最全的圆锥曲线轨迹方程求法

圆锥曲线轨迹方程的解法

目录

一题多解 (2)

一.直接法 (3)

二_相关点法 (6)

三•_几何法 (10)

四. _参数法 (12)

五. _交轨法 (14)

六•定义法 (16)

亠题多解

设圆C ： (x - 1) 2+y 2

=1,过原点0作圆的任意弦0Q 求所对弦的中点P 的轨 迹方程。 •直接法

设P (x,y ), 0C 是圆C 的一条弦，P 是0Q 的中点，贝U CP10Q x 电 设0C 中 点为 M( 1,0),则 | Mp= l|Oq= 1，得(x — 1) 2+y 2=l (x 和)，即点 P 的轨迹

2 2 2 2 4

方程是(x — 1

) 2+y 2=l_ (0 v x w |)。

2 4 二•定义法

1

丄！OPC90°丄动点P 在以M( —,0)为圆心，OC 为直径的圆(除去原点0

2

上, | 0(^1，故P 点的轨迹方程为(x —丄)2+y 2=- (0 v x<1)

2 4

三•相关点法

设 P (x,y ) , qx —,y —)，其中 x —旳， 2 2 ±x i =2x,y —=2y,而(x —— 1) +y =1

2 2

丄(2x — 1) +2y =1,又 X 1 电

1 2 2 1

J^x 电即(x — 1) +y =1 (0 v x <1)

2 4

四.参数法

①设动弦PQ 的方程为y=kx ，代入圆的方程(x — 1) 2+kx 2=1,

2

即(1+k 2) x 2 — 2x=0, ±x 1 X 2 — .

1 k 2

消去 k 得(x — 1) 2+y 2=1

(0 v x <1)

2 4 ②另解 设 0点(1+cos Q sin B),其中 cos 0^— 1, P(x,y ),

1 cos sin 1、

2 2 1

设点

P ( x,y )，则x 宁 1 1 k 2

(0,1], y kx k 1 k 2

则x (0,1], y , Y 消去0得(x —-) +y=—(0 v x <1)

4

一•直接法

课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标(x, y)后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x、y的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。

例题1

等腰三角形的定点为A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程。

练习一

1.已知点A( 2,0)、B(3,0)，动点P(x, y)满足PA PB x2。求点P的轨

迹方程。

2.线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB 中点P的轨迹方程？

3.动点

P( x,y )

到两定点

A 3, 0)

和B(3,0)

的距离的

比等于

2(即:P A

2 ) |pq 求动点p的轨迹方程？

4.动点P到一高为h的等边△ABC两顶点A B的距离的平方和等于它到顶点C的距离平方，求点P的轨迹？

* 5.点P与一定点F(2,0)的距离和它到一定直线x 8的距离的比是1: 2 求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

丄7.已知P(4,0)是圆x2 y2 36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足L APB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。

8.过原点作直线I和抛物线y x2 4x 6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

二.相关点法

利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。

例题2

已知一条长为6的线段两端点A、B分别在X、丫轴上滑动，点M在线段AB 上，且AM : MB=1 : 2，求动点M的轨迹方程。

练习二

y2 3 4 1上运动，求点M(2x, y o)的轨迹方程。

1.已知点P(x。，y。)在圆x2

3.设F(1,0) , M点在x轴上，P点在y轴上，且MN 2MP , PM丄PF , 当点P在y轴

2

2.设P为双曲线—y2 1上一动点,

4

点。求点M的轨迹方程。

上运动时，求点N的轨迹方程。

4.已知△ABC勺顶点B( 3,8)，C( 1, 6)，顶点A在曲线y2 4x上运动, 求厶ABC重心G的轨迹方程。

5.已知A、B、D三点不在同一条直线上，且 A( 2,0)、B(2, 0)，AD 2，

1

AE -(AB AD)，求E点的轨迹方程。

6. △ABC勺三边AB BG CA的长成等比数列，且AB AC，点B C

坐标分别为(1,0) > (1,0)，求定点A的轨迹方程。

7.已知点A( 2,0)，P是圆O: x2 y2 4上任意一点，P在x轴上的射影为Q，QP 2QG，动点G的轨迹为C,求轨迹C的方程。

X2 8.已知椭圆一

4

2

9 1上任意一点P由点P向X轴作垂线段PQ垂足为Q，

点M在PQ上，且PM 2MQ，点M的轨迹为C,求曲线C的方程。

9.如图，从双曲线C : x2 y2 1上一点Q引直线l:x y 2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。

10.已知双曲线x2 y2 2的左、右焦点分别为F i、F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A、B两点。

（I ）若动点M满足F1M F1A F1B F1O （其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程;

（II ）在x轴上是否存在定点C,使CA CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。