非线性方程的数值解法习题解答

第六章非线性方程的数值解法习题解答

填空题：

1. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 Ans:1()1()n n n n n x f x x x f x +-=-

'-

2.求解方程

在(1, 2)内根的下列迭代法中，

(1)

(2)

(3)

(4)

收敛的迭代法是（A ）.

A ．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)

3.若0)()(

4．用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 . （答案[,1]， [,]）

计算题：

1、已知方程3210x x --=在 1.5x =附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式： ①2

1

1x x

=+

；②321x x =+11x x =- 试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。

解：①令121()1x x ϕ=+

，则'132()x x ϕ=-，'

13

2(1.5)0.592611.5ϕ=≈<，故迭代收敛； ②令3

2

2()1x x ϕ=+2'

2

32

2()(1)3

x x x ϕ-=+，'2

(1.5)0.45581ϕ≈<，故迭代收敛； ③令31()1x x ϕ=

-'

33()2(1)

x x ϕ=-，'3

(1.5) 1.41421ϕ≈>，故迭代发散。 以上三中以第二种迭代格式较好。

2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =L 产生的迭代序列{}0k k x ∞

=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当2

0M

λ<<

时，均收敛于方程的根。

证明：设()()x x f x ϕλ=-，则''()1()x f x ϕλ=-，故'1()1M x m λϕλ-<<-，进而可知， 当2

0M

λ<<

时，'1()1x ϕ-<<，即'()1x ϕ<，从而由压缩映像定理可知结论成立。 3、试分别用Newton 法和割线法求以下方程的根

cos 0x x -= 取初值010.5,4

x x π

==

，比较计算结果。

解：Newton 法：1230.75522242,=0.73914166,=0.73908513x x x =；

割线法：23450.73638414,=0.73905814,=0.73908515,=0.73908513x x x x =； 比较可知Newton 法比割线法收敛速度稍快。

4. 已知一元方程02.133

=--x x 。

1）求方程的一个含正根的区间；

2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)； 3）给出在有根区间的Newton 迭代法公式。

解：（1）08.1)2(,02.1)0(>=<-=f f 又内有一个正根连续故在)2,0()(x f

(2)

收敛

313

2)2,0(3

2

3

2.13,12

.11)(max ,)2.13()(,2.13+=∴<≤

''+=''+=+∈-n n x x x x x x x x φφ(3)3

32

.13,33)(2

31

2

----=-='+n n n n x x x x x x x f 5、用二分法求方程3

()1f x x x =--在区间[1,1.5]内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。 解：6次；*

1.32x ≈。

6．为求方程010 1.5x x x --==在 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。

4） 2

1

1,x x =+迭代公式2111;k k

x x +=+ 5） 1,x x =+

迭代公式1k x +=

6） 2

1

,1

x x =

-迭代公式1k x +=

试分析每种迭代公式的收敛性。

解： 1.4 1.410.2160 1.5 1.510.1250--=-<--=>Q ∴

为有根区间。

22'33

2

122

1)11/()11/()0.7311.411/k k x x x x x x x x ϕϕ+=+=+=-

≤≈<∴=+迭代公式收敛。

2

2

32

'

2

33112 1.52)1()()12/(1 1.0)0.631

33k x x

x x x x x ϕϕ+⨯=+==+⨯≤+≈<∴=－（）迭代公式3

32

2'2

11

1(1.51)

3)()()(1)

1.41

12

2

k x x x x x x ϕϕ--+-=

==--≥

≈>-∴=

迭代公式

7、已知x x ϕ=在区间a b 内只有一根，而当<<时，'()1,x k ϕ≥>试问如

何将x x ϕ=化为适于迭代的形式？

将=化为适于迭代的形式，并求x =

（弧度）附近的

根。

1'''1''11111

(())()1

()1 (()) 1.

()

()()

()(0,1,) [4.k k k k

x x x k x x x x x x x x k x tgx

x arctgx

x arctgx ϕϕϕϕϕϕϕϕππ--++=

≥>=<=⇒=⇒

===⇒

=+⇒

=+L －－解：由反函数微分法则有 故当时，有将则迭代法是收敛的。

对 用搜索法知在(5)045,4.50] 4.45 4.49341x x ==内有根，取迭代，。

8、能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。 （1）x x x

=

+

（2）x

x =-