2.4 倒格子

h1 h2 h3
Gh
B
a2
A
a1
所以倒格矢Gh h1b1 h2b2 h3b3 和正格子中晶面族 (h1h2h3)正交
a a3 1 Gh CA (h1b1 h2b2 h3b3 ) 2 2 0 h1 h3 a Gh CB (h1b1 h2b2 h3b3 ) 2 a3 2 2 0 h3 2 h
成立 F (r ) F (r Rn )
的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格 子的由来.
cos( g Rn ) 1 g Rn 2 m; where m is int eger
由于波矢的单位是坐标空间中长度单位的倒 数，所以，在固体物理学中，通常把坐标空间 称为正空间，而把波矢空间称为倒易空间或倒 空间。
欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任 意整数，则要求： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3
h1,h2,h3为整数
显然,如果令 Gh h1b1 h2b2 h3b3 h1,h2,h3为整数
源自文库同理可得 b2 , b3
所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
其中 a1 , a2 , a3 是正格基矢 Ω a1 a2 a3
2π
Ω
3
(其中和*分别为正、倒格子原胞的体积)
除(2 )3 因子外，正格子原胞体积 和倒格子 原胞体积 * 互为倒数
* Ω b1 b2 b3
3



=0
2π a2 a3 a3 a1 a1 a2 Ω
述的布拉维格子称为正格子，则 Gh所描述的布
拉维格子称为正格子的倒格子, 也叫倒易点阵或 简称为倒点阵.
Gh 称为倒格矢
从倒格子的引入可知，对于坐标空间中与布拉维格子 有相同平移对称性的某物理量的傅里叶展开中，只存 在波矢为倒格矢的分量，其它分量的系数为零
的傅里叶展开为:
Gh
利用倒格矢，满足 F (r ) F (r Rn )
g
展开系数
展开系数
1 ig A( g ) F (r )e r dr
因为：F (r ) F (r Rn )
原胞体积
ig 1 r 所以：A( g ) F ( r R ) e dr n 令 r r R 则： r r Rn dr dr n
是固体物理学原胞体积
与 Gh h1b1 h2b2 h3b3 (h1 , h2 , h3为整数) 所
联系的各点的列阵即为倒格子。
许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义
由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因 此，它们互为倒易格子。
二、倒格子与正格子的关系 1. 体积关系
Ω
*
1 1 则 A( g ) F (r )eig ( r Rn ) dr F (r )eig reig Rn dr
1 1 ig ig Rn r ig Rn ig r A( g ) F (r )e e dr F (r )e dr e
由于 a1 , a2 , a3为基矢，互不共面，则由 bi a j 2 ij 可知 b1 , b2 , b3 亦应该不共面，从 而可以用 Gh h1b1 h2b2 h3b3 描述倒格子。
其中δij 称为克罗内克(Kronecker)函数
合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子 (reciprocal lattice). Gh 称为倒格矢 将 Rn n1a1 n2 a2 n3a3 代入Gh Rn 2 m, 得： n1Gh a1 n2Gh a2 n3Gh a3 2 m
所以
e
ig Rn
1
ig Rn 也就是说,一定存在某些 g 使得当 e 1 成立时
由于 g 与 Rn 存在上述对应关系, Rn 可以描述布 拉维格子,自然 g 也可以描述同样的布拉维格子, 且 g 与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类 ig Rn 似,因而,凡是波矢 g 和布拉维格矢满足 e 1
当
2 , bi a j 2 ij 0,
i j i j
i, j 1, 2,3
满足时，
则下式自然成立：n1G h a1 n2Gh a2 n3Gh a3 2 m 或： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3
由于 Gh h1b1 h2b2 h3b3 为倒格矢，如果把倒格 矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间 (reciprocal space),则由于 b1 , b2 , b3 不共面，自然
讨论： 由 b a 2 ; i 1, 2,3; j 1, 2,3 可知： i j ij a2 a3 与 b1 平行 b1 和 a2 , a3 垂直,因此，
3
3
3
2. 倒格矢与晶面 倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 和正格子中晶面族 (h1h2h3)正交且其倒格矢长度为：
2π Gh d h1h2 h3
其中 d h1h2 h3 是正格子晶 面族(h1h2h3)的面间距
首先我们证明
倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 和正格子中晶面族 (h1h2h3)正交
可以成为倒易空间的基矢。 和 Rn n1a1 n2 a2 n3a3 对比,表明 Gh h1b1 h2b2 h3b3 对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格 子是倒易空间的布拉维格子。 从而 Gh h1b1 h2b2 h3b3 且 bi a j 2 ij ; i 1,2,3; j 1,2,3 也可作为以 a1 , a2 , a3 为基的某一布拉维格子的 倒格子的定义。
由于倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 与晶面族(h1h2h3) 正交. 因而，晶面族(h1h2h3)的法线方向为 Gh a3 Gh 则法线方向的单位矢量为： n Gh C G
2π 接着我们再证明倒格矢长度为 Gh d h1h2 h3
设平面ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面 ABC在基矢 a1 , a2 , a3 上的截距分别 a3 a1 a2 a3 为 , , 。
a1 a3 C CA OA OC h1 h 3 由图可知： a a3 2 CB OB OC h 2 h3 O
从而对应上述矢量g描述的布拉维格子称为倒 格子(reciprocal lattice)，而把Rn所描述的布拉 维格子称为正格子(direct lattice)。
2. 倒格子(reciprocal lattice)的定义
对布拉维格子中所有格矢 Rn ，满足eiGh Rn 1 或 Gh Rn 2 m, (m为整数)的全部 Gh 端点的集 合，也可以描述该布拉维格子。如果把 Rn所描


A( g ) 0 or
g
A( g )
ig Rn ig Rn A( g ) A( g )e A( g )[1 e ] 0 ig Rn
ig r F (r ) A( g )e 0

e
1
不合要求，应舍去
所以可令： b1 1 (a2 a3 ) 两边同时点乘 a1 a1 b1 1a1 (a2 a3 ) 2
2 2 1 a1 (a2 a3 )
原胞的体积
2 (a2 a3 ) b1 1 (a2 a3 )
iG h r F (r ) A ( G ) e h 1 iG h r A(Gh ) F (r )e dr
意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转 变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。 3. 倒格子的基矢
iGh Rn 对布拉维格子中所有格矢 Rn ，满足 e 1 或 Gh Rn 2 m, (m为整数)的全部 Gh 端点的集
因而，面间距 a1 a2 a3 d h1h2h3 n n n O h1 h2 h3 a1 Gh a1 Gh 2 h1 2 h1 Gh h1 Gh h1 Gh Gh
利用 A B C A C B A B C


a3 a1 a1 a2 [ a3 a1 a2 ]a1 [ a3 a1 a1 ]a2
Ω a1
*
2π 2 (2π) 2π a2 a3 a1 Ω Ω Ω
布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只 与位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性, 均应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、 质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都 是如此。 不失一般性，上述函数可统一写为：
F (r ) F (r Rn )
布拉维格矢
1. 周期函数的傅里叶展开 由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将 其展开成傅里叶级数： ig r F (r ) A( g )e
第四节
倒格子
本节主要内容: 一、点阵傅里叶变换与倒格子 二、正格子与倒格子的关系 三、布里渊区、倒格子的实例和对应晶胞 四、 倒格子的点群对称性
一、点阵傅里叶变换与倒格子
晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的 布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内 容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述. 然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基 本粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和 动量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频 率的波,波也是物质存在的一种基本形式. 波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体 结构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？ 如果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？