接近总体参数的真实值，则称这个估计量为一致估 计量。
（三）有效性
是指估计量与总体参数的离散程度应该很小，即估计 量的方差应该很小，这样才能保证估计量的取值集中 在被估计的总体参数的附近，对总体参数的估计和推 断更可靠。
三、均值的区间估计
引题：大样本（n 30 ），由中心极限定理可知，不论总体服从什么分布，X ~ N(, 2 ) ，
n
为未知，设 X1, X2,, Xn 是来自总体 X 的样本，求 的置信度为1 的置信区间。
X
S/ n
~ t(n 1)
，求总体均值 的置信度为1 的置信区间。
• 例1 现从一批灯泡中随机地取16只，测的其使用寿命（以小时为单位） 如下表所示。
1510 1520 1480 1500 1450 1480 1510 1520
1480 1490 1530 1510 1460 1460 1470 1470 设灯泡的使用寿命近似地服从正态分布，试求灯泡的平均使用寿命95%的 置信区间 。
容主 要 内
第一节 参数估计 第二节 假设检验
• 一、 概念
第一节 参数估计
1、参数估计：在抽样分布及抽样分布的基础上，据样 本统计量来推断总体参数的统计方法。
2、 估计量：用来估计总体参数的统计量的名称； 估计值：计算得到的样本估计量的具体数值
点估计： 用样本估计量直接作为总体参数估计值 3、
第二节 假设检验
一、 假设检验的基本问题
1、假设检验：在总体的分布函数已知，但参数未知时， 先对总体分布中的未知参数（均值、比率、方差）提 出假设，利用样本提供的信息来检验这个假设，即接 受此假设还是拒绝此假设。
补充知识：假设检验的原理
） ②方差 2未知时： (X Snz/2,X Snz/2)（用 S 2 代替 2
补充：当样本来自非正态总体时，应将样本容量增加到30 以上，再进行抽样和区间估计，均值的置信区间同上面推 导的大样本（n ≥ 30）的情况。
一个总体均值的置信区间
（2）样本来自正态总体 N(,2)
样本容量为小样本即（n ＜ 30）时，总体均值的置信区间为：
n
(n 1) S 2 2
~
2 (n 1);
样本来自正态总体，则总体方差 2 的置信区间为 ((n 2/2 (1n)S 1 2),1 (2n /21 ()nS21))
五、总体比率的区间估计
由样本比率的抽样分布可以知，当样本容量n 足够
（一般指不小于30，且 np,n(1p)都大于5），
样本比率的抽样分布近似正态分布。设总体比率为P，
2
①
已知时， (X nz/2,X nz/2)
② 2 未知时，
(XS nt/2(n 1 )X , S nt/2(n 1 ))
样本来自正态总体，样本容量为小样本即（n ＜
30）总体方差
未知时，总体均值置信区间
2
的求解
推导：设 方差，则
X1, X2, , Xn 来自正态总体 N(, 2) 的样本， X , S 2 分别为样本的均值和
解：
因X
~
N
(,
2 n
)
，则令
Z=
X
/
n
~
N (0,1)
P (z Z z ) 1
2
2
P z 2
X / n
z 1
2
PX
n
z＜＜ X
2
n
z
2
1
1、一个总体均值 的置信区间：
（1）大样本（n ≥ 30）时，总体均值的置信区间为：
①方差 2已知时： (X nz/2,X nz/2)
• 例3：从某公司生产的一批瓶装产品中，随机抽取10罐产 品，测得每罐的重量分别为318、320、322、321、321、 323、319、320、320、324（克），以95%的置信度求该公 司这批产品平均重量的置信区间。（产品重量服从正态分 布）
四、一个总体方差的区间估计
复习：设 X1,X2,,Xn来自正态总体 N(,2) 的样本，X , S 2 分别为样本的均值和方差。则 X ~ N ( , 2 );
P(1P) )
n
对于置信度1 ，P的置信区间为
(pz/2
p(1n p),pz/2
p(1p)) n
例4：对某种奶粉进行检查，从中随机抽取20袋，测得样本 的平均重量为250.8克，标准差为1.25克，已知其重量服从 正态分布，求总体方差在置信度为90%时的置信区间为多 少？
例5：某城市要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取 了100个职工，其中65人为女性。对于置信度95%，试求该 城市下岗职工中女性所占的比例的置信区间为多少？
(XS nt/2(n1)X , S nt/2(n1))
而，经过计算得， x1490,s24.77, 又查表得， t0.02(515)2.1315
故所求的置信区间为（1476.8, 1503.2）。
• 例2：某食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量 为8000袋左右，按照规定每袋的重量应为100克，为对产 品质量进行监测，企业质检部门从某天生产的一批产品中 随机抽取了64袋，测得该样本的均值为105.36克，标准差 为10克，试估计该批产品平均重量的置信区间为多少？ （置信度为95%）
区间估计：在点估计基础上，依照一定的概率保证度 用样本估计值估计出总体参数取值的区间 范围。
4、置信区间：
由样本统计量所构造的总体参数的估计区间，用
（ , ）来表示，即（置信下限，置信上限）。
5、置信水平也称为置信度用 (1 表) 示
(1 ) 表示置信区间 ( , ) 包括总体参数真值
的概率，记为 P{}1 ，则总体参数真值
则有
近似
p
~
N(P,
P(1P) )
n
对于置信度1 ，P的置信区间为
(pz/2
p(1n p),pz/2
p(1p)) n
五、总体比率的区间估计
由样本比率的抽样分布可以知，当样本容量n 足够
（一般指不小于30，且 np,n(1p)都大于5），
样本比率的抽样分布近似正态分布。设总体比率为P，
பைடு நூலகம்
则有
近似
p
~
N(P,
有 100(1)%的可能性落在置信区间 ( , ) 内。
其中 为事先给定的概率值，称为显著性水平。
二、估计量的评选标准
• (一) 无偏性
样本估计量的均值等于该样本统计量所估计的总体参 数的真实值，则称该估计量为无偏估计量。
（二）一致性 也称为相合性，当样本容量n增加时，如果估计量越来 越接近总体参数的真实值，则称这个估计量为一致估 计量。
（三）有效性
是指估计量与总体参数的离散程度应该很小，即估计 量的方差应该很小，这样才能保证估计量的取值集中 在被估计的总体参数的附近，对总体参数的估计和推 断更可靠。
三、均值的区间估计
引题：大样本（n 30 ），由中心极限定理可知，不论总体服从什么分布，X ~ N(, 2 ) ，
n
为未知，设 X1, X2,, Xn 是来自总体 X 的样本，求 的置信度为1 的置信区间。
X
S/ n
~ t(n 1)
，求总体均值 的置信度为1 的置信区间。
• 例1 现从一批灯泡中随机地取16只，测的其使用寿命（以小时为单位） 如下表所示。
1510 1520 1480 1500 1450 1480 1510 1520
1480 1490 1530 1510 1460 1460 1470 1470 设灯泡的使用寿命近似地服从正态分布，试求灯泡的平均使用寿命95%的 置信区间 。
容主 要 内
第一节 参数估计 第二节 假设检验
• 一、 概念
第一节 参数估计
1、参数估计：在抽样分布及抽样分布的基础上，据样 本统计量来推断总体参数的统计方法。
2、 估计量：用来估计总体参数的统计量的名称； 估计值：计算得到的样本估计量的具体数值
点估计： 用样本估计量直接作为总体参数估计值 3、
第二节 假设检验
一、 假设检验的基本问题
1、假设检验：在总体的分布函数已知，但参数未知时， 先对总体分布中的未知参数（均值、比率、方差）提 出假设，利用样本提供的信息来检验这个假设，即接 受此假设还是拒绝此假设。
补充知识：假设检验的原理
） ②方差 2未知时： (X Snz/2,X Snz/2)（用 S 2 代替 2
补充：当样本来自非正态总体时，应将样本容量增加到30 以上，再进行抽样和区间估计，均值的置信区间同上面推 导的大样本（n ≥ 30）的情况。
一个总体均值的置信区间
（2）样本来自正态总体 N(,2)
样本容量为小样本即（n ＜ 30）时，总体均值的置信区间为：
n
(n 1) S 2 2
~
2 (n 1);
样本来自正态总体，则总体方差 2 的置信区间为 ((n 2/2 (1n)S 1 2),1 (2n /21 ()nS21))
五、总体比率的区间估计
由样本比率的抽样分布可以知，当样本容量n 足够
（一般指不小于30，且 np,n(1p)都大于5），
样本比率的抽样分布近似正态分布。设总体比率为P，
2
①
已知时， (X nz/2,X nz/2)
② 2 未知时，
(XS nt/2(n 1 )X , S nt/2(n 1 ))
样本来自正态总体，样本容量为小样本即（n ＜
30）总体方差
未知时，总体均值置信区间
2
的求解
推导：设 方差，则
X1, X2, , Xn 来自正态总体 N(, 2) 的样本， X , S 2 分别为样本的均值和
解：
因X
~
N
(,
2 n
)
，则令
Z=
X
/
n
~
N (0,1)
P (z Z z ) 1
2
2
P z 2
X / n
z 1
2
PX
n
z＜＜ X
2
n
z
2
1
1、一个总体均值 的置信区间：
（1）大样本（n ≥ 30）时，总体均值的置信区间为：
①方差 2已知时： (X nz/2,X nz/2)
• 例3：从某公司生产的一批瓶装产品中，随机抽取10罐产 品，测得每罐的重量分别为318、320、322、321、321、 323、319、320、320、324（克），以95%的置信度求该公 司这批产品平均重量的置信区间。（产品重量服从正态分 布）
四、一个总体方差的区间估计
复习：设 X1,X2,,Xn来自正态总体 N(,2) 的样本，X , S 2 分别为样本的均值和方差。则 X ~ N ( , 2 );
P(1P) )
n
对于置信度1 ，P的置信区间为
(pz/2
p(1n p),pz/2
p(1p)) n
例4：对某种奶粉进行检查，从中随机抽取20袋，测得样本 的平均重量为250.8克，标准差为1.25克，已知其重量服从 正态分布，求总体方差在置信度为90%时的置信区间为多 少？
例5：某城市要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取 了100个职工，其中65人为女性。对于置信度95%，试求该 城市下岗职工中女性所占的比例的置信区间为多少？