数值计算方法第二章方程的近似解法

设在区间[a,b]上方程有一个根，则称该区间为 方程的一个有根区间。若在区间[a,b]上方程只有一
个根，则称该区间为方程隔根区间。
Remark：若能把隔根区间不断缩小，则可以得出根的 近似值。
三、根的隔离
基于函数f(x)的连续性质，常用的根的隔离的方
法有：描图法与逐步搜索法。
1、描图法：画出y=f(x)的简图，从曲线与x轴交点
1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]，
b1=x1, a1=a;
（2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。
公式(2)
1.5 2.375 12.3965 1904.01 6.90244 3.28857 3.55651 4.49856 inf
公式(3)
1.5 1.29099 1.33214 1.32313 1.32506 1.32464 1.32473 1.32471 1.32471
公式(4)
1.5 1.9375 4.10535 36.1482 23634.7 6.60124 1.43829 1.4877 inf
间。必要时可调整步长h，总可把隔根区间全部找出。
3、根据函数单调性判断
§2.1 二分法（对分法）
一、算法
设 f ( x ) 在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0且在[a,b]内 f(x)=0仅有一个实根 x*。二分法的基本思想是：
逐步将有根区间分半，通过判别函数值的符号， 进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小， 从而求出满足给定精度的根 x* 的近似值。 执行步骤：
需要一定精度的近似解！
二、概念
设 f ( x ) 是连续函数,如果有 x* 使 f ( x * ) 0 ，则称 x* 为方程 f ( x ) 0 的根，或称为函数 f ( x ) 的零点；如果有
f ( x ) ( x x * ) m g ( x ) ，且 g ( x) 在x* 邻域内连续，g ( x * ) 0 ， m 为正整数，则称 x*为方程 f ( x ) 0 的 m 重根。当 m 1 时，称 x*为方程的单根。
估计：
xk
x*
1 2k
(b a)
(k 1, 2, )
三、收敛准则
1.事先误差估计：
利用误差估计定理，令
得
k ln(b a) ln
ln 2
xk
x*
1 2k
(b a)
从而得到对分次数k，取xk作为根得近似值 x*。
2.事后误差估计：
给定ε，每步检查
xk
x*
1 2k
(b a)
，
若成立，则取 x* xk ，否则继续对分。
结束
k=K+1
§2.2 迭代法
一、迭代法 1.基本思想：
令方程 f ( x ) 0 ,将其变成一个等价的方程 x ( x ) ,构造 x k 1 ( x k ), k 0 ,1, ,{xk } 称为迭代数列，
( x ) 称为迭代函数, x k 1 ( x k ) 称为迭代公式
或迭代过程。
上面的结果表明，不同的等价变形构造出来 的迭代格式，有的收敛，有的不收敛。
的位置确定出隔根区间，或者将方程等价变形为
g1(x)=g2(x)，画出函数y= g1(x)和y=g2(x)的简图，
从两条曲线交点的横坐标的位置确定隔根区间。
2、逐步搜索法：先确定方程f(x)=0的所有实根所在
区间[a,b]，再按照选定的步长 h b a（n为正整 n
数），取点xk=a+kh(k=0,1,…,n)，逐步计算函数值 f(xk)，依据函数值异号以及实根的个数确定隔根区
例
试为方程 其在1.5附近的根。
建立迭代公式，并求
解 利用方程的等价变形建立如下4种迭代公式
(1)
(2)
(3)
(4)
取初值
计算结果如下：
公式(1)
0 1.5 1 1.3572 2 1.33086 3 1.32588 4 1.32493 5 1.32476 6 1.32472 7 1.32471 8 1.32471
第二章 方程的近似解法
§2.0 §2.1 §2.2 §2.3
引言 二分法（对分法） 简单迭代法 Newton迭代法及其变形
§2.1 引言
一、问题
求解非线性方程 f(x)=0
例如:1)多项式方程：
p n ( x ) a n x n a n1x n1 a1x a0 0
2)超越方程: 2 c o s x e x 0 困难：方程的解难以用公式表达。
当 ( x ) 连续时，如果有
，对迭代公式两端
取极限则有 x * ( x * ) 或f ( x * ) 0 。
即序列{xk }的极限 x* 为 f ( x ) 0 的根。
因此，我们可以通过求迭代数列的极限的方法来 求得方程f(x)=0的根，该方法称为简单迭代法。
k 10183922186945
4. 反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：
(a, b), (a1, b1), …, (ak, bk), …
当 bk1 ak1 时
则
x k 1
1 2
(ak
bk ) 即为方程的近似根
二、误差估计
定理2.1：给定方程 f(x)=0，设 f(x)在区间 [a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则由二分法产 生的序列{xk}收敛于方程的根x*，且具有x*
xk
xk 1
=
1 2k
(b
a)
，
故也可以用 xk xk 1 来控制误差。（最常用）
Remark2：也可以使用 f ( xk ) 来控制误差。
Remark3：二分法的优点是方法及相应的程序均
简单，且对f(x)性质要求不高，只要连续即可。 但二分法不能用于求复数根和偶数重根，且收 敛速度比较慢。因此，一般常用该方法求根的
初始近似值，然后再用其它的求根方法精确化。
算法(二分法)
定义f (x)
输入 a , b ,
k=0
否
m=(a+b)/2
否
f(a)f(m)>0 否 b=m
|a-b|< 是
a=m
f (a) f (b)>0 否
f (a) f (b)=0
是 打印m, k
结束
是
是
f (a) =0 否
打印b, k
是 打印a, k