理论力学课件 摩擦

Fy = 0
N-P=0
mA(Fi) = 0 m - Qr = 0
m=Qr
P
c
rQ
A
m
Fs
N
29
(2) 产生滚阻力偶的原因
滚子与支承面实际上 不是刚体,在压力作用下 它们都会发生微小变形.
P Q
o
A
P Q
o A B Fs
设反作用力的合力为R并作用于B点, 滚子在力P , Q与R作用下处于平衡状态.
将力 R 沿水平与竖直两个方向分解, 则水平分力即为摩擦力Fs.
e
NR
竖直分力即为法向约束力N.
由于物体变形力N向前偏移一微小距离e.
30
将力Fs与N向A点简化,得到作用于A 点的力 N与F.另外还得到一附加力偶. 其力偶矩为m = N e .即阻止滚子滚动 的滚阻力偶.
P Q
o
m
Fs A
N
(3) 滚动摩阻定律 mA(Fi) = 0 m - Qr = 0 0 m mmax

f
FR
7
如果物体所受的主动力合 力 S 的作用线在摩擦锥之内, 即 < f时,则无论主动力多 大,它总是与FR相平衡,因而 物体将保持不动.
主动力合力的作用线在 摩擦锥的范围内,物体依靠 摩擦总能静止而与主动力 大小无关的现象,称为自锁.
S
f
FR
8
S
如果物体所受的主
动力合力 S 的作用线
受力图中摩擦力的指向和改变 F 前的符号即可.
18
CD
N1 F1 W F2 N2 O
N

2sin
W f
cos

A
mO(Fi) = 0
N1 r ctg Pmmaixnd ctg
F1 P1 N1 C
O
FAx
FAy
19
Pm a x

2dsin
Wr f
cos
(4)当物体尚未达到临界状态时,摩擦力的方向可 以假定.当物体达到临界状态时,摩擦力的方向与相 对滑动趋势的方向相反,而不能假定.
11
例题: 将重量为G的物块放在斜面上。已知物块与斜面的 静摩擦系数为fs,且斜面的倾角α>m。若用一水平力F使物 体平衡，求该力所可能有的最大值和最小值。
G
G
Fmin
P sin R FTmin R M1max 0
Fy 0 FN1 P cos 0
又 M1max FN1
联立解得 FTmin

P(sin


R
cos
)
（2）设圆柱 O有向上滚动趋势，取圆柱 O
M A 0
P sin R FTmax R M 2max 0
讨论:(1)若m = 0,则 xmin = l cos .工人只能站在梯子 的底端.
(2)当 (90o - m)时, 则 xmin = 0 .工人可安全地 站在梯子的顶端.
24
例: 重W的方块放在水平面上, 并有一水平力P作用 . 设方块底 面的长度为b,P与底面的距离为 a , 接触面间的摩擦系数为 f , 问 当 P逐渐增大时,方块先行滑动 还是先行翻倒.
(2)
(3)
fs =tg m
(4)
平面汇交力系 联立以上四式，可得： Fmin=Gtg(α- m)
13
2、上滑的临界状态： 对物块进行受力分析：
建立图示坐标系, 列平衡方程：
y
x
Fx = 0
Fmax α G
-Ffmax + Fmax cos α - Gsin α =0 (1) α
Fy= 0
2dsin
Wr f
cos


P

2dsin
Wr f
cos

用摩擦角表示得:
Wr cos
dsin

P

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Wr cos
dsin
当角 等于或小于时,无论P多大,圆柱不会向上滑 动而产生自锁现象.
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例: 在维修某房屋时重W的工 人登上长为 l 倾角为的梯子 AB . 梯子的下端A搁在水平地 上,上端B靠在铅直墙上.设地 面和墙与梯子间的摩擦角分 别为 (m)A和 (m)B . 求梯子不 致下滑时工人所能登上的最 大高度xmin.
cos
)R
34
例: 在搬运重物时下面常垫以滚木,如图所示.设重 物重W,滚木重W’半径为 r.滚木与重物间的滚阻系
数为,与地面间的滚阻系数为’.求即将拉动时水
平力P的大小.
P
W'
W'
O1
W
O2
35
W'
O1 F1
W
P
W'
O2 F2
N1
N2
解:取整体为研究对象画受力图.
Fx= 0
P - F1 - F2 = 0
Fs
N
Fs= Q
3
静摩擦力的大小由平衡条件确定,并随主动力的变化而变 化,方向与物体相对滑动趋势的方向相反.
2.静滑动摩擦定律
当力Q增加到某个数值QK时,物体处于将滑动未动的临界 状态.此时静摩擦力达到最大值Fm ,称为最大静摩擦力.
Fm = fs N
f s----- 静摩擦因数
3.动滑动摩擦定律
x
xmin
F
RB C
B (m)B D
E
RA (m)A
W A
22
BAC = 90 - - (m)A
BCA = CFA + (m)A = 90 - (m)B + (m)A
x
xmin
F
RB C
B (m)B D
E
由正弦定理得:
BC

l
sin 900 m A sin 900 m B m A
O
重量,求平衡时P的范围.
( 分析：P小，下滑；
P大，上滑.)
16
解:(1)求P的极小值
设圆柱处于下滑临界状态,画受力图. 由对称性得:
N1 = N2 = N Fy = 0
F1 = F2 = F
CD
N1 F1 W F2 N2 O
2Fcos + 2Nsin - W=0
(1)
F=f N
(2)
联立(1)和(2)式得:
W P
a
b
25
假定方块处于滑动临界平衡状 态画受力图.
Fy = 0 N - W = 0
Fx = 0 P - Fm = 0 Fm=f N
即 P滑 = Fm=f N = f W
W
P a
Fm A C
N
26
假定方块处于翻倒临界平衡状态, 画受力图.
MA(Fi) = 0 W b Pa 0
2
P翻
N

2sin

W f
cos

17
取OA板为研究对象画受力图.此时的 水平力有极小值Pmin
mO(Fi) = 0
A
F1 P1 N1
C
N1 r ctg Pmind ctg
Pm in

2dsin
Wr f
cos


Fx O
Fy
(2)求P的极大值
当P达到极大值时,圆柱处于上滑临界状态.只要改变
(1)
Fy= 0
- W - 2W' + N1 + N2 = 0
5
如果改变水平力QK的作用 线方向, 则Fm及FRm的方向 也将随之作相应的改变; 若 QK在水平面转过一圈, 则全 约束力FRm的作用线将在空 间画出一个锥面,称为摩擦 锥.
O
f
全约束力与接触面法线所形成的夹角不会大 于f ,即FR作用线不可能超出摩擦锥.即： 静止时， ‹ f
6
如果物体所受的 主动力合力 S (G,Q S 的合力）的作用线 在摩擦锥之外,即 > f时,则全约束力FR 就不可能与S共线. 此时两力不符合二 力平衡条件,物体将 发生滑动.
RA (m)A
W A
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得:
BC l cos m A
cosm
B

m
A

xmin

BC cosm
B

l
cos m Acosm cosm B m A
B
若(m)A = (m)B = m xmin = l cos( +m) cosm
Ffmax
FN
FN - Fmax sin α - Gcos α =0 (2)
G
Ffmax = fs FN fs =tg m
(3)
F
(4)
α
14
y
y
x
x
αG
Fmin
α
FN Ffmax
Fmax α G
α
Ffmax
FN
联立以上四式，可得： Fmax=Gtg(α+ m) 综合以上两种情况，为使物块平衡，则力F应满足：
mmax = N
P Q
o
F A

N
滚阻力偶矩的最大值与法向反力成正比.
- 滚阻系数。
31
例4-5 已知：P , R , , ；
求： 保持系统平衡时，力偶矩 M B ； ( 分析：绳拉力小，向下滚动； 绳拉力大，向上滚动.)
32
解：（1）设圆柱 O有向下滚动趋势，取圆柱 O
M A 0
(1)摩擦力的大小可由平衡条件确定,同时应与最大 摩擦力比较.若F Fm ,则物体平衡;否则物体不平衡.
(2)在滑动临界状态下,最大静摩擦力 Fm = fs N (3)由于静止时:0 Fs Fm ,所求未知条件为一平衡范围.一 般设物体处于滑动临界状态，Fm=SN,求出未知条件的极值 ，再分析定出所求的范围.
2.滚动摩擦:一个物体在另一个物体上滚动时的 摩擦.
2
二.滑动摩擦
当两个相互接触的物体有相对滑动或有相对滑
动趋势时, 彼此间存在着阻碍滑动的机械作用, 这 种机械作用称为滑动摩擦力
1.静滑动摩擦力
重量为G的物体放在粗糙的
G
A
Q
固定水平面上,受到一个水平拉力Q的作用
G
当 0 Q QK时
A
Q Fx = 0 Q - Fs = 0
x
xmin
F
RB C
B (m)B D
E
RA (m)A
W A
21
解:取梯子为研究对象画受力图.
要使梯子不向下滑动, A和 B 两处的全约束力RA 和RB的作用线各应分别位于角 (m)A和(m)B角之 内,其共同范围为CDEF内.而且 根据三力平衡原 理,重力W的作用线必须通过RA 和RB的交点C. C点所对应的x为最小值.
F
α
α
FN
解：1、下滑的临界状态： 对物块进行受力分析：
( 分析：F小，下滑；
F大，上滑.)
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建立图示坐标系：
y
x
列平衡方程：
Fx = 0
αG
Fmin
α
Ffmax + Fmin cos α - Gsin α =0 (1)
FN
Fy= 0
FN - Fmin sin α - Gcos α =0
Ffmax = fs FN
Fy 0 FN 2 P cos 0 又 M 2max FN 2
(b)
(c)
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联立解得
FTmax

P(sin


R
cos
)
（3）由轮B受力图
mB(Fi) = 0
FT '
FT R M B 0
系统平衡时RP(sin


R
cos
)

MB

P(sin


R
G
A
Q
Fm
N
F´ = f N
f ----- 动摩擦因数
4
4.摩擦角与自锁现象
法向约束力N和静摩擦 Q 力Fs的合力FR称为支承面 对物体作用的全约束力.
摩擦角 f 是静摩擦力 达到最大值时,全约束力 QK 与支承面法线的夹角.
G
Fs

N
FR
G
f
N
Fm FRm
0 f tg f fs
Fmin<F< Fmax
即： Gtg(α- m) < F < Gtg(α+ m)
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例: 在用铰链 O 固定的木板 AO
和 BO间放一重 W的匀质圆柱, A
并用大小等于P的两个水平力P1
2d
P1 P2
B
W
与 P2维持平衡,如图所示. 设圆
CD
柱与木板间的摩擦系数为 f , 不
2
计铰链中的摩擦力以及木 板的

在锥面上,即 = f ,则
f
物体处于滑动临界状
态.
FR
9
例：测定摩擦系数s
G
解：主动力合力与法线夹角等于 斜面倾角
f R
当f时，静止；
当=f时，滑动临界平衡，测出m
当f时，滑动.
则s=tanm
10
三.考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦的平衡问题的解题 原则与不考虑摩擦的 平衡问题基本相似,但应注意以下几点:
第四章 摩擦
1.摩擦现象 2.滑动摩擦 3.考虑滑动摩擦时物体的平衡问题 4.滚动摩阻的概念
1
一.摩擦现象
摩擦是机械运动中一种普遍的现象.摩擦 现象广泛地存在于日常生活中. 1.滑动摩擦:两个物体接触面作相对滑动或具有
相对滑动趋势时的摩擦. 动滑动摩擦----具有相对滑动. 静滑动摩擦----具有相对滑动趋势.
Wb 2a
W
P a FA b
N
27
讨论:比较 Wb/2a 与 f W 可知
(1)如果 f W > Wb/2a ,即 f > b/2a , 则方块 先翻倒.（Wb/2a为将要翻倒时所需P力） （W为将要滑动时所需P力. ）
(2)如果 f W < Wb/2a ,即 f < b/2a , 则方块 先滑动.
(3)如果 f W = Wb/2a ,即 f = b/2a , 则滑动 与翻倒将同时发生.
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四.滚动摩阻的概念 (1) 滚阻力偶和滚阻力偶矩
P
c
rQ A
设一半径为r的滚子静止地放在水平 面上,滚子重为P.在滚子的中心作用 一较小的水平力Q.
取滚子为研究对象画受力图.
Fx = 0
Q - Fs = 0