三次样条插值课件分析

)
,
i
0,1n
li
(x
j
)
1, 0,
i i
j j
Ln ( x j ) y j
n
则 Ln ( x) yili ( x) 即为
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式，是插值基函数的 线性组合，形式简单，结构对称，便于理论分析。
样条插值的研究背景
二、牛顿 (Newton) 插值
Nn( x) f ( x0 ) f [x0 , x1]( x x0 ) f [x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1) f [x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn1 )
故 : S''( x)在[x j , x j1]上是线性函数，
由Lagrange插值公式得：
Sj''(x)
M j1
x xj hj
Mj
x x j1 hj
其中：hj x j1 x j
x [x j , x j1]
以节点处的二阶导数M为参数的三次样条插值函数
三次样条插值函数的构造
对
Sj''(x)
M
j
(x
x j1 )3 6hj
(yj
M jhj2 6
)
x
x j1 hj
( y j1
M
h2
j1 j
6
)
x
xj hj
第j个区间上的三次样条插值函数
三次样条插值函数的构造
因此，只要能求出所有的{M i}，就能求出样
条插值函数S(x).下面考虑Mi的求法
S
' j
(
x)
M j1
(x x j )2 2h j
（3）S(x)在[a,b]上二阶连续可微。
则称S(x)为函数f(x)的三次样条插值函数, 简称
三次样条。
三、三次样条插值函数的构造
记 S''( x j ) M j ( j 0,1,, n) , f ( x j ) y j
表达式S( x),由于S( x)在区间[x j , x j1]上是三次多项式，
n
f [ x0 ,, xk ]k ( x) k0
牛顿(Newton)插值引入了差商的概念，在增加新的 节点时，只是增加一项，前面结果可再利用。
样条插值的研究背景
三、分段插值
2
g( x)
1
1 x2
,
5
x5
1.5 1
取等距节点做n次
0.5
Lagrange插值多项式。 0
当节点无限加密时， 插值多项式出现振荡现 -0.5
y j1
M
j1
( x j1 x j )3 6hj
C1 x j1
C2
yjຫໍສະໝຸດ M j(xjx j1 )3 6hj
C1 x j
C2
化简得：
y j1
M j1
hj2 6
C1 x j1
C2
y
j
Mj
hj2 6
C1 x j
C2
三次样条插值函数的构造
由上式可解出：
C1
y j1 hj
hj 6
而一些实际问题,不但要求一阶导数连续, 而且要求二阶导数连续。所以一般插值往往不 不能满足实际需要。
一、样条函数的概念
设S(x)是区间[a,b]上的函数,在区间[a,b]上给定一 组节点:
a=x0<x1<x2<<xn=b 若S(x)满足条件
(1) S(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是 次数不超过m的多项式;
M j1
yj hj
hj 6
Mj
C2
1
hj
[ x j y j1
hj2 6
M j1 x j
x j1 y j
hj2 6
M j x j1 ]
代入：
Sj(x)
M j1 6hj
(x
x j )3
Mj 6hj
(x
x j1 )3
C1x
C2
得：
三次样条插值函数的构造
S j(x)
M
j1
(x
xj 6hj
)3
二、三次样条函数的概念
设y = f(x)在点 x0，x1，x2, xn的值为y0，y1，y2, yn，若函数S(x)满足下列条件
（1）S(xi)=f(xi) =yi , i=0,1,2,,n
(1.1)
（2）在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上S(x)是
三次多项式，记为
象。
-1
称为龙格Runge现象。
-1.5 -5
n=10 y=1/(1n+=x42)n=2 n=6
n=8
0
5
三、分段插值
分段线性插值
•
•
•
•
• •
x0
xj-1 xj
xj+1 xn
分段线性插值（低次多项式插值），误差小， 整体逼近效果好，但曲线光滑性差。
Hermite插值
四、 Hermite插值
带导数的插值 插值问题的较高要求：
Mj
( x x j1 )2 2h j
y j1 hj
yj
M j1 M j 6
hj
(1) ( xi ) yi (i 0,1,2,...n)
(2)
'(xi )
y
' i
(i 0,1,2,...n)
保持插值曲线在节点处有切线（光滑）， 使插值函数和被插函数的密和程度更好 。
但实际问题中，导数值往往很难获得！
一般插值函数的不足
插值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑, 从而导数不连续。
所谓“样条”(Spline)是工程绘图中的一种工具, 它是有弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相近的 几个结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之成为 一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。样条函 数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。
它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供 两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要 求。
M j1
x xj hj
Mj
x x j1 hj
积分得：
Sj'(x)
M j1 2hj
(x
x j )2
Mj 2hj
(x
x j1)2
C1
再次积分得：
Sj(x)
M j1 6hj
(x
x j )3
Mj 6hj
(x
x j1 )3
C1x
C2
分别代入：S( x j )
y j及S( x j1 )
y
j
得：
1
三次样条插值函数的构造
插值法
第五节 样条插值法
样条插值的研究背景 样条函数的力学意义 三次样条插值多项式的构造 一般的插值问题
样条插值的研究背景
一、拉格朗日(Lagrange) 插值
用基函数法构造:
li(x)
(
(x x0 )(x xi x0 )( xi
xi1 xi1
)( )(
x xi1 )( x xn ) xi xi1 )( xi xn
(2) S(x)在区间[a , b]上有m-1阶连续导数; 则称S(x)是定义在[a ,b]上的m次样条函数。x0，x1， x2, 称为样条结点,其中x1,,xn-1称为内结点, x0 , xn 称为 边界结点。当m=3时,便成为最常用的三次样条函数
样条插值
取插值函数为样条函数的插值称为
样条插值