高中数学第二章解析几何初步1.3两条直线的位置关系课件北师大版必修2
高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.3 两条直线的位置关系课件 北师大版必修2
(3)由方程知 l1⊥x 轴,l2⊥x 轴,且两条直线在 x 轴上的截距不相
等,∴l1∥l2. (4)由方程知 l1⊥y 轴,l2⊥x 轴,∴l1⊥l2.
K12课件
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探究一
探究二
探究三
易错辨析
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探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1 已知点A(2,2+2√2), B(-2,2)和C(0,2- 2√2) 可组成 三角形.
求证:△ABC为直角三角形.
证明:∵kAB=
2-(2+2√2) -2-2
=
√22,kBC=2-02-√(-22-)2=-√2,
则 kAB·kBC=-1,∴AB⊥BC.∴△ABC 为直角三角形.
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探究二根据两直线的位置关系确定参数
【例2】 (1)当m为何值时,直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线 l2:mx+3y-2=0平行?
A.1 B.0 C.-1 D.0或-1
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,-3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-
2).如果l1⊥l2,则a=
.
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解析:(1)两直线无公共点,即两直线平行,
∴1×3a-a2(a-2)=0,
∴a=0 或-1 或 3,经检验知,a=3 时两直线重合.
=
������ +1 3
≠
-42.
(*)
由 2 = ������+1得 m2+m-6=0,解得 m=2 或 m=-3,经检验,满足(*).
北师大版数学必修2第二章解析几何初步归纳总结课件
得xy′′＝＝3－x－4x45－y5＋3y4＋，8.
把(x′，y′)代入方程 y＝x－2 并整理，得：7x－y－14＝0，
即直线 l2 的方程为 7x－y－14＝0.
(3)设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线 l′，则直线 l 上任一 点 P(x1，y1)关于点 A 的对称点 P′(x，y)一定在直线 l′上，反 之也成立．
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离是 d＋r， 最小距离是 d－r，其中 d 为圆心到直线的距离．
②当直线与圆相交时，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r， 则有(2l )2＋d2＝r2.
③当直线与圆相交时，设弦为 AB，则 |AB|＝ 1＋k2AB·|xA－xB|， |AB|＝ 1|k＋ABk| 2AB·|yA－yB|.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①l1 与 l2 相交⇔A1B2≠A2B1， 特别地 A1A2＋B1B2＝0 时⇔l1⊥l2； ②l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且 A1C2≠A2C1； ③l1 与 l2 重合⇔A1B2＝A2B1 且 A1C2＝A2C1. 4．两条直线的交点
当|C1C2|＝|r1－r2|时，两圆内切； 当|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2 时，两圆相交； 当|C1C2|<|r1－r2|时，两圆内含． 10．空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系 ∠xOy＝∠xOz＝135°，∠yOz＝90°，x 轴、y 轴、z 轴的正 半轴分别指向右手拇指、食指、中指．
作点 P(x，y，z)的步骤与方法：从原点出发沿 x 轴正(x>0) 或负(x<0)方向移动|x|个单位，再沿 y 轴正(y>0)或负(y<0)方向移 动|y|个单位，最后沿 z 轴正(z>0)或负(z<0)方向移动|z|个单位．
高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2-1-3两条直线的位置关系课件
设 l1 : A1x B1y C1 0 （A1, B1 不全为0）， l2 : A2x B2 y C2 0（A2, B2不全为0），则
（1）l1 与 l2 平行
A1B2 B1C2
A2 B1 B2C1
0 0
（2）l1与 l2 垂直 A1A2 B1B2 0
1.3 两条直线的位置关系
平面内两条直线位置关系有哪些？
思考：平面内两直线的位置关系如何？
平行
垂直
重合
y
l1 l2
ox
l2 y l1 ox
y l1,l2 ox
在平面直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征 判断两条直线方程的位置关系呢？
探究点1 两条直线平行 我们知道，斜率相等的两条直线倾斜角相等，它们 相互平行；反之，两条直线平行，它们的倾斜角相 等，若倾斜角不为90°，则它们的斜率相等.
l1 l2
(2)设两直线的斜率分别是 ，k1 ，k在2 y轴上截距分别是 ， ，则
因为b1 b，2 所以k1 不2，平k行2 . 3，b1 1，b2 0.
k1 k2
l1与l2
(3) 由方程可知, l1 轴x ， l轴2 ,且x 两直线在 轴上截x距
不相等，所以 l1 .l2
例2 求过点 A1, 2，且平行于直线 2x 3y 5 0
例1 判断下列各对直线是否平行，并说明理由：
(1)l1 : y 3x 2； l2 : y 3x 5；
(2)l1 : y 2x 1； l2 : y 3x；
(3)l1 : x 5；
l2 : x 8.
解:（1）设两直线的斜率分别是 k，1 ，k2 在y轴上截距 分别是 b1， b,则2 k1 3，b1 2，k2 3，b2 5. 因为 所以 k1 .k2，b1 b2，
北师大版数学高一-课堂新坐标14-15数学必修2讲义 第2章 解析几何初步(144页)
第二章解析几何初步§1直线与直线的方程1．1直线的倾斜角和斜率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．过程与方法通过一系列直线的不同位置的学习，培养学生的探究精神．3．情感、态度与价值观通过几何问题用代数问题来处理的思维，培养学生的数形结合思想．●重点难点重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式．难点：直线倾斜角与它的斜率之间的关系．直线的倾斜角、斜率都是用来刻画直线倾斜程度的，它们本质上是一致的，倾斜角α与斜率k之间存在k＝tan α(α≠90°)的关系，可以通过改变直线倾斜角来进一步认识斜率，从而化解难点．(教师用书独具)●教学建议教学时结合具体图形，学生容易了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线方向，观察教材上的图2－1，2－2要确定直线条中某一条直线还需要给出一个角，即引出倾斜角，进一步引出斜率，进而探究斜率与倾斜角的关系．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，认识直线的斜率和倾斜角⇒通过例1及变式训练，使学生掌握直线倾斜角的求法⇒通过例2及互动探究，使学生掌握直线的斜率的求法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握直线的倾斜角和斜率的综合问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈校正课标解读 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)． 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式(重点).直线的倾斜角和斜率【问题导思】1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？ 2．当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？3．直线l 1，l 2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？【提示】 1.不能.2.不确定.3.不一样．1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．2．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，通常用α表示．(2)范围：0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k ＝{ tan α，α≠90°，不存在，α＝90°. 4．倾斜角、斜率及直线特点之间的联系倾斜角α 直线特点 斜率k 的变化0° 垂直于y 轴 k ＝00°<α<90° 由左向右上升 随着倾斜角在0°→90°间逐渐增大，直线的斜率k也逐渐增大，且恒为正值α＝90° 垂直于x 轴 k 不存在90°<α<180°由左向右下降随着倾斜角在90°→180°间逐渐增大，直线的斜率k 也逐渐增大，且恒为负值 5.过两点的直线斜率的计算公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.求直线的倾斜角 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°【思路探究】倾斜角的取值范围0°≤α＜135°α＋45°135°≤α＜180°α－135°【自主解答】由倾斜角的范围知只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°，如图所示，故选D.【答案】 D1．研究直线的倾斜角，必须明确倾斜角α的范围是0°≤α＜180°，否则将造成角度范围的扩大，产生不符合范围的角度．如对α不分类，选项A将出现大于等于180°的角；选项B、C将出现小于0°的角．2．此类问题应紧扣倾斜角的范围和倾斜角概念中的三个关键条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③逆时针方向旋转．有时利用数形结合的思想方法求解．图2－1－1中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l的倾斜角．图2－1－1【解】设直线l的倾斜角为β，图①中α是直线l的倾斜角，β＝α；图②中α不是直线l的倾斜角，β＝180°－α；图③中α不是直线l的倾斜角，β＝α；图④中α不是直线l的倾斜角，β＝90°＋α.求直线的斜率(1)直线过两点A(1,3)、B(2,7)，求直线的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的倾斜率．【思路探究】(1)利用过两点的直线的斜率公式求得．(2)利用斜率的定义求．【自主解答】(1)因为两点的横坐标不相等，所以直线的斜率存在，根据直线斜率公式得k ＝7－32－1＝4.(2)因为直线l 的斜率k ＝1，所以直线l 的倾斜角为45°，所以直线l ′的倾斜角为45°＋90°＝135°，所以直线l ′的斜率k ′＝tan 135°＝－1.1．熟记斜率公式是解答本题的关键．2．求直线的斜率有两种思路一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x 轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．将本题中的两点改为(1,1)，(－1，－2)其余不变． 【解】 k ＝－2－1－1－1＝32.直线的倾斜角、斜率的综合应用 已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (3,1)，且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围．【思路探究】 欲使直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率与直线PA ，PB 的斜率有必然的关系，通过画图可知．【自主解答】 设直线l 的斜率为k ，当l 与线段AB 相交时，k PB ≤k ≤k PA ， 又∵k PA ＝1＋33－2＝4，k PB ＝1＋23＋3＝12，∴12≤k ≤4， 即直线l 的斜率的取值范围为12，433，3－12，3)．1．2直线的方程第1课时直线方程的点斜式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的点斜式．(2)了解斜截式与一次函数的关系．2．过程与方法通过直线点斜式方程的学习，培养学生的探索精神．3．情感、态度与价值观培养学生用代数思维解决几何问题，提高数学的学习兴趣．●重点难点重点：直线方程的点斜式．难点：直线方程的应用．给定点P(x0，y0)和斜率k后，直线就唯一确定了，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．(教师用书独具)●教学建议本节是在学习了直线的倾斜角和斜率之后，进行直线方程的学习，因此本节课宜采用探究式课堂模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主为前提，两点斜率公式为基本探究问题，引出直线方程的点斜式，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展、提高．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答问题，认识掌握直线方程的点斜式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用点斜式求直线方程⇒通过例2及变式训练，使学生掌握利用斜截式求直线方程⇒通过例3及变式训练，使学生点斜式、斜截式的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标巩固所学知识并进行反馈、矫正课标解读1.掌握直线方程的点斜式(重点)．2．了解直线在y轴截距的概念(易混点)．3．了解斜截式与一次函数的关系(难点).直线方程的点斜式【问题导思】若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？【提示】y－y0＝k(x－x0)．1．直线的方程如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程：(1)直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程；(2)满足该方程的每一个数对(x，y)所对应的点都在直线l上．2．直线方程的点斜式和斜截式利用点斜式求直线方程根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．(1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2,8)，D(－3，－2)．【思路探究】解答本题可先分析每条直线的斜率是否存在，然后选择相应形式求解．【自主解答】(1)y－4＝－3，即y＝－3x＋1，图形如图(1)所示．(2)k＝tan 45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x.图形如图(2)所示．(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3.图形如图(3)所示．(4)k ＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y －8＝2(x －2)，即y ＝2x ＋4.图形如图(4)所示．1．求直线的斜率是解题的关键，利用“两点确定一条直线”作图．2．利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一点，并确定其坐标(x 0，y 0)；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时，方程为x ＝x 0)．本例第(4)问中“C (2,8)”改为“C (m,8)”，试写出满足条件的直线方程． 【解】 当m ＝－3时，斜率不存在，直线方程为x ＝－3； 当m ≠－3时，k ＝8－(－2)m －(－3)＝10m ＋3，∴y －(－2)＝10m ＋3，即y ＝10m ＋3x ＋24－2m m ＋3.利用斜截式求直线方程 (1)写出斜率为2，在y 轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l 的方程是2x ＋y －1＝0，求直线的斜率k ，在y 轴上的截距b ，以及与y 轴交点P 的坐标．【思路探究】 利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程．【自主解答】 (1)∵直线的斜率为2，在y 轴上截距是3， ∴直线方程的斜截式为y ＝2x ＋3.(2)把直线l 的方程2x ＋y －1＝0，化为斜截式为y ＝－2x ＋1， ∴k ＝－2，b ＝1，点P 的坐标为(0,1)．1．已知直线斜率或直线与y 轴有交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y 轴上也没有截距．写出斜率为2，在y 轴上截距为m 的直线方程，并求m 为何值时，直线过点(1,1)? 【解】 由题意知，直线方程为y ＝2x ＋m .把点(1,1)代入得1＝2×1＋m ， ∴m ＝－1.点斜式、斜截式方程的综合应用 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0，求证：不论a 取何值，直线l 总经过第一象限． 【思路探究】 可以把直线l 的方程变形为点斜式或斜截式，根据其特点证明．【自主解答】 法一 将直线方程变形为y －35＝a (x －15)，它表示经过点A (15，35)，斜率为a 的直线．∵点A (15，35)在第一象限．∴直线l 必过第一象限．法二 将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a ＞0时，不论a 取何值，直线一定经过第一象限；当a ＝0时，y ＝35，直线显然过第一象限；当a ＜0时，3－a5＞0，直线一定经过第一象限．综上，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定过第一象限．1．法一是变形为点斜式，法二是变形为斜截式．2．解决此类问题关键是将方程转化为点斜式或斜截式来处理．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1，12) B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(－1，－12)【解析】 ∵直线方程可化为y －1＝m ， ∴直线恒过定点(－2,1)．【答案】B忽视对字母的分类讨论致误求过两点(m,2)，(3,4)的直线方程． 【错解】 ∵k ＝4－23－m ＝23－m，∴直线方程为y－4＝23－m(x－3)．【错因分析】未考虑m与3的关系导致错误的出现．【防范措施】当m＝3时斜率不存在，故应该讨论m与3的关系．【正解】当m＝3时，直线斜率不存在，∴直线方程为x＝3，当m≠3时，k＝23－m，∴直线方程为y－4＝23－m(x－3)．1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解．2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)【解析】由点斜式可得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．【答案】 D2．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,2 B．－3，－3C．－3,2 D．2，－3【解析】由斜截式方程形式可知，k＝2，b＝－3.【答案】 D3．倾斜角为150°，在y轴上截距为6的直线方程是________．【解析】∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33，又知直线在y轴上截距为6，∴y＝－33x＋6.【答案】y＝－33x＋64．已知直线的斜率为2，与x轴交点横坐标为－1，求直线方程．【解】∵直线过(－1,0)，k＝2，由点斜式得y＝2 ∴y＝2x＋2.一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为( )A ．y －2＝－33(x ＋4)B ．y －(－2)＝－33(x －4)C ．y －(－2)＝33(x －4)D ．y －2＝33(x ＋4)【解析】 k ＝tan 150°＝－33，∴y －(－2)＝－33(x －4)．【答案】 B2．方程y ＝kx ＋1k表示的直线可能是( )【解析】 斜率为k ，且k ≠0，在y 轴上的截距为1k.当k >0时，1k >0；当k <0时，1k<0，从而选B.【答案】 B3．直线l 过点(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 005，b )在l 上，则b 的值为( ) A ．2 009 B ．2 010 C ．2 011 D ．2 012【解析】 ∵直线斜率k ＝5－(－1)2－(－1)＝2，∴直线点斜式方程为y －5＝2(x －2)， ∴y ＝2x ＋1，令x ＝1 005，∴b ＝2 011. 【答案】 C4．方程y ＝k (x ＋4)表示( ) A ．过点(－4,0)的所有直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且除去x 轴的一切直线【解析】 显然y ＝k (x ＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x 轴的直线．【答案】 C 5．(2013·佛山高一检测)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 当a ＝0时，不满足条件，当a ≠0时，令x ＝0，y ＝a ＋2， 令y ＝0，x ＝2＋aa .由已知得a ＋2＝2＋aa .∴(a ＋2)(1－1a )＝0.∴a ＝－2或a ＝1.【答案】 D 二、填空题 6．(2013·平江高一检测)直线－x ＋3y －6＝0的倾斜角是________，在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝33x ＋23，∴tan α＝33，∴α＝π6，在y 轴上的截轴为2 3.【答案】 π6，2 37．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12. 【答案】 －128．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．【解析】 由已知得直线方程 y ＋1＝tan 45°(x －4)， 即y ＝x －5.当x ＝0，y ＝－5，当y ＝0，x ＝5. ∴被坐标轴所截得的线段长|AB |＝52＋52＝5 2.【答案】 5 2 三、解答题9．写出下列直线的方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截轴是－2. (2)倾斜角是30°，过点(2,1)．【解】 (1)根据斜截式得直线方程为y ＝3x －2. (2)k ＝tan 30°＝33. ∴直线方程为y －1＝33(x －2)，∴y ＝33x －233＋1. 10．直线x －y ＋1＝0上一点P (3，m )，把已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°后得直线l ，求直线l 的方程．【解】 把点P (3，m )的坐标代入方程x －y ＋1＝0可得3－m ＋1＝0，∴m＝4，即P(3,4)．又∵已知直线方程可化为y＝x＋1，∴k＝1＝tan 45°，即倾斜角为45°.如图，易知已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°， 所得直线的倾斜角为60°， ∴k ＝tan 60°＝3，∴所求直线方程为y －4＝3(x －3)．11．经过点A (－2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程． 【解】 设直线为y －2＝k (x ＋2)，交x 轴于点(－2k－2,0)，交y 轴于点(0,2k ＋2)，S ＝12×|2k ＋2|×|2k ＋2|＝1，|4＋2k ＋2k |＝1， 得2k 2＋3k ＋2＝0或2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－12或k ＝－2，∴x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求．(教师用书独具)如图所示，已知△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，点C 在直线AB 上方． 求：(1)线段AB 的方程；(2)AC 所在直线的方程及在y 轴上的截距．【思路探究】 结合倾斜角和斜率的关系或斜率公式，得所求直线的斜率，从而求解． 【自主解答】 (1)由A (1,1)，B (5,1)，得AB ∥x 轴， ∴k AB ＝0，∴线段AB 的方程为y ＝1(1≤x ≤5)． (2)k AC ＝tan 60°＝3，∴直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)，整理得y ＝3x ＋1－3，令x ＝0得y ＝1－3， ∴在y 轴上的截距为1－ 3.1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在，当k＝0时，y＝b表示与x轴平行的直线，当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截矩是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，求分别满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在y轴上截距为3.【解】由直线y＝－33x＋5，得k＝－33，即tan α＝－33，∴α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)∵l过点P(3，－4)，则由点斜式方程得：y＋4＝33(x－3)，即y＝33x－3－4. (2)∵l在y轴上截距为3，则由斜截式方程得：y＝33x＋3.第2课时直线方程的两点式和一般式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式和一般式．难点：利用直线方程的各种形式求直线方程．两点式其实就是点斜式的变形，值得注意的是两点式方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1中的条件x1≠x2，y1≠y2，使得它既不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线．(教师用书独具)●教学建议本节课的教学内容为直线方程的两点式和一般式，在此之前，学生已掌握了直线方程的点斜式、斜截式，在本节教学时，通过师生探讨，得出直线的两点式和一般式方程，通过直线的两点式方程向截距式方程的过渡训练，让学生体会由一般到特殊的处理方法，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解直线方程的两点式、一般式⇒通过例1及互动探究使学生掌握灵活运用题目条件求直线方程⇒通过例2及变式训练使学生掌握一般式方程与其他方程的互化⇒通过例3及变式训练使学生掌握一般式方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正课标解读1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化(重点)．2．了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系(难点).直线方程的两点式【问题导思】已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？【提示】k AB＝y2－y1x2－x1由点斜式方程得y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)．1．两点式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)是直线l上的两点，则l的两点式为y－y1y2－y1＝x－x1 x2－x1.2．截距式：若直线l过A(a,0)，B(0，b)，(ab≠0)，则直线l的两点式方程可化为xa＋yb＝1的形式，这种形式的方程叫作直线方程的截距式．其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距．直线方程的一般式【问题导思】以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？【提示】能．直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．直线方程的两点式和截距式 求满足下列条件的直线方程： (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．【思路探究】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点这两种情况．【自主解答】 (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式，得x 4＋y－5＝1化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线过P (2,3) ， ∴2＋3a ＝1，∴a ＝5， 直线方程为x ＋y －5＝0，所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.1．本题(3)中易漏掉截距都为0情况．2．直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意方程各种形式的适用范围．将本例(1)中的A 改(－2，m )，求直线方程． 【解】 当m ＝－1时直线方程为y ＝－1， 当m ≠－1时，由两点式得y －m －1－m ＝x －4－2－4，∴y ＝m ＋16x ＋m －13.直线方程的一般式 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值；(1)l 在x 轴上的截距是－3；(2)l 的斜率是－1.【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式． 【自主解答】 (1)由题意可得⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ② 由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④ 由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.1．本题的易错点是(1)中漏掉m 2－2m －3≠0，(2)中漏掉2m 2＋m －1≠0.2．把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为2，且经过点A (1，－1)．(2)斜率为12，在y 轴上的截距为1.【解】 (1)y －(－1)＝2(x －1)，即2x －y －3＝0.(2)y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.直线方程的应用 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．【思路探究】 解答本题可先把一般式方程化为点斜式方程，然后再由直线过定点(15，35)，说明直线l 恒过第一象限．对于求a 的取值范围可借助图形，利用“数形结合思想”求得．【自主解答】 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限， 故l 过第一象限．(2)如图，直线OA的斜率k＝35－015－0＝3，∵l不经过第二象限，∴a≥3.1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键． 2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．若直线(m －1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．【解析】 {m －1＜0，1－2m ＜0，∴12＜m ＜1. 【答案】 (12，1)分类讨论思想在直线方程问题中的应用(12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【思路点拨】 对截距相等一定要考虑都为0，都不为0，若不为0求出截距让其相等．【规范解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等.2分∴当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意.4分当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2， 即a ＋1＝1.∴当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.7分综上所述，当a ＝2时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为3x ＋y ＝0；当a ＝0时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为x ＋y ＋2＝0.8分(2)将l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴{ －(a ＋1)＞0，a －2≤0，或{－(a ＋1)＝0，a －2≤0.10分∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1x －(－35)－2,2－1,1－12，120,2 C ．－3，3－33，33－33，33(x －1)2＋y 2－1 B ．(13，34 D ．512，＋∞)【思路点拨】 根据图形的特点求解．【解析】 先作出已知曲线y ＝1＋4－x 2的图形，再根据直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)． 如图所示，曲线是以(0,1)为圆心，r ＝2为半径的半圆，直线表示过定点(2,4)的动直线．由图形中关系可求得k PC ＝512. 【答案】 D点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A ．12，114，1 D ．(14，1)【解析】 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和(x ，y )的直线斜率，显然k AD 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈(14，1)． 【答案】 D。
【数学】2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)
o
(3)
直线L1,L2
唯一解
解方程组 无穷多解
L1,L2相交
L1,L2重合
L1,L2平行
无解
问题二：如何根据两直线的方程系 数之间的关系来判定两直线的位置 关系？
观察刚刚解过的三组方程对应系数比的特点：
3x+2y-7=0 2x-3y+4=0 3x+2y-6=0 6x+4y-15=0
3 6 ＝ 2 4 6 15
y= x
练习
求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－ 7=0的交点，且垂于直线x+3y－5=0的 直线方程。
解：解方程组 x=3 x+2y－1=0， 得 y= －1 2x－y－7=0 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+3y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
在同一坐标系中分别作出下列各组的直线： 并观察它们的位置关系 ⑴3x+2y－7＝0和2x－3y+4＝0 ⑵3x+2y－6＝0和6x+4y－15＝0 ⑶3x－2y－7＝0和6x－4y－14＝0
y
2x-3y+4=0
y 6x+4y-15=0
o
o x 3x+2y-7=0 3x+2y-6=0
x
(1)
y
(2) 3x-2y-7=0 6x-4y-14=0 x
例1：求下列两条直线的交点：L1：3x+4y－ 2=0；L2：2x+y+2=0 解：解方程组 3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
Y
【数学】2.1.3 两条直线的位置关系 课件(北师大必修2)
用这些公式时，有 要注意的地方吗？
2 m 法一：据 k1k 2 1 有， 1 5 2
得，m=-5.
法二：据
A1 A2 B1 B2 0 有，2m+(-5)(-2)=0
得， m=-5.
例2.
3 求经过直线 l1 ： x 2 y 1 0 和 直线 l 2 ： 5 x 2 y 1 0 的交点，且
解：因为点N在直线2x+y-8=0上，故
可设N(t,8-2t).又A是线段MN的中点，
由中点坐标公式得M(-t,2t-6)，因为 点M在直线x-3y+10=0上，所以 -t-3(2t-6)+10=0，解得t=4,有 M(-4,2),N(4,0)，所求直线方程为 x+4y-4=0.
解：设点A关于l的对称点为 A( x0 , y0 ),则
3
5 斜率为,于是由直线的点斜式方程 5 3
求出l:y-2=-
(x+1),即5x+3y-1=0.
方法二:l是直线系5x+3y+C=0中的一条， 而l过两直线的交点(-1,2)， 故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出C=-1, 故l的方程为5x+3y-1=0.
（2）l ∥l 3 ,故是直线系 3x 5 y c 0 中的一条,而l过两直线的交点(-1,2), 故 3 (1) 5 2 c 0 ， 由此求出 c 13 ，故l的方程为
2. 两直线 l1 ：A1 x B1 y C1 0 和 A2 x B2 y C2 0
l2 ：
（1）l1 ∥ l 2
（2）l1 l 2
A1 B2 A2 B1 0, B1C2 B2C1 0
数学北师大版高中必修2北师大版高中数学必修2第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系PPT课件
1 所求直线的斜率k 2 2
x 2 y 0.
例7 求证以A(-2,-3)、B(6,3)、C(-5,1) 为顶点的三角形是直角三角形. 证明:直线AB的斜率
k AB k AC
3 (3) 3 6 (2) 4 1 (3) 4 5 (2) 3
直线AC的斜率
1 4 l1 : y x 2 7
1 1 k1 , k 2 , k1 k 2 . ∴两直线不相交． 2 2
1 5 l2 : y x 2 2
7 5 b1 , b2 4 2
b1 b2 ∴两直线不重合，
∴
l1 // l 2
如果直线L1,L2的方程为
L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0
2 （D） 3
－1=0互相垂直，则（ C ）
A.a=2 B.a=－2 C.a=2或a=－2 D.a=2，0，－2
3．直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ C ）
（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直
（D）不能确定，与m，n取值有关
4.求与直线3x-2y+2=0垂直，纵截距为-2的直 线方程. 5.直线ax+4y-2=0垂直于2x-5y+b=0且交点为 M(1,c), 求a、b、c. 6.证明以A(3,1)、B(6,4)、C(5,8)、D(2,5) 为顶 点的四边形ABCD是平行四边形.
那么 l1 // l2 A1B2－A2 B1＝0且B1C2－B2C1 0或A1C2－A2C1 0 A1 B1 C1 （A 2 B2C2 0） A2 B2 C2
l1与l2重合
2020年高中数学第二章解析几何初步11.3两条直线的位置关系课件北师大版必修2
练一练 (1) 与已知直线 y＝－43x＋1 平行的直线是( )
A．3x＋4y＋7＝0
B．4x＋3y＋7＝0
C．4x－3y－7＝0
D．3x－4y－7＝0
答案：B
2．两条直线垂直：(1)设直线 l1：y＝k1x＋b1，直线 l2：y＝k2x ＋b2，若 l1⊥l2，则__k_1_·k_2_＝__－__1_；反之，若 k1·k2＝－1，则_l_1⊥ __l_2_____.
(2)当 a＝1 时，直线 l2 的斜率不存在， 此时 l1：x＋2y＋6＝0，显然 l1 与 l2 不垂直． 当 a≠1 时，直线 l2 的斜率存在． 又 kl1＝－a2，kl2＝1－1 a， ∵l1⊥l2，∴－a2·1－1 a＝－1， 即 a＝2(1－a)，∴a＝23.
A．x＋y＝0
B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0
D．x－y＝0
解析：∵kBC＝31－ －13＝－1. ∴BC 边上的高所在直线的斜率为 1. ∴直线方程为 y－1＝1×(x＋1)，即 x－y＋2＝0. 答案：B
知识点三 两直线位置关系的应用 5．已知直线 l：ax＋2y＋6＝0 和直线 l2：x＋(a－1)y＋a2－1 ＝0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行； (2)l1⊥l2，求 a 的值． 解：(1)若 l1∥l2，则a2aa－ 2－11－－16×a2－＝10≠，0①，② 由①得 a＝－1 或 a＝2，代入②知 a＝－1. ∴当 a＝－1 时，l1 与 l2 平行．
∴y＝3.此时 AB 与 CD 不平行． 故所求点 D 的坐标为(3,3)． 若 AD 是直角梯形的直角腰，则 AD⊥AB，AB∥CD. ∵kAD＝y－x 3，kCD＝x－y 3，又由于 AD⊥AB， ∴y－x 3×3＝－1.① 又 AB∥CD，∴x－y 3＝3.②
北师大版高中数学必修2第二章解析几何初步第二节《圆与圆的方程》ppt课件
O
X
1）写出过圆x2+y2=13上一点M（2，3）的
切线的方程。
2)已知圆x2+y2=3,求过点（-3，0）的圆的切 线方程。
小结
1）圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是 ；当圆心在原点时，a=0，b=0，那么圆的 方程就是x2+y2=r2。
x a2 y b2 r 2
试一试 ： 1)已知一个圆的圆心在原点， 并且与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。
例2 1） :已知圆心在Y轴上,且过点（10，0） 和（0，4）的圆的方程. 解
练习： 过点C(-1，1)和D（1，3），圆
心在X轴上，求圆的方程。解
某圆拱桥的一孔圆拱，其跨度为20m，高度为4m，在 建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度。
2 －1－ａ 2 ＋12＝ｒ 2 2 1－ａ ＋3 2＝ｒ
解得
ａ＝2，ｒ2＝10
2 2 ＋ｙ＝ ｘ－ 10 2
所以这个圆的方程是
例2； 2） 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱的 跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m） y P2 P
A
A1 A2
O
A3 A4 Y
M
B
x
例3：已知圆的方程是x2+y2=r2，求 经过圆上一点M（xo，yo）的切线 的方程.
（x+3)2+(y+4)2=1
2）方程（x-1）2+（y+4）2 = 25 表示 的圆的圆心和半 径是？
圆心：（1，-4），半径：5
2 2 3) 圆x a y b r 的圆心和半径分别是什么？
高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究(含解析)北师大版必修2
高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究（含解析）北师大版必修2课后篇巩固探究A组基础巩固1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0解析设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.答案A2.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.4解析∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.答案B3.直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k的值为()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或3解析若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.答案C4.已知点A(1,2),B(3,1),线段AB的中点D,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y-5=0B.4x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=0解析因为k AB==-,所以所求直线的斜率为2.又线段AB的中点D为,所以线段AB的垂直平分线方程为y-=2(x-2),即4x-2y-5=0.答案B5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是()A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对解析由斜率公式可得k AB=k CD=,而k AD=-3,k BC=-.所以AB∥CD,且AD与BC不平行.所以四边形ABCD为梯形.又k AD·k AB=-1,所以AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形.答案B6.已知A(3,),B(2,0),直线l与AB平行,则直线l的倾斜角为.解析由已知得k AB=,因此k l=k AB=.因为tan60°=,所以直线l的倾斜角为60°.答案60°7.已知点P(0,-1),点Q在直线x-y+1=0上,若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,则点Q的坐标是.解析依题意设点Q的坐标为(a,b),则有解得故点Q的坐标为(2,3).答案(2,3)8.已知l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0,则下列说法正确的是(填序号).①若l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0②若l1⊥l2,则=-1③若A1A2+B1B2=0,则l1⊥l2④若=-1,则l1⊥l2.解析当B1,B2均不为0时,由两条直线垂直可得-=-1,即A1A2+B1B2=0;当B1=0,A2=0或A1=0,B2=0时,两条直线也垂直,并满足A1A2+B1B2=0.由此可知①③④正确,②错.答案①③④9.(1)求与直线5x+3y-10=0平行且与x轴的交点到原点的距离为2的直线方程;(2)求经过点(0,2)且与直线l:2x-3y-3=0垂直的直线方程.解(1)设直线方程为5x+3y+m=0(m≠-10).因为直线与x轴的交点到原点的距离为2,且直线与x轴的交点为,所以=2,解得m=±10.又因为m≠-10,所以m=10,所以直线方程为5x+3y+10=0.(2)因为所求直线与直线l:2x-3y-3=0垂直,所以可设所求直线的方程为3x+2y+m=0.又因为所求直线过点(0,2),所以4+m=0,解得m=-4,故所求直线的方程为3x+2y-4=0.10.导学号91134044已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点.(1)求点D,使直线CD⊥AB,且BC∥AD;(2)判断此时四边形ACBD的形状.解(1)如图,设D(x,y),则由CD⊥AB,BC∥AD,可知得解得即点D坐标为(0,1).(2)∵k AC=,k BD=,∴k AC=k BD.∴AC∥BD,∴四边形ACBD为平行四边形.而k BC==-2,∴k BC·k AC=-1.∴AC⊥BC,∴四边形ACBD是矩形.∵DC⊥AB,∴四边形ACBD是正方形.B组能力提升1.若过点A(-2,2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为()A.-1B.3C.2D.解析由已知k AB=k PQ,得,解得m=3,故选B.答案B2.已知直线l1:mx+4y-2=0与l2:2x-5y+n=0互相垂直且垂足为(1,p),则m-n+p的值为()A.24B.20C.0D.-8解析因为l1⊥l2,所以2m+4×(-5)=0,解得m=10,又点(1,p)在l1上,所以10+4p-2=0,即p=-2,因为点(1,p)在l2上,所以2×1-5p+n=0,得n=-12.所以m-n+p=10-(-12)+(-2)=20.答案B3.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析若△OAB为直角三角形,则∠A=90°或∠B=90°.当∠A=90°时,有b=a3;当∠B=90°时,有=-1,得b=a3+.故(b-a3)=0,选C.答案C4.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且直线l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=.解析依题意知,直线l的斜率为k=tan135°=-1,则直线l1的斜率为1,于是有=1,所以a=0.又直线l2与l1平行,所以1=-.即b=-2,所以a+b=-2.答案-25.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程为.解析所求直线与直线2x+3y+5=0平行,则其斜率为-,可设直线方程为y=-x+b,令y=0,得x=b,由题意可得b+b=,解得b=,所以所求直线的方程为y=-x+,即2x+3y-4=0.答案2x+3y-4=06.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=. 解析设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2.由l3⊥l1得2×m=-1,∴m=-;由l3⊥l2得1×m=-1,∴m=-.答案-或-7.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标.(1)∠MOP=∠OPN(O为坐标原点);(2)∠MPN是直角.解设P(x,0),(1)∵∠MOP=∠OPN,∴MO∥PN,∴k OM=k NP,又k OM==1,k NP=.∴=1,解得x=7,即点P为(7,0).(2)∵∠MPN=90°,∴MP⊥NP,∴k MP·k NP=-1.∵k MP=,k NP=,∴=-1,解得x=1或x=6.∴P为(1,0)或(6,0).8.导学号91134045如图,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直?解如图,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.由|AD|=5m,|AB|=3m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM,∴k AC·k DM=-1,即=-1,解得x=.故当|BM|=3.2m时,两条小路AC与DM互相垂直.。
高中数学第二章解析几何初步21直线与直线的方程213两条直线的位置关系课件北师大版必修2(1)
解析：(1)由题意知l2恰好是x轴，所以l1∥l2. (2)k1＝1，k2＝22－－11＝1，k1＝k2， 所以l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝01－ －10＝－1，k2＝－3－1－20＝－1. 又kAM＝－3－1－10＝－2≠－1，所以l1∥l2. (4)l1⊥x轴，l2⊥x轴，且l1与l2不重合，所以l1∥l2.
答案：4x＋y－14＝0
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
又kAP＝y＋2 5，kBP＝y－－66，kAP·kBP＝－1， 即y＋2 5·－y－6 6＝－1，解得y＝－6或y＝7. 所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)，故选C. 答案：C
类型三直线平行与垂直关系的应用 [例3] 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)， B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．
【思路点拨】 首先设出D点坐标，再利用AD与CD垂直，AD 与BC平行的关系得：kAD·kCD＝－1；kAD＝kBC，可解．
【解析】 设第四个顶点 D 的坐标为(x，y)，
因为 AD⊥CD，AD∥BC，
所以 kAD·kCD＝－1，且 kAD＝kBC.
所以yxyx－ －－ －1010·＝yx－ －23－－23＝01，－1
(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝
40－40 10－－10
＝0，则l2∥x
轴，∴l1⊥l2.
方法归纳
使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤 (1)首先查看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的 斜率不存在，若不相等，则将点的坐标代入斜率公式． (2)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有 参数时，要应用斜率公式对参数进行讨论． 总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与 l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.
(北师大)高中数学必修2课件：2.1.3两条直线的位置关系
数学第二章解析几何初步1・3两条直线的位置关系必修2I第二章解析几何初步数学必修2自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升入门答疑在平面几何中，两条直线平行，同位角相等.［问题1］在平面直角坐标系中，若厶加2,那么它们的倾斜角有什么关系? 斜率有什么关系？［提示］倾斜角相等”斜率相等或不存在.【问题2］若片,仏的斜率相等，心与仏一定平行吗?必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升【提示］平行.目标导航1. 理解两条直线平行或垂直的判断条件.2. 会利用斜率来判断两条直线平行或垂直.3. 能够利用直线的斜率来判断含字母参数的两直线的平行或垂直.自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评•知能提升1\、<2的倾斜角«1> «2间的关系高效测评•知能提升走进教材知识点两条直线平行、垂直的判断/11/211l«7~90°0）②③ ④所示）若厶、＜2的斜率都不存在，则miL_（如图②所示）或h与b重合③所示）若＜1、b有一条直线的斜率不存在，则厶丄b©另一条直线的斜率盘伽图④所示）必修2I斜率间的关系偌h、＜2的斜率都存在,设仁y=kx +加，h『=席+若厶、b的斜率都存在，则h//l2若li、b的斜率都存在，1/10处=屆，且久秋图①1/2＜4 处•他=一1（如I［强化拓展］如果已知两直线的一般式方程，可以利用方程系数间的关系来判断两直线的 平行或垂直.设两直线厶：Aix+Bij+Ci=O, %： 42兀+〃"+。
2=0, 则人2〃1=。
且 AQ -A2GHO;必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升［自主练习］1.已知A(0, -4), B(5, —4),则直线AB 与直线兀=0的位置关系是()A.平行 D.非以上情况解析：•・•点的纵坐标相等,• • ^AB = 0，直线与兀=0垂直• 答案：B必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升B.垂直C.重合2.下列说法正确的有（）①若不重合的两直线斜率相等，则它们平行; ② 若则 ki=k 2；③ 若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0,则两直线 垂直;④若与b 的斜率都不存在，则厶仏 A. 4个B. 3个必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升D. 1个C. 2个正确;④不正确，两条直线可能重合.答案：C3.已知直线厶的斜率为冃，直线b 经过点A ⑶，一2), B(0, J+1),且h 丄b ，则实数 ______解析：因为/山2,所以臥2=-1, 3『+1_(-2)即 4X 0—3« =一1， 解得a=l 或a=3, 所以当a=l 或a=3时，必修2I答案：1或34.如图在-OABC 中，0为坐标原点，点C(l,3).(1)求0C 所在直线的斜率；⑵过C 作CD 丄仙于D,求直线CD 的斜率.解析：⑴：•点 0(0,0), C(l,3),必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升3—0・：OC所在直线的斜率^c=Po=3.数学第二章 解析几何初步1(2)在口OABC 中，AB//OC,T CD 丄 AB, :・CD 丄0C,~1 1.\k 0C 9k CI)=—lf kcD=k°c=—3・ 故直线CD 的斜率为-必修2 自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升第二章解析几何初步数学必修2自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升合作探究•课堂例DM判断下列各小题中的直线A, b是否平行：⑴厶经过点A(-l, -2), 5(2,1), %经过点M(3, 4), N(-1, -1)；(2)h经过点A(-3,2), 5(-3,10), %经过点M(5, -2), N(5,5)；(3)厶的倾斜角为60。
2020_2021学年高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系ppt课件北师大版必修2
§1 直线与直线的方程
1.3 两条直线的位置关系
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一 两条直线平行 [填一填]
(1)两条不重合直线 l1：y＝k1x＋b1 和 l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)， 若 l1∥l2，则 k1＝k2 ；反之，若 k1＝k2，则 l1∥l2 ，如图所 示．
一、选择题 1．下列说法中正确的是( B ) A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两直线的斜率之积为－1 D．只有斜率相等的两条直线才一定平行
解析：A，C，D 三项均没有考虑到斜率不存在的情况．
2．如果直线 l1 的斜率为 a，l1⊥l2，则直线 l2 Fra bibliotek斜率为( D )
解：(1)当两直线斜率都存在，即 m≠－32且 m≠1 时， 有 k1＝21m－＋m3，k2＝mm＋ －21. ∵两直线互相垂直，∴21m－＋m3·mm＋ －21＝－1.∴m＝－1.
(2)当 m＝1 时，k1＝0，k2 不存在，此时亦有两直线垂直． 当 2m＝－3，即 m＝－32时，k1 不存在， k2＝mm＋－21＝－－3232＋－21＝－15，l1 与 l2 不垂直． 综上 m＝±1.
[填一填]
(1)设直线 l1：y＝k1x＋b1，直线 l2：y＝k2x＋b2.若 l1⊥l2，则 k1·k2＝ －1 ；反之，若 k1·k2＝－1，则 l1⊥l2 .
(2)对于直线 l1：x＝a，直线 l2：y＝b，由于 l1⊥ x 轴， l2⊥ y 轴，所以 l1⊥l2.
[答一答] 3．两条直线 l1，l2 垂直，它们的斜率之积一定为－1，这句 话正确吗？
高中数学北师大版必修二2.1.3【教学课件】《两条直线的位置关系》
答案是肯定的。
北京师范大学出版社 | 必修二
探索新知
两直线平行或垂直的判断
l1∥l2
l1、l2的倾斜角
α 1、α 2间的关系
l1⊥l2
|α 2－α 1|＝900
α 1=α 2
图示
北京师范大学出版社 | 必修二
斜率间的关系(若l1、 则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2 l2的斜率都存在， 设l1：y＝k1x＋b1，
北京师范大学出版社 | 必修二
例2 已知三点A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，求证：△ABC是直角三角形。
−������ − ������ ������ =− ������ − ������ ������
������ − ������ = ������ ������ − ������
−������ − ������ ������ =− ������ − ������ ������
������������ + ������ − ������ = ������ 即 ������ ≠ −������
北京师范大学出版社 | 必修二
������ ������ 法二：当m≠－1时，直线l1的斜率k1＝− ，在y轴上的截距b1＝− ； ������ + ������ ������ + ������ ������ ������ 直线l2的斜率k2＝ − ，在y轴上的截距b2＝ 。 ������ ������ ������ ������ =− ∵l1∥l2，∴ − ������ + ������ ������ ������ ������ 且 − ，解得m＝－3或m＝2。 ≠ ������ + ������ ������ ������ 当m＝－1时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝ ，显然不平行。
高中数学平面解析几何初步两条直线的位置关系两条直线相交平行与重合的条件高数学
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求与直线 3x＋4y＋1＝0 平行且过点(1，2)的直 线 l 的方程．
解：法一：设直线 l 的斜率为 k，因为直线 l 与直线 3x＋4y ＋1＝0 平行，所以 k＝－34． 又因为直线 l 过点(1，2)，
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解：(1)A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0， 得(m－2)2≠4 即 m－2≠±2， 所以当 m≠4 且 m≠0 时 l1 与 l2 相交． (2)由 A1B2－A2B1＝0 得 m＝0 或 m＝4， 当 m＝0 时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3 ＝0，此时 l1∥l2； 当 m＝4 时，两直线方程为 2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0， 此时 l1∥2． 故 m＝0 或 m＝4 时，两直线 l1∥l2． (3)由12/13(/2202)1知，直线 l1 与 l2 不可能重合．
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1．若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直 线重合的情况． 2．求平行直线的方程时，对于斜率为零及不存在的情形要单 独讨论．
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1．已知 A(2，0)，B(3，3)，直线 l∥AB，则直线 l 的斜率 k
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【解】 (1)k1＝12－－((－－21))＝1，k2＝－ －11－ －43＝54， 因为 k1≠k2，所以 l1 与 l2 不平行． (2)k1＝1，k2＝22－－11＝1，因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
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[学习目标] 1.能通过两条直线的斜率判定两直线平行或垂直． 2.能将 直线的平行或垂直转化为代数问题.
课前自主学习
【主干自填】
1．两直线平行与斜率的关系
(1)对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别是 k1，k2，有 l1∥l2⇔
□01 k1＝k2 .
(2)如果 l1，l2 的斜率都不存在，并且 l1 与 l2 不重合，那么它们都与
提示：不一定．两条直线垂直，只有在斜率都存在时，斜率之积才为－ 1.若其中一条直线斜率为 0，而另一条直线斜率不存在，两直线垂直，但斜率 之积不是－1.
提示
2．已知直线 l1 过 A(2,3)和 B(－2,6)，直线 l2 过点 C(6,6)和 D(10,3)．则 l1 与 l2 的位置关系为( )
直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
答案 A
解析 当 k1＝k2 时，l1 与 l2 平行或重合，①不正确，②中斜率不存在时，
不正确；④同①也不正确．只有③正确.
答案
解析
例 2 已知直线 l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1 ＝0，如果 l1∥l2，求 m 的值．
A．2 B．1 C．0 D．－1 提示：C 直线 l1 的斜率 k1＝1－2－－01＝1， ∵l1⊥l2，∴l2 斜率存在，l2 的斜率 k2＝1a－ －01＝a－1 1， 由 l1⊥l2，得 k1k2＝－1，即 1×a－1 1＝－1，解得 a＝0.
提示
4．与直线 3x－2y＋1＝0 垂直，且过点(1,2)的直线 l 的方程是________． 提示：2x＋3y－8＝0 设与 3x－2y＋1＝0 垂直的直线方程为 2x＋3y＋b ＝0，将(1,2)代入方程，得 b＝－8， ∴直线 l 的方程为 2x＋3y－8＝0.
答案
(3)由方程知 l1⊥x 轴，l2⊥x 轴，且两直线在 x 轴上的截距不相等，则 l1 ∥l2.
(4)由方程知 l1⊥y 轴，l2⊥x 轴，则 l1⊥l2.
答案
类题通法 已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法
(1)若两直线 l1 与 l2 的斜率均存在，当 k1·k2＝－1 时，l1⊥l2；当 k1＝k2， 且它们在 y 轴上的截距不相等时，l1∥l2.
□02 x 轴 垂直，故 l1 □03 ∥ l2.
2．两直线垂直与斜率的关系
(1)如果直线 l1，l2 的斜率都存在，并且分别为 k1，k2，那么 l1⊥l2
⇔ □04 k1k2＝－1 .
(2)如果两直线 l1，l2 中的一条斜率不存在，另一个是零，那么 l1 与 l2 的
位置关系是 □05 l1⊥l2 .
A．l1⊥l2 B．l1 与 l2 重合 C．l1∥l2 D．非以上答案 提示：C 由斜率公式 kAB＝－6－2－32＝－34，kCD＝130－－66＝－34. ∵kAB＝kCD，由已知可知，直线 AB 与 CD 不重合． ∴l1∥l2.
提示
3．直线 l1 过 A(－1,0)和 B(1,2)，l2 与 l1 垂直且 l2 过点 C(1,0)和 D(a,1)， 则 a 的值为( )
[解] (1)当 m＝0 时，l1：x＋2＝0， l2：2x－12y－1＝0，显然 l1 与 l2 不平行． (2)当 m＝3 时，l1：5x＋4＝0，l2：2x－1＝0，l1 与 l2 的斜率均不存在， ∴l1∥l2.
答案
(3)当 m≠0 且 m≠3 时， l1：y＝－mm2－＋32mx－m2－4 3m， l2：y＝－4m2－3x＋4m1－3. ∵l1∥l2，∴－mm2－＋32m＝－4m2－3. 解得 m＝－4，此时 l1：y＝114x－17，l2：y＝114x－218， l1 与 l2 平行但不重合．综上所述：m＝3 或 m＝－4.
【即时小测】 1．思考下列问题 (1)l1∥l2⇔k1＝k2 成立的前提条件是什么？
提示：两直线斜率存在且 l1 与 l2 不重合．
提示
(2)若两条直线平行，斜率一定相等吗？ 提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在时，斜率相等，若两条直 线垂直于 x 轴，它们平行但斜率不存在．
提示
(3)若两条直线垂直，它们斜率之积一定为－1 吗？
解 (1)当 a≠0 时，l1 的斜率 k1＝a，l2 的斜率 k2＝－2aa－1. ∵l1⊥l2，∴a·－2aa－1＝－1，即 a＝1. (2)当 a＝0 时，直线 l1 的斜率为 0，l2 的斜率不存在，两直线垂直． 综上所述，a＝0 或 a＝1 为所求.
提示
课堂互动探究
例 1 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (3)l1：x＝2，l2：x＝4； (4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
[解] (1)将两直线方程分别化为斜截式： l1：y＝－35x＋65；l2：y＝－35x－130. 则 k1＝－35，b1＝65，k2＝－35，b2＝－130. ∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2. (2)将两直线方程分别化为斜截式： l1：y＝12x＋73；l2：y＝－2x＋2. 则 k1＝12，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.
(2)若两直线斜率均不存在，且在 x 轴的截距不相等，则它们平行． 3若有一条直线斜率为0，另一条正确的有( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若 l1∥l2，则 k1＝k2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两
答案
类题通法 借助条件求参数的值
在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条 直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数； 若不能明确两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论．
[变式训练2] 已知直线 l1：ax－y＋2a＝0 与 l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0 互 相垂直，求 a 的值．