两个平面垂直判定定理及性质定理

知识回顾

1.两个平面的位置关系： ，

2.两平面平行的判定定理：

用符号语言描述：

3.两平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时和第三个平面相交，那么所

得的交线平行.

即：若b a b a //,,,//则==γβγαβα

4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平

面.

即：若βαα//,⊥a ，则β⊥a

5.两个平行平面的公垂线： 两个平行平面之间的距离： 练习

1．下列说法正确的是（ ）.

A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行

B. 平行于同一平面的两条直线平行

C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行

D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行

2．下列说法正确的是（ ）.

A. 垂直于同一条直线的两条直线平行

B. 平行于同一个平面的两条直线

平行

C. 平行于同一条直线的两个平面平行

D. 平行于同一个平面的两个平面

平行

3．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.

A. α、β都平行于直线l

B. α内存在不共线的三点到β的距离相等

C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β

D. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β

4．已知a b c 、、是三条不重合直线，αβγ、、是三个不重合的平面，下列说法

中：

⑴//,////a c b c a b ⇒； ⑵//,////a b a b γγ⇒； ⑶//,////c c αβαβ⇒；

⑷//,////γαβαγβ⇒； ⑸//,////a c c a αα⇒； ⑹//,////a a γαγα⇒.

其中正确的说是 .

学习新知

1.半平面：

2.二面角：

如图所示：棱为 ，面为βα，的二面角，

记作二面角

也可以记作为

3.二面角的平面角：

二面角的大小范围是：

平面角是直角的二面角叫做直二面角

一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直.

平面与平面垂直的判定定理： 用符号表示为：

平面与平面垂直的判定定理：

已知：为垂足（所图所示），B l AB AB l ,,,⊥⊂=⊥αβαβα

求证：β⊥AB

课堂练习

1．已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）

A.1对

B.2对

C.3对

D.5对

2．下列命题中错误的是（ ）

A.若//,,m n n m βα⊥⊂，则αβ⊥

B.若α⊥β，a ⊂α，则a ⊥β

C.若α⊥γ，β⊥γ，l α

β=，则l ⊥γ

D.若α⊥β，a

β=AB ，a //α，a ⊥AB ，则a ⊥β

3．已知a ，b 是直线，α，β，γ是平面. 给出下列命题：①a ∥α，a ∥β，α∩β=b ，则a ∥b ；②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④α∥β，

β∥γ，a ⊥α，则a ⊥γ.其中错误命题的序号是（ ）

A.①

B.②

C.③

D.④

4．下列四个命题中错误的一个是 （ ）

A.空间存在不共面的四个点A 、B 、C 、D ，如果AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，则AC ⊥BD ；

B.若l ⊥β，且l ⊥α，则α⊥β；

C.若α，β，γ是三个不同的平面，a 表示直线，如果α∩β=a,α⊥γ,β⊥γ，则a ⊥γ；

D.与两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线

5．关于直线l ，m ，n 以及平面βα,，下列命题中正确的是 （ ）

A.若n m n m //,//,//则αα

B.若αα⊥⊥n m n m 则,,//

C.若ααα⊥⊥⊥⊂⊂l n l m l n m 则且,,,,

D.若βαβα⊥⊥则,//,m m

6．如图，已知矩形ABCD 中，AB =1，BC =a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一点Q 满足PQ ⊥DQ ，则a 的值等于

二、填空题（本大题共2小题，共0分）

7．对四面体ABCD ，给出下列四个命题：

①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD

③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD

其中真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）

8． 如图，三棱锥ABC P -中，⊥PB 底面ABC ，︒=∠90BCA ，CA BC PB ==，E 为PC 的中点，指出图中有哪四对互相垂直的平面.

三、解答题

9．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，

E

是PC 的中点。求证：（1）PA ∥平面BDE （2）平面PAC ⊥平面BDE

10．如图，在空间四边形ABCD中，DA⊥平面ABC，∠ABC=90︒，AE⊥CD，AF⊥DB.求证：(1)EF⊥DC；(2)平面DBC⊥平面AEF.

11．S是△ABC所在平面外一点，SA=SB=SC，∠ASC=90︒，∠ASB=∠BSC=60︒，

求证：平面ASC⊥平面ABC.