天一专升本高数知识点.docx

第一讲函数、极限、连续

1、 基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。

2、 函数的性质，奇偶性、有界性

奇函数：f (-X

)= -f (X),图像关于原点对称。

偶函数：f(-x) = f (X),图像关于y 轴对称 3、 无穷小量、无穷大量、阶的比较 设

α, β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则

(1)若Iim - = 0 ,贝y α是比β高阶的无穷小量。

β

α

(2)若Iim-=C (不为0),贝y α与β是同阶无穷小量 β

・ α

特别地，若Iim 1,则α与

β是等价无穷小量

β α

(3

)若Iim

,则α与

β是低阶无穷小量

β

记忆方法：看谁趋向于 0的速度快，谁就趋向于 0的本领高。

4、两个重要极限

..SinX

X d

(1)

Iim

Iim 1

XQ X X >0

sin X

..Sin

Sin ∣ I C

I i m O I i m o

，

1

I im O (I l )TLe

使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

m - n

O

-

a

- b

Z

r I

X -

X

H X

使用方法：拼凑

定保证拼凑Sin 后面和分母保持一致

(2)

Iim

X T ：

1+4

.X J

P n X的最高次幕是n,Q m X的最高次幕是m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。n = m,以相同的比例趋向于无穷大; 度趋向于无穷大。

7、左右极限

Iim f (X)=Iim f (X) = A

X_ .X)…X)I X)

注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。

8连续、间断

连续的定义：Iim 诃=Iim D l f (x0：x) - f (X O^ - 0

或Iim f (χ) = f (X0)

X r X)

间断：使得连续定义Iim f (x) = f (x0)无法成立的三种情况

f (X o)不存在，f (X o)无意义

∖Iim f (x)不存在

x r x o

I Iim f (X)式f(X o)

L x—s x o

9、间断点类型

Iim f (x)、Iim f(x)至少有一个不存在

X)X)…X=X)

Iim f(x)、Iim f(x)都存在

X JX^^ X JXo

可去间断点:Iim f(x) = lim f(x)

X 》X0 一X JX O

跳跃间断点：Iim f(x)= Iim f (x)

L x→⅞ —I Xo

注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是"第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”

io、闭区间上连续函数的性质

(1) 最值定理：如果f(x)在l a,b 1上连续，则f(x)在l a,b上必有最大值最小值。

(2) •零点定理：如果f(x)在l a,b 1上连续，且f(a) f (b) ： o ,贝y f (x)在a,b 内至少存在一点

n ：：：m ,分母以更快的速度趋向于无穷大; n ∙m ,分子以更快的速左极限: Iim f (X) = A

X r XO -

右极限: Iim f (X) = A

X=X o

Iim f (x) = A充分必要条件是

X 庐0

记忆方法：1右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等

X >X)

(1 )、第二类间断点:

(2)、第一类间断点:

第三讲

中值定理及导数的应用

1、罗尔定理

如果函数 目=f

(X )满足：(1)在闭区间l a, b 上连续；(2)在开区间(a,b )内可导；(3) f(a) = f(b),

2、拉格朗日定理 如果 ^f(X) 满足(1)在闭区间l a,b 上连续

(2)在开区间(a,b )内可导；

f (b) - f (a)

则在(a,b)内至少存在一点

，使得f ()=

b — a

(*)推论1 :如果函数 ^f(X) 在闭区间 ⅛,b 】上连续，在开区间(a,b )内可导，且 f (X) 0， 那么

在(a, b)内f (X )=C 恒为常数。

记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为

O o

(*)推论2 :如果f(x),g(x)在l a,b 】上连续，在开区间

(a,b)内可导，且f(x)=g(x),χ∙ (a,b),

3、驻点

则在(a,b)内至少存在一点

，使得f ( ) = O

记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等

满足f (x) = 0的点，称为函数f (x)的驻点。 几何意义：切线斜率为 O 的点，过此点切线为水平线 4、极值的概念

设f (X)在点X 0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点 f ( X)的极小值，X 0称为极小值点。

记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 5、拐点的概念

连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。

6、

设f (x)在(a,b)内可导，如果f (x)

0 ,则f (x)在(a,b)内单调增加;

如果f (x) ： 0,则f (x)在(a, b)内单调减少。

记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，

f (X) 0 ； 在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，

f (X )< 0 ；

7、取得极值的必要条件

可导函数f (X)在点x 0处取得极值的必要条件是 f (x 0) = 0 8取得极值的充分条件

第一充分条件：

设f (X)在点X O 的某空心邻域内可导，且

f (X)在X O 处连续，则

设f (X)在点X O 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点 f

(x)的极大值，X o 称为极大值点。

X,有 f(x)

：： f (X O

),则称 f (X O

)为函数

X,有f(x) f (X 0),则称f (X 0)为函数