磁悬浮球系统的自适应控制器设计

i0 = 0.6105 A ，取 g = 9.8m / s 2 。将各数值代入式（１２），
图 ３ 磁悬浮球系统自适应控制仿真结果
由于控制量仅受期望输出与实际输出之间的误差，实际
作者简介： 刘宁（ １ ９ ７ ７ － ） ， 男， 大学本科， 工程师， 研究方向： 控制系统的设计与开发。
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其工作原理为当螺线圈内通入电流后， 铁芯产生磁
工业控制与应用
Industry Control and Applications
《自动化技术与应用》２ ０ １ １ 年第 ３ ０ 卷第 １ ０ 期
场对处于下方的小球产生吸引力， 当该引力大于小球自 身重力时， 小球将向铁芯方向运动， 当小球位置改变时， 位置传感器将产生相应信号发送至 ＰＣ 机中，ＰＣ 机对该 信号进行处理， 由控制器产生新的控制信号， 该控制信 号经由 Ａ／Ｄ 转换将数字控制信号转换为电压或电流信 号输入螺线圈， 若控制输入电流大小适当， 即可使小球 悬浮在某一位置。
３ 磁悬浮球系统的数学模型
理想状态下， 小球可看作仅受重力和引力作用。小 球受到的重力为 Ｇ ＝ ｍｇ ，其中 ｍ 为小球质量， ｇ 为重力加 速度。当螺线圈内通入的电流为 ｉ ， 小球距离铁芯底部 距离为 ｘ 时， 小球受到的引力为
４ 自适应控制器设计
Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ 设计方法是从系统的最低阶开始构造 虚拟控制输入， 根据此输入递推下一阶的虚拟控制输 入， 直至推导出最终的实际控制输入， 从而完成所要控 制器的设计。 令 ｅ １ ＝ ｘ １ － ｙ ｒ ， ｙ ｒ 为期望小球稳定的位置。构造如下 李亚普诺夫函数 （６） （７） 若要满足，令，考虑将 x′ 2 作为 x2 的期望输出，因此令
图 ２ 磁悬浮球系统自适应控制仿真结构图
在Ｍａｔｌａｂ软件的Ｓｉｍｕｌｉｎｋ环境下对所得控制器进行 仿真， 搭建仿真结构图如图２所示， 所选取的研究对象参 照深圳固高科技有限公司的磁悬浮实验平台数据可得， 小 球 的 平 衡 位 置 及 其 电 流 分 别 为 x0 = 20mm 即可得到控制量。 ，
５ 仿真及结果分析 ６ 结束语
本文针对磁悬浮球系统，利用 Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ 设计方 法设计了一类自适应控制器， 所设计的控制器实现简 单， 控制输入根据期望输出的 ２ 阶导数， 期望输出与实 际输出差值及实际输出的导数即可确定。通过仿真结 果可以看到， 当期望输出为某一定值时， 所设计的控制 器可使输出响应有着较小的超调量与较快的响应时间， 且在稳定状态下无稳态误差。仿真结果验证了该控制 器的有效性。
.. x 1 = x2 .. 2g 2g x1 − u x2 = x i 0 0 （５） y = x1
式中， ｘ １ ， ｘ ２ 分别为小球系统状态变量， ｕ 为控制器 的输入， ｙ 为系统输出， 即小球到铁芯底部距离。
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磁悬浮球系统的自适应控制器设计
刘 宁
（山西省自动化研究所，山西 太原 ０３００１２）
摘 要： 本文以磁悬浮球系统为研究对象，基于该系统的线性化模型，通过 Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ 设计方法设计了一类自适应控制器，所设计 的控制器具有结构简单易于实现， 控制输入易于得到等优点， 仿真实验验证了该控制器的有效性。 关键字： 磁悬浮球系统；自适应控制器；Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ 中图分类号：ＴＭ５７１．６４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３－７２４１（２０１１）０１０－００３０－０４
２ 磁悬浮球系统工作原理
磁悬浮球系统通常由小钢球， 带铁芯的螺线圈， 位 置传感器， 控制器等组成， 如图 １ 所示：
１、电磁铁；２、小钢球；３、位置传感器；４、PC 机；５、 A/D 转换
图 １ 磁悬浮球系统结构
收稿日期： ２ ０ １ １ － ０ ８ － ０ ５ 30 | Techniques of Automation & Applications
参考文献：
［１］ 张静，徐林．磁悬浮系统的模糊自适应 ＰＩＤ 控制［Ｊ］．计算 机应用，２００９，２９（１）：３２９－３３１． ［２］ 佛显超，谢卫红．磁悬浮自适应控制［Ｊ］．自动化与仪器仪 表，２００２，（１）：２３－２４． ［３］ 李群明，杨锋力，陆新江．磁悬浮球的 Ｈ ∞控制研究［Ｊ］．仪 器仪表学报，２００６，２７（７）：６８３－６８８． ［４］ 王莉，王庆林．Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ 设计方法及应用［Ｊ］．自动化 博览，２００４，２１（６）：５７－６１．
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输出的导数和期望输出的导数决定，因此，控制器的参数设计 （１１） 整理得： 不需要人工进行调整，在这一方面，比ＰＩＤ控制与模糊控制有 着极大的易操作性。 在仿真环境下， 系统输入取单位阶跃信号， 运行仿 真程序得到结果如图 ３ 所示。图中实线为输入的阶跃信 号， 星线为经所设计控制器控制作用后的系统响应曲 （１２） 线， 对比两条曲线可以看到， 经控制器作用后的系统响 应曲线经过一个较短的响应时间与一个超调后逐渐趋 于稳定位置， 且当到达稳定状态后无稳态误差， 可实现 对磁悬浮球系统的稳定控制。
i F = k （１） x
式中， ｋ 为常系数， 其值由小球、螺线圈及所处环境 的导磁率共同决定。由此可看出磁悬浮球系统为一典 型的非线性系统。为了便于系统分析与设计， 可以将非 线性系统线性化，令小球所受引力 Ｆ 在平衡点（ ｉ ０ ， ｘ ０ ）处 进行泰勒展开， 且考虑到当小球处于平衡点时， 应有 Ｇ＋Ｆ０＝０ （２） 式中， Ｇ 为小球所受重力， Ｆ ０ 为小球位于平衡状态 时所受磁力。 由上所述及牛顿第二定律可得磁悬浮球系统状态 方程：
（９）
x=
..
2g 2g i− x （４） i0 x0
..
式中， ｇ 为重力加速度， x 为小球当前时刻下的加速 度， 因此， 小球运动方程可写为：
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１ 引言
近年来， 随着磁悬浮技术的日益成熟与大量使用， 如何更好的掌握磁悬浮系统的特性， 并获得更优的控制 性能得到了广大科学工作者们的关注。磁悬浮球系统 作为研究磁悬浮特性， 掌握其相应建模与控制方法的研 究对象， 在学习与研究中得到了广泛应用。由于磁悬浮 球系统仅考虑一个自由度上的控制效果， 因此， 常被用 来作为研究对象设计磁悬浮系统的控制器， 或分析某一 类控制方法对磁悬浮系统的控制效果［１－３］ 。自适应控制 是一类智能控制方法， 在非线性系统的控制， 数学模型 含有未知参数的系统控制等方面有着良好的效果， 本文 通过运用 Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ 设计方法［４］，对磁悬浮球系统进 行分析， 设计了一种基于磁悬浮球系统的自适应控制 器， 该控制器可实现对磁悬浮球系统的稳定控制， 最后 的仿真结果验证了该控制器的有效性。
An Adaptive Controller Design for Magnetic Levitation Ball System
LIU Ning
( Shanxi Automation Research Institute, Taiyuan 030012 China )
Abstract: For a magnetic levitation ball system, a design method for an adaptive controller based on the linearized model and Backstepping scheme is proposed in this paper. The adaptive controller has some significant advantages such as the simple structure, easy to be realized and convenient to obtain the control input. Finally, the simulation results show the effectiveness of the proposed controller. Key words: magnetic levitation ball system; adaptive controller; backstepping
式中， Ｇ 和 Ｆ ０ 的含义同式（２）， ｉ ０ 为小球位于平衡位置 时螺线圈的电流值， ｘ ０ 为小球位于平衡位置时小球与铁 芯底部之间的距离， ｍ 为小球质量， ａ 为小球处于非平衡 状态时的加速度， Ｆ 为小球处于非平衡状态时所受的磁 力， ｉ 与 ｘ 分别为小球处于非平衡状态下螺线圈内电流 值和小球与铁芯底部之间的距离， 式（ ３ ） 经化简后可得： 若要满足，则 u 应满足如下关系： （１０） 因此可得到控制量 u 的表达式为：
2Baidu Nhomakorabea
e2 = x2 − x′ 2 ，且存在关系，，构造如下李亚普诺夫函数
（８）
G + F0 = 0 ma = G + F （３） ∂F ∂F F = F0 + (i − i0 ) + ( x − x0 ) ∂i ∂x