中国古代数学中的极限思想文献综述

中国古代数学中的极限思想文献综述

文献综述

中国古代数学中的极限思想

前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点)

极限是数学的一个重要概念。在数学中,如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值,那么该定值就叫做变化的量的极限。极限的思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论包括级数为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果参见文献[1]。极限思想是微积分的基本思想,数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问:“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

极限的应用及推广已涉及社会、科学及研究的很多方面。对其进行研究不仅在理论上也在实践中具有很大的意义。

主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述)

早在春秋战国时期(公元前770??前221)道家的代表人物庄子就有了极限

思想,据《庄子》“天下篇”中记载:“一尺之棰,日取其半,万事不竭”[2][3]。意思是说一尺长的木棒每天去下前一天所剩的一半,如此下去,永远也取不完。这反映了古人对极限的一种思考,它不但表达了我们祖先的极限思想,也提供了一个“无穷小量”的实际例子。这个经典论断,至今在微积分的教学中还经常使用参见文献[4]。

我国古代的极限思想与方法主要寓于求积面积、体积理论。

刘徽继承和发扬了先秦诸子关于极限的思想用“割圆术”和“阳马术”等成功地解决了求积问题。在《九章算术》的“圆田术”中给出了计算圆面积的法则:“半周半径相乘得积步。”即圆的面积S 与一个长为半周C /2,宽为半径的长方形的面积相等:参见文献[5]。

刘徽注文首先指出古率“周三径一”即π 3实际上既是圆内接正六边形的周长C与直径2R 之比,以此说明古率之粗疏。为推证圆面积公式,刘徽从圆内接正六边形开始,不断割圆,徽注曰:“又按为图,以六觚之一面乘半径,因而三之,得十二觚之幂。若又割之,次以十二觚之一面乘半径,因而六之,则得二十四觚之幂。割之弥细,所失弥少,割之又割, 以至于不可割, 则与圆合体, 而无所失矣。”[6]。西汉末年刘歆在为王莽设计制作圆形铜斛(一种量器)的过程中,发现直径为一、圆周为三的古率过于粗略,经过进一步的推算,求得圆周率的数值为。东汉著名科学家张衡推算出的圆周率值为。三国时,数学家王蕃推算出的圆周率数值为参见文献[7]。

刘徽以后,探求圆周率有成就的学者,先后有南朝时代的何承天、皮延宗等人。何承天求得的圆周率数值为;皮延宗求出圆周率值为。以上的科学家都为圆周率的研究推算做出了很大贡献参见文献[8]。

祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前人的重大成就。根据《隋书?律历志》的记载,祖冲之把一丈化为一亿忽,以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数:一个是盈数(即过剩的近似值),为 3.;一个是?数(即不足的近似值),为 3.。圆周率真值正好在盈?两数之间。祖冲之按照刘徽的割圆术之法,设了一个直径为一丈的圆,在圆内切割计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时,得到了“徽率”的数值。但他没有满足,继续切割,作了三百八十四边形、七百六十八边形??一直切割到二万四千五百七十六边形,依次求出每个内接正多边形的边长。最后求得直径为一丈的圆,它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间,上面的那些长度单位我们现在已不再通用,但换句话说:如果圆的直径为1,那么圆周小于3.、大大不到千万分之一,它们的提出,大大方便了计算和实际应用(参见文献[9])。

“割圆术”与“穷竭法”是古代东西方数学智慧的代表。对之进行比较,可以从某一侧面考察古代东西方民族思维方式的异同:思路一致,思想不同等等参见文献[10][11]。中国名、墨两家已从直观上理解了无穷小和无穷大,并且对它们有了一定程度的认识;希腊德馍克利特的“原子论”与中国这种朴素的无穷小概念类似,但他之后的希腊学着大都倾向于“无穷小,无穷大是不存在的”观点(参见文献[12])。墨家承认以下事实:一、线段是连续的,而不是间断的,否则不可能每次分割都能恰好在线段上;二、线段是无限可分的;三、这种无限分割过程最终会达到极限状态,得到一个实在的端,有实无限思想;四、暗含有些无穷级数的和存在的思想。希腊人对无限的理解却产生了疑惑,为此芝诺提出了以下四个著名悖论:(1)两分法悖论向着一个目的地运动的东西,首先必须经过这路程的一半,然而,要经过这路程的一半,又必须先经过这一半的一半,如此类推,以

至无穷。所以既然这种步步紧缩是无穷的,运动就根本没有可能。(2)阿基里斯追不上乌龟阿基里斯总是首先必须到乌龟的出发点,因而乌龟必定总是泡在前头。

(3)飞矢不动箭在运动的过程中的任一时刻必在一确定位置上因而是静止的,所以箭就不能处于运动状态。(4)操场或游行队伍悖论甲乙两件东西以等速向相反方向运动,从静止的丙来看,比如说,甲乙都在一小时内移动了2里。可是,从甲看来,则乙在一小时内就移动了4里。运动是矛盾的,所以运动是不可能的。芝诺的悖论,前两个矛头直指空间和时间无限可分,因而运动是连续的观点,后两个则是由于不能直观地看出连续和无穷集合的性质(参见文献[13])。以中国为代表的长于算法的东方数学和以希腊为代表的长于逻辑的西方数学, 是雪白梅香, 各有所长。我们知道,极限概念是微积分的最重要概念之一。数学家们如果一开始因为无穷小的概念不严格而放弃它, 那么微积分就不会诞生。当时的微积分是建立在经验观察或并不很审慎的直观的基础上的, 以在天文力学上的实用性为其后盾。这和中国学者走的道路类似。到了19 世纪, 微积分开始严格化运动, 它要求高度演绎。只有这样才便于理论自身的发展, 这又和古希腊学者走的道路一致。可见,在数学的发展过程中, 不能偏废任何一方。在古代西方, 芝诺的四个著名悖论首先触及到数学上敏感而后困惑的“无限”问题。欧多克斯的穷竭法, 阿基米德的无穷小思想都含有非常重要的微积分思想. 到16 世纪末, 由于实践的需要和对穷竭法的好奇与兴趣, 那些促使微积分产生的数学问题引起了数学家们的广泛兴趣, 他们做了大量有意义的工作, 为微积分的创立做了思想上和技术上的准备。到17 世纪, 牛顿、莱布尼茨终于在前人的基础上创立了微积分参见文献[14]。

极限思想和方法的运用,扩大了人们的思维空间,产生了许多重要的结论