第4讲数列求和

第4讲 数列求和

一、选择题

1.等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 的前10

项的和为( ) A.120

B.70

C.75

D.100

解析 因为S n

n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.

答案 C

2.数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( ) A.9

B.8

C.17

D.16

解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案 A

3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A.200

B.－200

C.400

D.－400

解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 答案 B

4.(2017·高安中学模拟)已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A.5

B.6

C.7

D.16

解析 根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.

又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.

答案 C

5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( ) A.22 016－1

B.3·21 008－3

C.3·21 008－1

D.3·21 007－2

解析 a 1＝1，a 2＝2

a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成

等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，

∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）

1－2＝3·21 008－3.故选B.

答案 B 二、填空题

6.(2017·保定模拟)有穷数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________.

解析 由题意知所求数列的通项为

1－2n 1－2

＝2n －1，故由分组求和法及等比数列

的求和公式可得和为2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n .

答案 2n ＋1－2－n

7.(2016·宝鸡模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1

2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.

解析 由a n ＋a n ＋1＝1

2＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ， 则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)

＝1＋10×1

2＝6. 答案 6

8.(2017·安阳二模)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.

解析 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3（1－4n ）1－4

＝4n －1. 答案 4n －1 三、解答题

9.(2016·北京卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.

解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由⎩⎨⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2

＝9得⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝3. ∴b n ＝b 1q n －1＝3n －1，

又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…). (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列{c n }的前n 项和

S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1 ＝n （1＋2n －1）2＋1－3n 1－3

＝n 2＋3n －12.

10.(2017·贵阳一模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋1

2a n ＝1(n ∈N *).