蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第8章 一般均衡)

蒋殿春《高级微观经济学》

第8章 一般均衡

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1．一个二人经济中有两种商品。个体1开始有2单位x 商品和2单位y 商品；个体2开始只有2单位x 商品；两人的效用函数分别是：

()1,ln u x y x y =+，()2,ln ln u x y x y =+

试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。

解：先将商品y 的价格规范为1，设商品x 的价格为p 。二人的效用最大化问题分别为：

11

11

,11max ln ..22x y x y s t px y p ++=+ 和

22

22

,22max l n ..2x y x y s t px y p

++=

建立拉格朗日函数：

()111111ln 22L x y px y p λ=+-+-- ()222222ln 2L x y px y p λ=+-+-

一阶必要条件分别为：

111111*********

220L x p L y y L px y p λλλ∂=-=⎧⎪∂=-=⎨⎪∂=+--=⎩以及222222222

22210

1020

L x x p L y y L px y p λλλ∂∂=-=⎧⎪

∂∂=-=⎨⎪∂∂=+-=⎩ 再加上市场出清条件124x x +=，122y y +=，瓦尔拉斯均衡价格和配置为：

()(),1,1x

y

p p =；()()1

1

,3,1x y =，()()2

2

,1,1x y =

2．一个二人经济中有两种商品。个体1开始有30单位x 商品，个体2开始有20单位y 商品；两人的效用函数分别是：

(){}1,min ,u x y x y =，(){}122,min ,u x y x y =

试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。 解：个体1和2的效用函数表明x 和y 是互补品。将1和2的无差异曲线绘制成Edgeworth 方框如图8-1所示。

图8-1

瓦尔拉斯均衡要求预算线与无差异曲线在同一点上（相切），由图8-1可知，在任何一种非0的价格水平下，满足双方效用最大化的分配都不会导致市场出清（典型情况是x 商品的社会超额需求小于零，y 商品的社会超额需求小于零），因此也不可能达到瓦尔拉斯均衡。在这个纯交换经济当中，瓦尔拉斯均衡点只能是Edgeworth 方框的两个对角点1O 或2O ，对

应的均衡价格分别为2

0p *=或10p *=，即全部的产品无偿归某一个消费者所有。

3．在一个两种商品、两个消费者的经济中，假设社会的初始禀赋是(),x y 。消费者i 的马歇尔需求是()(),,1,2i i x p y p i =⎡⎤⎣⎦。如果两个消费者都是非局部餍足的。

（1）证明：对任何价格(),0x y p p p =≥，

()()0x i y i i i p x p x p y p y ⎡⎤⎡⎤

-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

∑∑ （2）如果在价格0p *?下x 商品市场出清，证明y 商品市场也必然同时出清。 证明：（1）设两消费者的初始禀赋分别为,y x i i ωω，1,2i =，则他们的预算约束为：x y x i y i x i y i p x p y p p ωω+=+ 1,2i =

两式相加并整理得：

()()121212120x x

y y x y p x x p y y ωωωω+--++--=

由于12x x x ωω+=，12y y y ωω+=，代入可得：()()0x i y i i

i

p x p x p y p y ⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

⎣

⎦

∑∑。

（2）由（1）的结果，当价格0p *?下x 商品市场出清，则有12x x x +=，代入得：

()0y i i p y p y *⎡⎤

-=⎢⎥⎣⎦

∑ 由于0p *?，所以12y y y +=，因此y 市场也必然同时出清。

4．考虑8.1.2节中定义的映射（8.7）：1H g Z S -→：：

()[]1max 0,1max 0.h h h h H

j j j q k z g z k z =+=

⎡⎤+⎣⎦

∑

（1）验证：z Z ∀∈，都有()1

1H

h h g z ==∑；

（2）验证()h g z 是z 的连续函数。

证明：（1）根据题意，()[][]

1

1

1

1

11

max 0,max 0,1max 0,1max 0,H H

h

h h

H H

h h h h h h H

H

h h j j j j j j q k z q k z g q k z k z ======++==

⎡⎤⎡⎤++⎣⎦

⎣⎦

∑∑∑∑

∑∑

由于1

1H

h h q ==∑，所以：

()[]1

1

11max 0,11max 0,H

h h H

h h H

h j j j k z g q k z ===+=

=⎡⎤+⎣⎦

∑∑∑

（2）因为()[][]()0

11max 0,max 0,lim z lim

z 1max 0,1max 0,h h h h h h h h H

H

j j j j j j q k z q k z g g k z k z εεεεε→→==++++==

=⎡⎤⎡⎤+++⎣⎦

⎣⎦

∑∑，

所以()h g z 是z 的连续函数。

5．假设经济中每个个体的间接效用函数都有拟线性形式：

()(),i i i v p m f p m =+

p *是一个瓦尔拉斯均衡。证明：在p *附近总需求函数()h X p 是h p 的单减函数。

证明：由Roy 等式，个体i 对商品h 的需求为：

()()()(),,i i h i ih i i i

h

v p m p f p x p v p m m p ∂∂∂=-

=-

∂∂∂

根据间接效用函数的拟凸性质，有：

()()()

220h i ih i

i

h

h

h

X p f p x p p p p ∂∂∂==-≤∂∂∂∑∑

因此，在p *附近总需求函数()h X p 是h p 的单减函数。

6．在什么情况下契约线将完全落在Edgeworth 方框的一条边上？此时是否每个帕累托配置都对应一个瓦尔拉斯均衡（适当调整初始禀赋）？你的回答是否与福利经济学第二基本定理矛盾？

解：当对于所有禀赋约束下可能的配置结果x ，消费者1的无差异曲线斜率都大于消费者2的无差异曲线斜率时，会出现角点解，即契约线将完全落在Edgeworth 方框的一条边上。