函数行列式

偏导数.
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《数学分析》(2) §16.2. 函数行列式的性质 函数相关
~ 当点 (t1 , t 2 ,, t n ) 在 D 中变动时, 对应的点 ( x1 , x2 ,, xn )
不越出区域 D. 于是就可以通过中间变量 x1 , x2 ,, xn 把 y1 , y2 ,, yn 看为 t1 , t 2 ,, t n 的复合函数.
这个性质可以看做反函数导数公式
dy dx 1 的拓广. dx dy
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《数学分析》(2) §16.2. 函数行列式的性质 函数相关
例4 平面上点的直角坐标 ( x , y ) 与极坐标 ( r , ) 之
x r cos , 间的坐标变换为 y r sin ,
由于
D( x, y ) cos D(r , ) sin
D y1 , y2 D t1 , t 2
y1 x1 y2 x1

y1 x1 y1 x2 x1 t1 x2 t1 y2 x1 y2 x2 x1 t1 x2 t1 x1 t1 x2 t1 x1 t 2
y1 x1 y1 x2 x1 t 2 x2 t 2 y2 x1 y2 x2 x1 t 2 x2 t 2
定义于某一n维区域 D中，且有关于一切变元的连续 偏导数. 并且 它们的反函数
x j j ( y1 , y2 ,, yn )( j 1,2,, n)
存在，具有对各变元的连续偏导数. 那么
D( y1 , y2 ,, yn ) D( x1 , x2 ,, xn ) 1. D( x1 , x2 ,, xn ) D( y1 , y2 ,, yn )
f 1 x n f 2 x n f n x n
称为雅可比行列式，或函数行列式，表为
( f1 , f 2 ,, f n ) 或 D( f1 , f 2 ,, f n ) . D( x1 , x2 , xn ) ( x1 , x2 , xn )
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《数学分析》(2) §16.2. 函数行列式的性质 函数相关
《数学分析》(2) §16.2. 函数行列式的性质 函数相关
P 232
一、函数行列式
二、函数行列式的性质
三、函数相关
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《数学分析》(2) §16.2. 函数行列式的性质 函数相关
一、函数行列式
1.定义 给定n个n元函数构成的函数组
y1 f1 ( x1 , x 2 , , x n ), y f ( x , x , , x ), 2 2 1 2 n yn f n ( x1 , x 2 , , x n ),
Fra Baidu bibliotek
例1 平面上点的直角坐标 ( x , y ) 与极坐标 ( r , ) 之
x r cos , 间的坐标变换为 y r sin , D( x, y ) cos r sin r. D(r , ) sin r cos x r cos 例2 柱面坐标变换 y r si n ,
为函数组 yi ( i 1,2, , m )的雅可比矩阵.
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《数学分析》(2) §16.2. 函数行列式的性质 函数相关
如果雅可比矩阵的秩是 r (r m, r n) ,那么由这个矩 阵的元所组成的 r 阶行列式中至少有一个在 D 内不恒 为零,而一切高于r 阶的行列式(假若有的话)恒为零. 现在考虑函数组
二、函数行列式的性质
函数行列式不仅在隐函数存在定理中起着重要作 用，而且在其他不少分析问题和应用中，也是经常出 现的，它有以下主要性质： 性质1 设函数
yi f i ( x1 , x2 ,, xn )(i 1,2,, n)
~ D 定义于某一n维区域 中，且有关于一切变元的连续
定义于某一n维区域 D中，且有关于一切变元的连续 偏导数. 又设 xi i (t1 , t 2 ,, t n )(i 1,2,, n)
x1 1 ( t1 , t 2 ) 得 x2 2 ( t1 , t 2 )
(链式法则)
y1 x1 y1 x2 x1 t 2 x2 t 2 y2 x1 y2 x2 x1 t 2 x2 t 2
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相应地得到 m 1 维空间内的一点 ( y1 , y2 ,, y j 1 , y j 1 ,, ym ) 于是对区域 D 相应得到 m 1 维空间内的一个点集 D' . 如果存在一个函数 ,它的定义域是m 1 维空间里的 某一点集 E ,并且 E 包含了 D' ,使得
y j ( y1 , y2 ,, y j 1 , y j 1 ,, ym )
我们称矩阵(如果矩阵中每一个元都存在的话)
y1 x1 y 2 x 1 y m x 1 y1 x 2 y 2 x 2 y m x 2


y1 x n y 2 x n y m x n
z z cos r sin 0 D( x , y , z ) r. sin r cos 0 D( r , , z ) 0 0 1
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《数学分析》(2) §16.2. 函数行列式的性质 函数相关
例3 球面坐标变换
x sin cos y sin sin , z cos
yi f i ( x1 , x 2 , , x n )( i 1,2, , m ), ()
函数独立和函数相关的条件. 假设这个函数组在区域 D 内具有对一切变元的连 续偏导数.
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《数学分析》(2) §16.2. 函数行列式的性质 函数相关
定理1 若 m n ,函数组 () 的雅可比矩阵中有一个m 阶行列式在 D 内不为零. 例如不妨假设
也就是在区域 D上成立着
y j [ f1 ( x1 , x2 ,, xn ), f 2 ( x1 ,, xn ),, f j 1 ( x1 ,, xn ), f j 1 ( x1 ,, xn ),, f ( x1 ,, xn )], 则称函数组 yi ( i 1,2, , m ) 在D上函数相关.
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《数学分析》(2) §16.2. 函数行列式的性质 函数相关
为了能用微分学来讨论函数的相关性, 我们总假设函数
在 m 1 维区域 E内具有对一切变元的连续偏导数.
如果在区域 D内以及在D的任何部分区域内都不存 在这样的函数 ,使得 y j ( y1, y2 ,, y j 1, y j 1,, ym ) 在所 考虑的区域内为恒等式, 则称函数组 yi (i 1,2,3,, m) 在 D上函数独立. 也就是说,只有在D内以及在 D 的任何部分区域内, 函数组皆非函数相关时才称为在 D 上函数独立.
它们在 n 维空间的某一个区域 D 中有定义. 如果其中有一个函数的数值, 例如 y j , 可以由其余 函数的数值 y1 , y2 ,,y j 1 , y j 1 ,, ym单值地确定时, 就称 函数 y j 在区域 D 中和其余的函数有关, 或称函数组
y1 , y2 , , ym在 D 中函数相关.
1 2 因为 w ( u v ). 2
例6
常数和任何函数都相关.
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《数学分析》(2) §16.2. 函数行列式的性质 函数相关
下面给出判别一组函数相关或独立的条件, 为此需 要引进函数组的雅可比矩阵的概念. 对于函数组
yi f i ( x1 , x 2 , , x n )( i 1,2, , m ),

y1 x2 y2 x2

x2 D x1 , x2 D t1 , t 2 t 2
D y1 , y2 D x1 , x2
这就是所要证明的结论.
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性质2
设函数
yi f i ( x1 , x2 ,, xn )(i 1,2,, n)
此时，yi关于t j、yi 关于x j、xi 关于t j的函数行列式间 D y1 , y2 , , yn D y1 , y2 , D t1 , t 2 , , t n D x1 , x2 , , yn D x1 , x2 , , xn , x n D t1 , t 2 , , t n
可看成复合函数y f ( x ), x ( t )求导公式 dy dy dx 的推广. dt dx dt
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证明： 以n 2证明这个性质.
y1 f1 ( x1 , x2 ) 由 及 y2 f 2 ( x1 , x2 ) y1 y1 D y1 , y2 t1 t 2 y2 y2 D t1 , t 2 t1 t 2 y1 x1 y1 x2 x1 t1 x2 t1 y2 x1 y2 x2 x1 t1 x2 t1
y1 y1 y1 x1 x2 xm y2 y2 y 2 x1 x2 xm 0 ym ym y m x1 x2 xm
(1)
在 D内成立,则函数组 () 在 D 内是函数独立的.
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D( x , y, z ) sin sin D( , , )
sin cos cos
2
cos cos cos sin sin
sin sin
sin cos
0
sin .
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更确切地说, 对n 维区域 D 中任何一点 ( x1 , x2 ,, xn ) , 由函数组( m 1 个函数)
yi f i ( x1 , x2 , , x n )( i 1,2, , j 1, j 1, m ),
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例5
函数组
u x1 x 2 x 3 x4 ,
2 2 2 2 v x1 x2 x3 x4 ,
w x1 x2 x1 x3 x1 x4 x2 x3 x2 x4 x3 x4
在整个四维空间上函数相关.
设它们对每个自变量都存在着偏导数
f i , i 1,2,, n; j 1,2,, n, x j
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行列式
f 1 x1 f 2 x1 f n x1
f 1 x 2 f 2 x 2 f n x 2

定理2 若(1)函数组 () 的雅可比矩阵在 D 内的秩为 r 1; 0 0 ,, xn ) D 达到秩r. (2) 雅可比矩阵在点 M 0 ( x10 , x2
r sin r. r cos
因此除原点 (r = 0) 外, 存在逆变换，并且
D r , 1 1 . D x, y D x, y r D r ,
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三、函数相关
考察函数组
yi f i ( x1 , x2 ,, xn )(i 1,2,, m),