第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算

定义

设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对

AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =

n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i n

i S T ∆=≤≤,又

设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,

---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,

),,2,1(n i = .

在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限

∑=→∆n

i i

i

i

T x

P 1

),(lim

ηξ∑=→∆+n

i i

i

i

T y

Q 1

),(lim

ηξ

存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为

⎰+L

dy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

也可记作

⎰⎰+L

L

dy y x Q dx y x P ),(),( 或

⎰⎰+AB

AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=

则上述记号可写成向量形式:

⎰⋅L

s d F .

(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,

),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间

有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L

),,(),,(),,(++⎰

按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 .

对二类曲线积分有 ⎰⎰

-=BA

AB

,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线

段

时

的

特例

.

可

类

似

地

考

虑

空

间

力

场

()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二类曲线积分

⎰

++AB

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.

与第一类曲线积分的区别

首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是

第二类曲线积分就是

（1）

这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的 ， 是一小段弧的弧长， 总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的 坐标的增量 ， ， 与 是可正可负的。当积分的路径反向时， 不变，而 与 反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。 设曲线的参数方程为

则第一类曲线积分的计算公式为

20

1(,)lim (,)n

i i i

l

i f x y ds s λξη→==∆∑⎰

1

(,)(,)lim (,)(,)n

i

i

i

i

i

i

l

i P x y dx Q x y dy P x Q y λ

ξηξη→=+=∆+∆∑⎰

这里要注意 ，即对t 的定积分中，下限比上限小时才有 ，也就有 ，这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿曲线上的点由A 变到B ，即t 的下限 对应曲线积分的起点A ，他的上限 对应曲线积分的起点A ，t 的上限 对应终点B 。

历年真题

1、设曲线 ， 具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M 和第四象限内的点N ， 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的选项是 (A) (B)

(C) (D)

(2007，数一，4分)

【解析】

设点 ， 的坐标分别为 ， ，则有题设可知

答案为B 。

22

22

''

'2'2()()()()ds dx dy x t dt y t dt x t dt t dt dt

σ⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦

=+

2、计算曲线积分，其中是曲线上从点

到点的一段。

(2008，数一，9分) 【解析】

3、设是柱面与平面的交线，从轴正方向往轴负方向看去为逆时针方向，则曲线积分

(2011，数一，4分) 【解析】

采用斯托克斯公式直接计算

4、已知是第一象限中从点沿圆周到点,再沿圆周

到点的曲线段，计算曲线积分

(2012，数一，10分)