第二章函数的极限

问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
x M 表示x 的过程.
1 观察函数 y 1 当 x 时的变化趋势. x
任意给定 0，当 | x |
1

时，恒有 | y 1||
1 | x
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 ( 不论它多么小)，总 存在着正数 M ,使得对于适合不等式 x M 的一切 x,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A , 那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
观察函数 y 1 1 当 x 时的变化趋势. x
当 | x | 无限地增大的时候，y无限地接近1。
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A？
通过上面演示实验的观察:
当 | x | 无限增大时, y 无限接近于 1.
2 x 1 f1 ( x1.99 ) 1.9
0.Leabharlann Baidu9
1.01 1.1 2.01 2.1
1.5 2.5
f2(x) 1.5
x 1
当自变量x趋向于定点 x0 1时，函数 f 2 ( x) 趋向于常数2.
不难发现，f1 ( x)在x0 1处没有定义. f 2 ( x)在x0 1 处有定义.而当x趋于 x0 1 时， f1 ( x)与f 2 ( x) 有相同的 变化趋势.通常称当 x 1时，f1 ( x)与f 2 ( x) 存在极限. 且极限值均为2.
只须 x loga ,
y
取X | loga | 0,
则当x X时, 有 | a x 0 |
故 lim a x 0.
x
y=ax
1 y
x x 0 x x
例
x2 1. 用定义验证 lim x x 2 1
证：对于任意给定的正数，欲使 x2 1 1 1 | , | x2 1 x2 1 x2 1 1 只需x 2 ，即 | x | ，
思考:
1 x y , y 2 , y arctan x在x 时极限是否存在？ x
若存在，等于？
例
证
sin x 证明 lim 0. x x x ＋
0,
sin x sin x 1 , 0 x x x
取 M 1
1 x
xM
, 则当 x M时恒有
由前面两个例题可知，当 x x0时，f (x)以A为极 限与f (x)在 x0 处有无定义无关. 只是讨论了自变量在某个运动过程中的函数发展 的趋势
问题 : 函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中 ,对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
x
f ( x ) A(当x )
" M " 定义
lim f ( x) A
x
0, M 0, 使当|x | M时, 恒有 f ( x) A .
注.
将这个定义和数列极限定义相比较,
就是将xn=f (n)换成了f (x). 将“ 正整数N” 换成“ 实数X >0”.但是, 数列极限中n是离
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
3、几何解释:
1 1
M M
当x M 或x M时, 函数 y f ( x)图形完全落在以 直线y A为中心线 , 宽为 2的带形区域内 .

sin x 0 , x
sin x 故 lim 0. x x
x lim a 0, 例. 证明 x
若 >0, X >0, 当 x>X (或x<X) 时, 有|f (x)a |<.
其中 0<a<1.
则记 lim f ( x) a
x
证: >0, 要使|ax0 |=ax<.
0.99

1.01 1.1
1.5
f1(x) 1.5 1.9 1.99 2.01 2.1 2.5 可以看出，当自变量x趋向于定点 x0 1 时，函数
f1 ( x) 趋向于常数2.
再考察函数 f 2 ( x) x 1 当自变量x趋向于1时的变 化趋势.仿上例可以得到下表. x
0.5 0.9
2.2 函数的极限
前面讨论了数列xn=f (n)的极限, 它是函数极 限中的特殊情形, 特殊性在于: n只取自然数, 且n 趋于无穷大. 现在讨论y=f (x)的极限, 自变量x大致有两种 变化形式. (1) x, (2) xx0 (有限数). 并且, x不是离散变化的, 而是连续变化的.
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
散变化的, 而这里x是连续变化的.
2、另两种情形:
f ( x) A 10 . x 情形 : xlim
0, M 0, 使当x M时, 恒有 f ( x) A .
2 . x 情形 : lim f ( x ) A
0
x
0, M 0, 使当x M时, 恒有 f ( x) A .
0 x x0 表示x x0的过程.

x0
点x0的去心邻域,

x0
x0
x
体现x接近x0程度.
1、定义：
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多 么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式


取X
1

，当 | x | X时，就有
x2 1 | | x2 1
成立
x2 1. 从而证明了 lim x x 2 1
二、自变量趋向有限值时函数的极限
2 x 首先考察函数 f1 ( x) 1 当自变量x趋向于1时 x 1 的变化趋势.不难得到下表.
x
0.5
0.9