中考数学 专题18 反比例函数中动点问题及图形存在性探究(解析版)

专题18 反比例函数中动点问题及图形存在性探究

1. （2019·山东泰安中考）已知一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数的图象交于点A ，与x m y x =

轴交于点B (5,0)，若OB =AB ，且S △OAB =.152

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）若点P 为x 轴上一点，且△ABP 是等腰三角形，求点

P 的坐标.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）如图，过点A 作AD ⊥x

轴于点D ，

∵B (5,0)，OB =AB ，且S △OAB =

，152∴,即AD =3，1155AD=22

⨯⨯在Rt △ABD 中，由勾股定理得：

BD ,4=∴A 点坐标为（9,3），

∵反比例函数的图象过点A ，m y x

=

∴m =27，

将（9,3），（5,0）代入y =kx +b 得：，解得：9350k b k b +=⎧⎨+=⎩3415

4

k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

即一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：；31544y x =

-27y x

=（2）由题意知，AB =5，

①当AB =BP 时，BP =5，即P 点坐标为（0,0）或（10,0），

②当AB =AP 时，由AD =3知，BP =4，

即点P 与点B 关于点D 对称，即P 点坐标为（13,0），

③当AP =BP 时，即P 在线段AB 的垂直平分线上，

设P (m ，0)，则AP 2=（9－m ）2+9，BP 2=（5－m ）2，

∴（9－m ）2+9 =（5－m ）2

解得：m =，658

即P 点坐标为（，0），658

综上所述，满足题意的P 点坐标为：（0,0），（10,0），（13,0），（

，0）.6582. （2019·四川达州中考）如图，A 、B 两点在反比例函数y ＝的图象上，C 、D 两点在反比例函数1k x

y ＝的图象上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝4，EF ＝3，则k 2﹣k 1＝ ．2k x

【答案】4．

【解析】解：设A （a ，

），C （a ，），B （b ，），D （b ，），1k a 2k a 1k b 2k b 则CA ＝﹣＝2，2k a 1k a 即=2，得a ＝，21k k a -212

k k -同理：BD ＝=4，得b ＝，12k k b -124

k k -又∵a ﹣b ＝3

∴－＝3，212k k -124

k k -解得：k 2﹣k 1＝4.

故答案为：4.

3. （2019·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC =90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y =

（x ＞0）的图象上，若AB =1，则k 的值为x

k （）A .1 B . C . D .22

22

【答案】A .

【解析】解：过点C 作CD ⊥y 轴于D ，

如图所示，∵CA ⊥x 轴，

∴∠ACO =90°，

∴四边形OACD 是矩形，

∵AB =BC =1，

∴S 四边形OACD =2S △ABC =1，即k =1，

故答案为：A .

4. （2019·山东潍坊中考）如图，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝（x 1x ＞0）与y ＝（x ＜0）的图象上，则tan ∠BAO 的值为．

5x -

.

【解析】解：过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B

作BD ⊥x 轴于D ，

则∠BDO ＝∠ACO ＝90°，

∵点A ，B 分别在反比例函数y ＝

（x ＞0）与y ＝（x ＜0）的图象上，1x 5x -∴S △BDO ＝，S △AOC ＝，5212

∵∠AOB ＝90°，

∴∠BOD +∠DBO ＝∠BOD +∠AOC ＝90°，

∴∠DBO ＝∠AOC ，

∴△BDO ∽△OCA ，

∴，()()225BOD AOC OB S

S OA == ∴

OB OA

=∴tan ∠BAO ＝

OB OA =．

5.（2019·甘肃陇南中考）如图，已知反比例函数y =（k ≠0）的图象与一次函数y =－x +b 的图象在k

x 第一象限交于A （1，3），B （3，1）两点

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）已知点P （a ，0）（a ＞0），过点P 作平行于y 轴的直线，在第一象限内交一次函数y =－x +b 的

图象于点M ，交反比例函数y =上的图象于点N ．若PM ＞PN ，结合函数图象直接写出a 的取值范围．

k

x

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵反比例函数y =的图象与一次函数y =－x +b 的图象交于A （1，3），B （3，1）k

x 两点，

代入可得：k =3，b =4，

即反比例函数和一次函数的表达式分别为y =，y =－x +4；

3

x （2）由图象可得：当1＜a ＜3时，PM ＞PN ．

6.（2019·湖北咸宁中考）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A ,B 恰好分别落在函数的图象上，则sin ∠ABO 的值为（ ）)0(4),0(1>=<-=x x

y x x y （A ） （B ） （C ） （D ）3

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