专题一 中考数学压轴题函数直角三角形问题专题一

中考数学压轴题函数直角三角形问题

1、如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点

D ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC 的函数表达式；

（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．

①当线段时，求tan ∠CED 的值；34

PQ AB =②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

思路解析：

1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．

2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．

3．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样写点E 的坐标就简单了．

具体解法：

（1）设抛物线的函数表达式为，代入点C (0，－3)，得．所2(1)y x n =-+4n =-以抛物线的函数表达式为．

22(1)423y x x x =--=--

（2）由，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数

223(1)(3)y x x x x =--=+-表达式为，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得 解得，y kx b =+30,3.

k b b +=⎧⎨=-⎩1k =．所以直线BC 的函数表达式为．

3b =-3y x =-（3）①因为AB ＝4，所以．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以334

PQ AB ==点P 的横坐标为．于是得到点P 的坐标为，点F 的坐标为．所以12-17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭70,4⎛⎫- ⎪⎝

⎭，．75344FC OC OF =-=-=522

EC FC ==进而得到，点E 的坐标为．51322OE OC EC =-=-=10,2⎛⎫- ⎪⎝

⎭直线BC:与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．

3y x =-过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，，所以tan ∠CED ．13222EH OH OE =-=-=23DH EH ==

②，．1(12)P -25(1)2

P -

2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与22153244

m m y x x m m -=-++-+x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．

（1）求点B 的坐标；

（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．

①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；

②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．

图1

思路点拨

1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．

2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长．

3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长．

4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．

具体解答

(1) 因为抛物线经过原点，所以22153244

m m y x x m m -=-

++-+． 解得，（舍去）．因此．所以点B 2320m m -+=12m =21m =21542y x x =-+的坐标为（2，4）．

(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，．解得．21

52(3)342t t t =-⨯+⨯229

t OP ==②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时

3t ＝10．解得．103

t =如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时．解得．

1032t t -=2t =如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时．解得．1034t t -=107

t =

3如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．

（1）求x 的取值范围；

（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；

（3）探究：△ABC 的最大面积？

图1

思路点拨

1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．

2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．

3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．

具体解答

（1）在△ABC 中，，，，所以 解得

1=AC x AB =x BC -=3⎩⎨

⎧>-+->+.31,31x x x x ．

21<

5=x 21<

x 21<

4=x （3）在△ABC 中，作于D ，设，△ABC 的面积为S ，则．AB CD ⊥h CD =xh S 21=

①如图2，若点D 在线段AB 上，则．移项，得

x h x h =--+-222)3(1．两边平方，得．整

2221)3(h x h x --=--22222112)3(h h x x h x -+--=--