概率论与数理统计-第1章-第3讲-概率的公理化定义与运算性质

性质1 加法公式 若事件A, B互斥，则
P( A B) P( A) P(B)
若事件A1, A2 , , An两两互斥，则
P
n
Ai
n
P( Ai )
i1 i1
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02 概率的运算性质
性质2 逆事件公式
对任一事件A，有 P( A) 1 P( A) S A A A与A互斥 P(S) P( A) P( A) 1
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率 第3讲 概率的公理化定义与运算性质
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本章内容
01 概率的公理化定义 02 概率的运算性质
01 概率的公理化定义
1.概率的公理化定义
什么是概率？
研究随机现象，我们不仅要关心会出现哪些事件，更关心这些事件出 现的可能性大小，所谓事件的概率就是度量事件出现可能性大小的数值.
2.概率的运算性质 三条公理
（1）非负性 P( A) 0 （2）规范性 P(S ) 1
基本性质
0 P(A) 1 P() 0
0 P( A) 1
P() 0
（3）可列加性 对任意个两两互不相容事件
A1, A2 ,
, An ,
,
有P
Ai
P( Ai ).
i1 i1
加法公式
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02 概率的运算性质
（2）规范性 P(S ) 1
（3）可列加性 对任意个两两互不相容事件
A1, A2 ,
, An ,
,
有P
Ai
P( Ai ).
i1 i1
它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为
建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.
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本章内容
01 概率的公理化定义 02 概率的运算性质
02 概率的运算性质
下一讲我们将学习一种新的概率——条件概率.
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概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
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P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
求“至少有两人同生日”的概率.
P(
A)
1Leabharlann Baidu
C
k 365
k
365k
!
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02 概率的运算性质
例 2 P( A) P(B) P(C) 1 , P( AB) 0, P( AC) P(BC) 1
4
9
则事件A,B,C都不发生的概率为_______.
BA
A B
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02 概率的运算性质
性质4 广义加法公式
对任意两个事件A、B，有 P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( A B) P( A (B AB)) P( A) P(B AB)
再由性质 3得证 .
B AB A
S
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02 概率的运算性质
推广
P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC)
因为 A, B 互不相容,所以 A B A
(2)若P( AB) 1，则P( AB) ____ 8
AB
P( AB) P( A AB) P( A) P( AB)= 3 8
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第3讲 概率的公理化定义与运算性质
到目前为止，我们学习了样本空间、随机事件等 概念，给出了概率的公理化定义及概率的性质，利 用这些知识，我们就可以求一般的随机事件的概率。 希望大家多做练习，熟练掌握.
AＡ A SS
注意: 如果正面计算事件 A的概率不容易，而计算其对立事件 A 的概率较易时，可以使用性质2.
P( A) 1 P( A)
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02 概率的运算性质
性质3 减法公式
设Ａ、B是两个事件，若 A B , 则有 P( A B) P( A) P(B) P( A) P(B)
注意: 对任意两个事件A, B, 有 P( A B) P( A) P( AB)
① 古典定义
概率的最初定义
历史上概率 的三次定义
② 统计定义
基于频率的定义
③ 公理化定义
1933年由苏联数学家 柯尔莫哥洛夫给出
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01 概率的公理化定义
历史上概率的三次定义
① 古典定义
不足：仅适用于等可能概型
② 统计定义 概率的统计定义: 在大量重复试验中，若事件A 发生的频率
稳定在某一常数 p的周围，则称该常数p 为事件A 发生的概率，
P( A) 1 P( A)
性质2
P( A )
C447 C540
1
C447 C540
0.2255
计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时， 可以利用性质2。
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02 概率的运算性质
例 “分房模型”的应用
恰有 k 个盒子中各有一球
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率.
并记P(A) p.
不足：不精确不严格不便使用
③ 公理化定义
通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.
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01 概率的公理化定义
定义 （概率的公式化定义） 设随机试验E 的样本空间为S，若对E 的每一事件A ，都有一个实数
P( A)与之对应，并且满足下列三条公理，则称P( A) 为事件A 的概率.
（1）非负性 对每一个事件A，有 P( A) 0
P(ABC) P(A B C) 1 P(A B C)
1 P( A) P(B) P(C) P( AB) P( AC) P(BC) P(ABC)
17 36
ABC AB
P( ABC) P( AB) 0
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02 概率的运算性质
例 3 设P( A) 1 ,
2
1
(1)若A, B互斥，则P( AB) __2__
一般
n
n
n
P( Ai ) P(Ai )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
右端共有 2n 1 项.
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02 概率的运算性质
典型例题
例 设有50件产品，其中有3 件不合格品，从中任取4 件，求至少有一件不合格 品的概率.
解法一 设A表示至少有一件不合格品，Ai表示恰好有i件不合格品，则
A A1 A2 A3 P( A) P( A1 A2 A3)
性质1
P( Ai
)
C3iC447i C540
P( A1) P( A2 ) P( A3) 0.2255
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02 概率的运算性质
解法二 因为A表示全是合格品，则