分式函数求值域问题

分式函数求值域问题的通用解法

韩善豪

我这里所讲的分式函数指的是一次除一次，二次除一次，一次除二次，二次除二次，具体来看是指一下四种形式： 一次除以一次d

cx b ax y ++= 二次除以一次n

mx c bx ax y +++=2 一次除以二次c

bx ax n mx y +++=2 二次除以二次r

nx mx c bx ax y ++++=22 下面我以一些具体的例子来说一说分式函数值域的具体求法。

例1.求函数2

12-+=x x y 的值域。 解析：此题的标准解法叫分离常数

2

5225)2(2212-+=-+-=-+=

x x x x x y 则该函数是由x y 5=向右平移两个单位，向上平移2个单位得到，显然值域为()()+∞⋃∞-,22, 说明：d cx b ax y ++=该函数可以称为是反比例型函数，其值域为⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a 即⎭⎬⎫⎩

⎨⎧≠c a y y 。另外此函数的对称性和单调性规律也很简单，大家可以试着总结一下。 再随便举一个例子：231-+=x x y 其值域为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≠31y y 例2.求函数x

x x y 422++=的值域。 解析：此例子比较简单，分母上的一次只是x ，显然我们可以化简得

24++=x

x y 则可以用对号函数的单调性解决值域为(][)+∞⋃-∞-,62, 例3.求函数1

422+++=x x x y 的值域。 解析：此题和例2其实一样，只不过分母稍复杂一点。

令1),0(1-=≠+=t x t x t 代入上式得

t

t t t t t t y 334)1(2)1(22+=+=+-+-= 所以值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,

例4.求函数4

212+++=x x x y 的值域。 解析：此题为一次除以二次的形式，则根据例3当01≠+x 时，我们可以先求出

y 1的值域为(][)

+∞⋃-∞-,3232,，则此时⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈63,00,63y ，当01=+x 时，0=y ，综上进得到该函数的值域为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

-∈63,63y 例5.求函数1

13222++++=x x x x y 的值域。 解析：此题可以转化成例4来求。

1

21)1(2123222222+++=+++++=++++=x x x x x x x x x x x x y （仍然是一次除以二次的情况） 1

22+++=x x x y 当0=x 时2=y

当0≠x 时[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃∈+++=37,22,11112x

x y 综上⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3

7,1y 说明：分式函数求值域的问题，除了一次除以一次可以口算之外，其余的几种情况基本上都可以转化成对号函数来求。以上几个题目都是我随手编的几个题，只是想给大家展示一下分式求值域通用的规律。后面我会再给大家补充几道涉及到分式求值域的高考题以及高考模拟题。