鸡兔同笼类问题中的各种解法分析小汇总

鸡兔同笼类问题中的各种解法分析小汇总

鸡兔同笼类问题中的各种解法分析小汇总

1.典型鸡兔同笼问题详解

例1鸡兔同笼是我国古代的着名趣题。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载着“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何”翻译成通俗易懂的内容如下：

鸡兔共有35个头，94只脚，问鸡兔各有多少只经梳理，对于这一类问题，总共有以下几种理解方法。

（1）站队法

让所有的鸡和兔子都列队站好，鸡和兔子都听哨子指挥。那么，吹一声哨子让所有动物抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）

Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

那么再吹一声哨子，然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就一屁股坐地上了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只）

兔：24÷2=12（只）；鸡：35-12=23（只）

（2）松绑法

由于兔子的脚比鸡的脚多出了2个，因此把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚。

那么，兔子就成了2只脚。则捆绑后鸡脚和兔脚的总数：35×2=70（只）

比题中所说的94只要少：94-70=24（只）。

现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，不断地一个一个地松开绳子，总的脚数则不断地增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，

因此兔子数：24÷2=12（只）从而鸡数：35-12=23（只）

（3）假设替换法

实际上替代法的做题步骤跟上述松绑法相似，只不过是换种方式进行理解。

假设笼子里全是鸡，则应有脚70只。而实际上多出的部分就是兔子替换了鸡所形成。每一只兔子替代鸡，则增加每只兔脚减去每只鸡脚的数量。

兔子数=（实际脚数-每只鸡脚数*鸡兔总数）/（每只兔脚数-每只鸡脚数）

与前相似，假设笼子里全是兔，则应有脚120只。而实际上不足的部分就是鸡替换了兔子所形成。每一只鸡替代兔子，则减少每只兔脚减去每只鸡脚的数量，即2只。

鸡数=（每只兔脚数*鸡兔总数-实际脚数）/（每只兔脚数-每只鸡脚数）

将上述数值代入方法（1）可知，兔子数为12只，再求出鸡数为23只。

将上述数值代入方法（2）可知，鸡数为23只，再求出兔子数为12只。

由计算值可知，两种替代方法得出的答案完全一致，只是顺序不同。由替代法的顺序不同可知，求鸡设兔，求兔设鸡，可以根据题目问题进行假设以减少计算步骤。

（4）方程法

随着年级的增加，学生开始接触方程思想，这个时候鸡兔同笼问题运用方程思想则变得十分简单。

第一种是一元一次方程法。

解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只

4x+2（35-x）=94

4x+70-2x=94

x=12

注：方程结果不带单位

从而计算出鸡数为35-12=23（只）

第二种是二元一次方程法。

解：设鸡有x只，兔有y只。

则存在着二元一次方程组的关系式

x+y=35

2x+4y=94

解方程式可知兔子数为y=12则可计算鸡数为x=23

以述四种方法就是这一典型鸡兔同笼问题的四种不同理解和计算方法，在没有接触方程思想之前，用前三种方式进行理解。在接触方程思想之后，则可以用第四种方法进行学习。

2.鸡兔同笼问题的衍生（非方程思想）

对应关系理清之后，按照例1中的方法即可求出，大矿泉水瓶子有20个，小矿泉水瓶子有40个（具体解题过程不详述）。

例3聪明昊参加数学竞赛，共做20道题，得70分，已知做对一道题得5分，做错一道题扣1分。问聪明昊做对了几道题

这一题依然与上述问题思路一致，只是少量变成了扣一分。在此提示，按照替代法进行计算，先假设全部做对，则应得分100分。而实际上却少得了100-

70=30（分）

这30分的差距就是因为一道错题替换了一道正确的。每一道题进行替换就会带来5 +1=6（分）的差值（注意一对一错，差值是两者的和）。因此做错了5道题，做对了15道题。

在这种情况下，小量不是增加而是减少或扣时，一般先假设大量进行替换计算。

例4现有100千克的水装了共60个的矿泉水瓶子中。大矿泉水瓶1瓶装4千克，小矿泉水瓶2瓶装1千克，问大、小矿泉水瓶各多少个

这道题需要认真审题，小矿泉水瓶是2瓶装1千克。当瓶子的数目不全是单位1时，思路可以如下。

假如能运用小数，则直接将2瓶装1千克转化为1瓶装千克，则变成与例1中所述方式一样。

假如对小数不熟悉，则可以将2瓶子视为一组。

则全部瓶子有30组，大矿泉水瓶一组装8千克，小矿泉水瓶一组装1千克，按照例1中所述方式，可以求出大小矿泉水瓶各有的组数，用组数乘以2则可以求出瓶数。

上述3个问题仍然是两个因素的比较，因而只要将问题中的因素与鸡兔同笼问题中的因素一一对应即可计算出来。

例5聪明昊完成工作后领得工资240元，包括2元、5元、10元三种人民币共50张，其中2元与5元的张数一样多。那么2元、5元、10元各有多少张

这一道问题相比前面的问题复杂一些，变成三个因素。但是通过审题我们发现，他给出了一个条件那就是2元与5元的张数一样多。

因此，由于这两种人民币数量一样多，可以将其当作一个整体进行计算，与10元进行比较。

因此先假设全部是10元的人民币，则应有工资：50*10=500（元）比实际多出：500-240=260（元）

这多出的260元就是因为用2元与5元替换了10元。

由于拿一张5元替换10元时，必定要拿一张2元替换10元，因此依然可以将2张人民币作为一组。每替换一组，工资减少10-5+10-2=13（元）