高等代数与中学数学的联系

目录摘要I

Abstract I

1 引言1

2 知识方面的联系1

2．1多项式理论的应用1

2．2行列式的应用2

2．3柯西不等式的应用3

2．4二次型的应用4

3 思想方面的联系4

3．1符号化思想4

3．2分类思想5

3．3化归与转化思想5

3．4结构思想6

3．5公理化方法6

3．6坐标方法6

3．7构造性方法7

4 观念方面的联系7

结束语8

参考文献8

致谢10

摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合．

关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用

Abstract:The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application

1引言

高等代数作为数学专业的主干专业基础课之一，是初等代数的延伸与提高．运用高等代数的望远镜和显微镜剖析各类高等数学课程与中学数学之间的关联是一项长期有效的措施]1[．以实现中学式思维方式向大学式思维方式的过度与转变为目标，引导学生在二者之间建立一座桥梁．教师方面，有利于帮助中学教师融会贯通中学教学的相关内容，让中学教师利用高等数学的相关理论、方法与观点解决中学数学的相关问题，以上位者的姿态理解中学教学内容的本源，知其所以然，促进知识的深化；学生方面，也能激发学生的学习兴趣，扩大高等数学知识在中学教学中的应用面，加深高等代数知识与中学数学的关联．在理解中学数学与高等代数之间的联系后，中学教师能更好地展开相关教学工作，学生能更好地完成相关教学任务．本文将从数学知识、数学思想、数学观点三个层面研究高等代数与中学数学的联系]2[．

2 知识方面的联系

2．1多项式理论的应用

作为高等数学主要内容之一的多项式理论，它与中学代数有着密不可分的关联．利用多项式理论解决了中学数学中的诸多遗留难题，如多项式的根与因式分解理论，由此可见，高等代数知识对解决中学的中学代数问题有着“居高临下”的作用．

例1多项式17345)(234+-+-=x x x x x f ，当142==x x 时，求此多项式的值．

解将条件等式变形为142=-x x ，由)(1x f ，所以)(42x f x x -．由多项式除法，得

173)4)(()(22+---=x x x x x x f ，

再将142=-x x 代入上式，可得

18174)(2=+-=x x x f ．

例2 已知c b a 、、为整数，且满足a c c b b a ++与c

b b

c c a ++均为整数，求证c b a ==． 证明设))()(()(a

c x c b x b a x x f ---=． 于是

1)()()(23-+++++-=x a

b b

c c a x a c c b b a x x f ． 由已知条件知)(x f 是首项系数为1的整系数多项式，且b a ，c b ，a

c 均为它的三个有理整

数根，又因为它们的乘积为1，所以

1===a

c c b b a ，故c b a ==． 2．2 行列式的应用 “矩阵与变换”作为普通高中新课改的选修模块之一]3[，在历年高考中有着广泛的命题基础，包含了中学数学中一些典型问题，如求函数的解析式，多项式的因式分解等问题，若能在解题中适当利用行列式知识，这些问题往往可以迎刃而解．

例3已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，满足0)1(=-f ，6)1(-=f ，9)2(-=f ，4)3(-=f ，求)(x f ．

解由已知条件，得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+⋅+⋅+⋅-=+⋅+⋅+⋅-=+⋅+⋅+⋅=+-+-+-4

3339

22261110)1()1()1(23232323d c b a d c b a d c b a d c b a 把上式看成关于a ，b ，c ，d 的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式

1

333122211111)1()1()1(2323

23

23

---， 由行列式与线性方程组的理论，可得1=a ，2-=b ，4-=c ，1-=d ，即

142)(23---=x x x x f ．

例4试分解多项式xyz z y x 3333-++．

解 构造一个行列式D ，使它等于此多项式，即

xyz z y x x

z y

y x z

z y x

D 3333-++==． 而 x y z

x y z x y z D z

x y y z x ++++++=