2020高考数学专项复习《专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用》

专题四三角函数与解三角形

第十一讲三角函数的综合应用

一、选择题

1．(2018 北京)在平面直角坐标系中，记d 为点P(cos, sin) 到直线x -my -2 = 0 的距离，当，m 变化时，d 的最大值为

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2016 年浙江）设函数f ( x) = sin2x +b s in x +c ，则f(x)的最小正周期A．与b 有关，且与c 有关B．与b 有关，但与c 无关

C．与b 无关，且与c 无关D．与b 无关，但与c 有关

3．（2015 陕西）如图，某港口一天6 时到18 时的水深变化曲线近似满足函数y = 3sin(

x +) +k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为

6

A．5 B．6 C．8 D．10

4（2015 浙江）存在函数f (x) 满足，对任意x ∈R 都有

A．f (sin 2x) = sin x B．f (sin 2x) =x2 +x

C．f (x2 +1) = x +1 D．f (x2 + 2x) = x +1

5．（2015 新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，∠BOP=x．将动点P 到A，B 两点距离之和表示为x 的函数

f (x) ，则y = f (x) 的图像大致为

⎰

A

B C D

6．（2014 新课标Ⅰ）如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点 P 作直线OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线OP 的距离表示为 x 的函数 f (x ) ，则 y = f (x ) 在[0,

]上的图像大致为

A. B ．

7．（2015 湖南）已知函数 f (x ) = sin(x -),且 3

f (x )dx = 0, 则函数 f (x ) 的图象的一条

对称轴是 5

7 A ． x = B ． x =

C ． x =

D ． x =

6

二、填空题

12

3

6

8．（2016 年浙江）已知2 cos 2

x + sin 2x = A sin(x +) + b ( A > 0) ,则

A

=

，

b

=

．

A

B 9．(2016 江苏省) 定义在区间[0, 3π] 上的函数 y = sin 2x 的图象与 y = cos x 的图象的交点

个数是

．

10．（2014 陕西）设0 << ，向量a = (sin 2，

cos )，b = (cos ，1) ，若a ∥b ， 2

则tan = ．

11．(2012 湖南)函数 f (x ) = sin(

x +) 的导函数 y =

f '(x ) 的部分图像如图 4 所示，其中，

P 为图像与 y 轴的交点，A ,C 为图像与 x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.

（1）若= ，点 P 的坐标为（0，

3 3

），则=

；

6 2

（2）若在曲线段 ¼ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率

为

．

三、解答题

12．（2018 江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧 MPN （ P 为

此圆弧的中点）和线段 MN 构成．已知圆O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD ，大棚Ⅱ 内的地块形状为△CDP ，要求 A , B 均在线段 MN 上， C , D 均在圆弧上．设OC 与 MN 所成的角为

．

P

M N

(1) 用分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin 的取值范围；

(2) 若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积

D

C

O

7

) 年产值之比为4 ∶3 ．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

13．（2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均

为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为10 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线 EG ， E 1G 1 的长分别为 14cm 和 62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm ． 现 有一根玻璃棒l ，其长度为 40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1） 将l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱CC 1 上，求l 没入水中

部分的长度；

（2） 将l 放在容器Ⅱ中， l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱GG 1 上，求l 没入水中

部分的长度．

14．（2015 ft 东）设 f (x ) = sin x cos x - cos 2

(x +

．

4

（Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间；

A

（Ⅱ）在锐角△ ABC 中，角 A , B , C ，的对边分别为 a , b , c ，若 f ( ) = 0 ， a = 1 ，

2

求△ ABC 面积的最大值．

15．（2014 湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位： h ）的变化近似满足

函数关系： f (t ) = 10 -

3cos π t - sin π

t ， t ∈[0 , 24) . 12 12 （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于

，则在哪段时间实验室需要降温？

16．（2014 陕西） ∆ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．

（I ）

若 a ，b ，c 成等差数列，证明： sin A + sin C = 2 s in (A + C ) ；