平行线分三角形两边成比例和平行线分线段成比例

试问: AD BF 成立吗?为什么?
DB FC
A 等比代A 换
A
DE
E
DE
B
C
AD AE DB EC
B FC
AE BF EC FC
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B FC
AD BF DB FC
例3.已知:如图,在△ABC中,
DE∥BC,EF∥AB.
试问:
AB AD
BC DE
成立吗?
A
A
A
D 等E 线代换 E
AO AE 1 ∴
OD EF n
AE 1 ∴
EC 2n
AE 1 AC 2n 1
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可以采用“面积法”！
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议一议： (4)如果DE∥BC,
A DE
则有 AD AE
DB EC
B
C
利用比例性质还可以得到哪些比例式 成立呢?为什么?
结论: AB AC AD AE ……
DB EC AB AC
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平行线分三角形两边成比例定理:
平行于三角形一边的直线截其他两边,
所得的对应线段成比例.
请根据上述结论,猜想当
AO 1 AD n 1
时(n是
正整数), AE 的一般性结论,并说明理由.
AC
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当
AO AD
1 n 1
时(n是正整数), AE
AC
1 2n 1
并说明理由.
过点D作DF∥BE交AC于点F
A E
∵ D是BC中点
O
∴ 点F是EC中点
F
∵ AO 1
AD n 1
BD
C
∴
A DE
E
D
A
B
C
BC
基本图形有“A”和“X”型
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例1.已知:如图,在△ABC中,
A
DE∥BC,AD=4,DB=3
4x
(1)若AE=6,求EC;
3D
E 10－x
B
C
(2)若AE=8,求AC;
(3)若AC=10,求AE,EC.
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例2.已知:如图,在△ABC中,
DE∥BC,EF∥AB.
如图,AD是△ABC的中线,E是AC上任一点,BE
交AD于点O,数学小组的同学在研究这一图形
时,得到如下结论:
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(1)当 AO 1 时, AE 1 ;
E
(2)当AACEAAADOD213n21时1,
AC 3
AE 1 ;
AC 5
O
(3)当 AO 1 时, AE 1 ; B
D
C
AD 4
AC 7
DE
B
C
AB AC AD AE
B FC
AC BC AE BF
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B FC
AB AC BC AD AE DE
练习:
判断下列比例式是否正确?
DE∥BC,EF∥AB.
(1) AD DE × DB BC
(2) AE BF √
EC FC
B
(3) EF DE ×
AB BC
A DE
F
C
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练习: DE∥BC,EF∥AB.
若BF=2,FC=3,AB=7,
A
求EF的值?
7D E
?
B 2F 3 C
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自主探究
已知：如图，直线 l1 l2 l3 ，直线AC
、DF被这三条线段分别截于点A、B、C
和D、EA、B F,DE 求证：BC EF
AD
B
E
l1
你还能得到哪些
l2
比例等式？
C
F l3
段的比等于与他们 对应的另一条直线上的两条线段 的比
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三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
几何语言
A
L1//L2//L3
B
AB
DE
=
C
BC EF
D L1
E L2
F
L3
(平行线分线段成比例定理)
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平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条 直线, 所得的对应线段成比例.
可以理解为：
A
上 下
上下，全上
=
上 全
，全下
=
下 全
DE
B
C
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思考：如图，DE∥BC,以上结论还
成立吗？为什么？ D
E
若成立能得到
哪些比例式？
A
B
C
平行于三角形一边的直线截其他两
边的延长线,所得的对应线段成比例.
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平行线分三角形两边成比例
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边延长线）,所得的 对应线段成比例.
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在△ABC中 ∵ D为AB中点
DE∥BC
∴ AE=EC
AD AE 1 DB EC
A
DE
B
C
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议一议：
A
如图,DE∥BC
DE
M
N
(1)如果 那么
AD 1 ,
DB 2 1
AE EC
___2__,
B
为什么?
C
AD AE DB EC
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议一议： 如图,DE∥BC (2)如果 AD 2 , B
基本图形
平移
平移
平移
注意:用上述定理得到的比例式中,四条线段与两直 线的交点位置无关!
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思考：
在这个定理中，若
AB BC
1
,则
DE EF
=__1__
即：当AB=BC，则有_D_E__=__E_F_
A
D
l1
B
E
l2
C
F
l3
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线
所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那 么在另一条上截得的线段也相等。
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如图，将AC,DF平移， 上述结论还成立吗？
为什么？
AD EB
l1 l2
F
C l3
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平行线分线段成比例定理：
两条直线被三条平行线所截，截得的对 应线段成比例。
“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段
与另一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线段。
“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条线
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例. 已知：如图，三角形ABC中，
AD平分∠BAC交BC于点D。
AB
求证：AC
BD DC
基本方法：作平行线构造线段成比例
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三角形内角平分线定理： 三角形的内角平分线分对边所得的两条线
段与这个角的两边对应成比例
几何语言：
AB BD AC DC
E A
B
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DC
议一议:
DB 5
A DE
C
是否也有 AD AE 呢?为什么?
DB EC
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议一议：
(3)如图,DE∥BC ,
那么 AD AE 是否
DB EC
B
还成立呢?为什么?
A DE
C
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探究：
已知：如图，过△ABC的AB上任意一 点D作直线DE平行于BC交AC于点E。
AD AE 求证：DB EC