第8章_平面问题的复变函数解
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1、K-M函数表达的位移偏导数表达式
对于平面应力问题，根据物理方程和几何方程的前两式，可得
其中
设。由于K-M函数 为解析函数，其连续可导，应满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件，即
由于
取其共轭
因此可得
即
将上式代入公式
可得
2、积分确定位移分量
将公式
分别对x和y积分，可得
根据几何方程的第三式和切应力表达式代入切变胡克定理，上式可以写作
和(z)表达。和(z)称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M
函数，均为单值解析函数。
Re为表示复变函数实部的符号。
§8. 2应力分量的复变函数表示
学习思路：
应力函数已经通过K-M函数表示，但是这还不够，为了下一步的工作，本节的工作是将应力分量表示为复变函数形式，即使用K-M函数表示应力分量。
这一工作的主要内容是写出K-M函数对直角坐标的偏导数，应该注意，本章应力分量表达式也是写作复变函数表达形式的。
有
将上述两式相加，可以得到
将上式分别对x和y求一阶导数，可得
其中
2、应力分量表达式
上述公式
的第一式减去第二式乘以i，可得
即
将公式的第一式加上第二式乘以i，可得
取其共轭，则
上述公式推导中，引入和。公式是用单值解析函数 和(z)表示的应力分量，自然满足平衡微分方程和变形协调方程。
§8. 3位移的复变函数表示
学习要点：
1、双调和方程的复变函数表达形式；2、双调和函数的复变函数形式
1、双调和方程的复变函数表达形式
在弹性力学的复变函数求解中，应力函数用U（x，y）表示， 有其它定义。
设应力函数U（x，y）为双调和函数，首先考虑变形协调方程的复变函数表达形式。
对于复变函数z=x+ iy，取其共轭，则=x- iy。因此z和均为x，y的函数。复变函数z可以写作z=ei，其共轭=e-i，因此z和又可以表示为坐标和的函数。
二、重点
1、K-M函数与应力函数、应力分量、位移和边界条件等；2、无限大多连域的K-M函数形式；3、保角变换与曲线坐标；4、椭圆孔口与平面裂纹问题。
§8. 1应力函数的复Biblioteka Baidu函数表示
学习思路：
弹性力学应力解法的基本方程是双调和方程，问题求解的关键是建立满足边界条件的双调和函数。对于复变函数解，重要的问题是将双调和函数表达为复变函数形式。
由于，而zk在域S之外，域内为单值解
思考题：
1、根据上述面力边界条件说明：对于单连域弹性体，K-M函数为单值解析函数，而对于多连域，K-M函数将不再是单值的。
解答：如讨论的物体为单连域，由于 和均为单值解析函数。因此，当A和B重合时，也就是说积分曲线闭合时，则
＝0，这表明作用在物体边界上的边界面力，必组成一个平衡力系。这一结论是必然的，要使问题有解，边界上的面力必须满足这个条件。
2、应力分量的单值条件
由于应力分量必须是单值的，而应力分量与K-M函数的关系，有
所以 的实部，即Re必须是单值的。
假如函数环绕多连域内部任意一个内边界lk绕行一周时，如果多值，只能是虚部多值。根据应力表达式
其多值部分只能是一个虚常数增量。为方便进一步分析，令此虚数增量为2iAk，其中Ak为实常数。
根据复变函数性质，若复变函数绕lk一周，如果有增量，其只能是对数函数产生的。因此设由两部分组成，一部分是在S内单值解析的；另一部分是Akln (z-zk)，则其绕lk一周有增量2iAk。有
整理可得
或者写作
上述分析表明，如果已知K-M函数 和(z)时，则平面应力状态下的位移分量也是确定的。
对于平面应变问题，只须将弹性模量和泊松比
做对应的替换则可。
§8.4边界条件的复变函数表示
学习思路：
边界条件应用是弹性力学分析的重要步骤，本节讨论应用K-M表示面力边界条件。由于应力和位移分量都是复变函数表示的，为方便进一步的分析，面力边界条件也需要用K-M函数表达。
保角变换和曲线坐标
应力分量的曲线坐标表达式
利用孔口边界条件确定K-M函数
椭圆孔口的保角变换
裂纹—短轴为零的椭圆
切应力作用的裂纹前缘应力
一、内容介绍
通过直角坐标和极坐标系，可以求解一些弹性力学平面问题。但是，这些方法只能用于某些边界比较特殊的平面问题，特别是对于多连域问题更显得无能为力。
本章介绍复变函数解法，实质仍然是在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，但应用中成为在给定的边界条件下寻找两个解析函数K-M函数的问题。求解分析步骤为：
在直角坐标系中，边界条件是以函数形式表示的，对应于一点的边界条件。而在复变函数解中，更多使用边界线段的表达形式，这是复变函数性质决定的。
用复变函数描述的面力边界条件有三个。显然，这三个关系式不是独立的，仅有两个独立关系。
学习要点：
1、任意一点的面力边界条件复变函数表达；
2、边界线段AB的面力边界条件：
上述公式表示了边界面力矢量与K-M函数 和(z)之间的关系。
显然对于给定的面力矢量，公式的右边为边界点的确定的函数，即已知函数；而左边为坐标z从弹性体区域内部向区域的边界趋近时的复位势函数值。
3、边界力矩与K-M函数的关系
如果将边界线段AB的面力矢量对坐标原点取矩，并利用关系式
可以得到
对上式作分部积分，可得
当绕lk一周时，除了Akln (z-zk)以外，其余各项均恢复原值。其中zk为lk内任一点，即其在域S之外。对上式积分可得
应该注意的是，在多连域内是单值连续的，但是其积分却不一定是单值连续的。设其有增量2iCk，则
将上式代入复位势函数表达式，可得
上式中，Ak为实常数，而k为复常数。即在多连域内，为一个单值解析函数再加上前面两项。对于应力分量表达式
则由几何关系
将上式代入公式
可得
将上述面力矢量用复数形式表达为Fsx+ iFsy，则
将公式
代入上式，可得
即
2、边界线段AB的面力边界条件
公式 的左边表示边界面力矢量在微分线段ds上的主矢量。将公式沿边界从定点A到动点B（设B点的坐标为z）积分，则可得边界面力矢量在弹性体边界线段AB上的主矢量
由于在K-M函数和(z)中，增加或减少一个复常数并不影响应力值，因此可以适当的选取K-M函数，使上式的常数为零。则
注意到
和
回代可得
公式的左边在外力给定的条件下，为边界点的确定函数。公式的右边为K-M函数由弹性体内部向边界趋近时的数值。
4、位移边界条件
下面再讨论位移边界条件，当边界位移给定时，设边界位移为
u=u,v=v
则根据位移边界条件，有
上式即为K-M函数表示的位移边界条件。
到此为止，求解弹性力学平面问题，由在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，变换为在给定的边界条件下寻找解析函数 和(z)的问题。
首先分别根据应力分量的单值条件，将K-M函数和(z)分解为单值解析函数和可能的多值函数两部份，构造可能的K-M函数和(z)的形式。然后根据位移的单值条件和内边界面力边界条件确定待定的系数。最后得到多连域中位移和应力分量单值连续的K-M函数形式。
学习要点
1、单连域中的单值解析函数和(z)在多连域中可能是多值的；
同理，x，y也可以表示为z和的函数，有
因此，应力函数也可以表示为复变函数z和 的函数，有
注意到
应力函数U（x，y）对坐标x，y的导数也可以表示为对复变函数z和 的求导运算，有
将上式的后两式相加，可以得到调和方程的复变函数表达形式
双调和方程的复变函数表达式为
2、双调和函数的复变函数形式
对于应力函数U（z）的复变函数表示。将双调和方程的复变函数表达式
§8.5多连域中φf(z)和(z)的一般表达式
学习思路：
本节的主要任务是确保描述应力和位移分量的K-M函数的单值性。
单连域中的单值解析函数和(z)在多连域可能不再是单值的。因此K-M函数和(z)表示的应力和位移形式也可能不再单值。要保证应力和位移分量的单值性，必须讨论K-M函数和(z)在多连域中的可能形式。
3、边界力矩与K-M函数的关系：
4、位移边界条件：
思考题：
1、根据上述面力边界条件说明：对于单连域弹性体，K-M函数为单值解析函数，而对于多连域，K-M函数将不再是单值的。（解答）
1、任意一点的面力边界条件复变函数表达
对于弹性力学平面问题，其面力边界条件为
将复变函数表示的应力分量表达式
代入上式，则
设AB为弹性体的任意一段边界，而s是从边界上一点A量取的弧长（边界的外法线n指向弧长的右边），如图所示
学习要点与思路：
本节工作是将位移分量表示为复变函数形式，通过K-M函数表达弹性体位移。
对于应力解法，如果应力函数满足变形协调方程，则单连域问题应力函数描述的变形已经是协调的。一般的讲，不需要专门分析位移。但是对于复变函数弹性力学解，处理的问题均为多连域问题，因此位移单值连续条件即使对于应力解法也是不可缺省的。
本节引入复变函数
，和
这主要是简化公式的描述，并没有增加未知函数。上述函数均称为K-M函数。
学习要点：
1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示；2、应力分量表达式
1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示
对于无体力的弹性力学问题。如果选取的应力分量满足
则上述应力分量自然是满足平衡微分方程的。这里的问题是选取的应力函数是复变函数形式表达的，而且是由K-M函数描述的。因此，应力分量也必须通过K-M函数表达。根据公式
1、分别将应力函数、应力分量、位移和边界条件等表示为复变函数形式，就是用K-M函数表示；
2、探讨无限大多连域中，K-M函数的表达形式，将其表示为级数形式；
3、利用保角变换将无限大多连域映射为单位圆，使得问题的边界条件简化；
4、将边界条件转化为柯西积分，求解级数系数，从而使得问题求解。
如果你还没有学习复变函数课程，请你学习附录2或者查阅有关参考资料。
但是对于多连域问题中，K-M函数 和(z)可能表现为多值函数，尽管它们在单连域中是单值连续的解析函数。
对于多连域弹性体S，具有m个内边界和一个外边界，而分别为内边界中的点，如图所示
那么如何选择这些K-M函数，才能保证应力分量和位移分量的单值连续条件呢。这里的原则是保证应力和位移分量的单值性，分别根据应力分量的单值条件，构造可能的K-M函数和(z)的形式，然后根据位移的单值条件和面力边界条件确定待定的系数。
在位移的复变函数表达式推导中，首先将几何方程代入物理方程的前两式，得到位移偏导数的表达式，这是K-M函数对x，y坐标的偏导数。积分确定位移表达式，并且根据物理方程的第三式，确定弹性体的刚体位移，写出K-M函数表达的位移复变函数表达形式。
学习要点：
1、K-M函数表达的位移偏导数表达式；2、积分确定位移分量；3、位移分量的复变函数表达形式
乘以2，并对 作积分，可得
对 再作一次积分，可得
对z作一次积分，可得
对z再作积分一次，可得
应力函数U(z)的复变函数表达式中，有四个待定函数。注意到应力函数为实函数，因此公式右边的复变函数的虚部必须为零。所以上述函数必须是两两共轭的，即
或者
因此应力函数可以用两个待定函数表示为
或者
上述公式称为古尔萨（Goursat）公式。公式将双调和函数通过两个复变函数
第八章
知识点
双调和方程的复变函数表达形式
应力分量复变函数表达式
应力分量的单值条件
多连域的K-M函数
无穷远应力与K-M函数
位移分量的曲线坐标表达
保角变换公式与K-M函数
柯西积分确定K-M函数
孔口应力
裂纹前缘应力分布
双调和函数的复变函数形式
位移分量的复变函数表达形式
位移分量的单值条件
无限大多连域中K-M函数的一般形式
本节首先将双调和方程表示为复变函数形式；然后通过积分用解析函数表示双调和函数。学习时应该注意：应力函数为实函数，通过复变函数表达的双调和函数也是实函数，因此应力函数虚部等于零。
上述分析的结果是使得应力函数通过两个单值解析函数和(z)表示。
和(z)称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M函数；或者称为复位势函数。
2、应力分量的单值条件；3、位移分量的单值条件；
4、多连域中位移和应力分量单值连续的K-M函数形式：
1、单连域中的单值解析函数和(z)在多连域中可能是多值的
对于弹性力学的应力解法，若K-M函数和(z)满足公式，即
则应力分量已经满足平衡微分方程，变形协调方程，对于单连域问题，
和(z)均为单值解析函数。根据边界条件，问题就可以求解。
将位移表达式代入上式，则
整理可得
根据柯西-黎曼条件，公式左边第一项为零，所以
因此，g(x)=x+ v0,f(x)=y+ u0。这一结果说明：g(x)和f(y)表示刚体位移，因此对于变形分析，可以略去不计。即公式可以表示为
3、位移分量的复变函数表达形式
将上述两式
相加，则可得K-M函数表示的位移分量。有
对于平面应力问题，根据物理方程和几何方程的前两式，可得
其中
设。由于K-M函数 为解析函数，其连续可导，应满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件，即
由于
取其共轭
因此可得
即
将上式代入公式
可得
2、积分确定位移分量
将公式
分别对x和y积分，可得
根据几何方程的第三式和切应力表达式代入切变胡克定理，上式可以写作
和(z)表达。和(z)称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M
函数，均为单值解析函数。
Re为表示复变函数实部的符号。
§8. 2应力分量的复变函数表示
学习思路：
应力函数已经通过K-M函数表示，但是这还不够，为了下一步的工作，本节的工作是将应力分量表示为复变函数形式，即使用K-M函数表示应力分量。
这一工作的主要内容是写出K-M函数对直角坐标的偏导数，应该注意，本章应力分量表达式也是写作复变函数表达形式的。
有
将上述两式相加，可以得到
将上式分别对x和y求一阶导数，可得
其中
2、应力分量表达式
上述公式
的第一式减去第二式乘以i，可得
即
将公式的第一式加上第二式乘以i，可得
取其共轭，则
上述公式推导中，引入和。公式是用单值解析函数 和(z)表示的应力分量，自然满足平衡微分方程和变形协调方程。
§8. 3位移的复变函数表示
学习要点：
1、双调和方程的复变函数表达形式；2、双调和函数的复变函数形式
1、双调和方程的复变函数表达形式
在弹性力学的复变函数求解中，应力函数用U（x，y）表示， 有其它定义。
设应力函数U（x，y）为双调和函数，首先考虑变形协调方程的复变函数表达形式。
对于复变函数z=x+ iy，取其共轭，则=x- iy。因此z和均为x，y的函数。复变函数z可以写作z=ei，其共轭=e-i，因此z和又可以表示为坐标和的函数。
二、重点
1、K-M函数与应力函数、应力分量、位移和边界条件等；2、无限大多连域的K-M函数形式；3、保角变换与曲线坐标；4、椭圆孔口与平面裂纹问题。
§8. 1应力函数的复Biblioteka Baidu函数表示
学习思路：
弹性力学应力解法的基本方程是双调和方程，问题求解的关键是建立满足边界条件的双调和函数。对于复变函数解，重要的问题是将双调和函数表达为复变函数形式。
由于，而zk在域S之外，域内为单值解
思考题：
1、根据上述面力边界条件说明：对于单连域弹性体，K-M函数为单值解析函数，而对于多连域，K-M函数将不再是单值的。
解答：如讨论的物体为单连域，由于 和均为单值解析函数。因此，当A和B重合时，也就是说积分曲线闭合时，则
＝0，这表明作用在物体边界上的边界面力，必组成一个平衡力系。这一结论是必然的，要使问题有解，边界上的面力必须满足这个条件。
2、应力分量的单值条件
由于应力分量必须是单值的，而应力分量与K-M函数的关系，有
所以 的实部，即Re必须是单值的。
假如函数环绕多连域内部任意一个内边界lk绕行一周时，如果多值，只能是虚部多值。根据应力表达式
其多值部分只能是一个虚常数增量。为方便进一步分析，令此虚数增量为2iAk，其中Ak为实常数。
根据复变函数性质，若复变函数绕lk一周，如果有增量，其只能是对数函数产生的。因此设由两部分组成，一部分是在S内单值解析的；另一部分是Akln (z-zk)，则其绕lk一周有增量2iAk。有
整理可得
或者写作
上述分析表明，如果已知K-M函数 和(z)时，则平面应力状态下的位移分量也是确定的。
对于平面应变问题，只须将弹性模量和泊松比
做对应的替换则可。
§8.4边界条件的复变函数表示
学习思路：
边界条件应用是弹性力学分析的重要步骤，本节讨论应用K-M表示面力边界条件。由于应力和位移分量都是复变函数表示的，为方便进一步的分析，面力边界条件也需要用K-M函数表达。
保角变换和曲线坐标
应力分量的曲线坐标表达式
利用孔口边界条件确定K-M函数
椭圆孔口的保角变换
裂纹—短轴为零的椭圆
切应力作用的裂纹前缘应力
一、内容介绍
通过直角坐标和极坐标系，可以求解一些弹性力学平面问题。但是，这些方法只能用于某些边界比较特殊的平面问题，特别是对于多连域问题更显得无能为力。
本章介绍复变函数解法，实质仍然是在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，但应用中成为在给定的边界条件下寻找两个解析函数K-M函数的问题。求解分析步骤为：
在直角坐标系中，边界条件是以函数形式表示的，对应于一点的边界条件。而在复变函数解中，更多使用边界线段的表达形式，这是复变函数性质决定的。
用复变函数描述的面力边界条件有三个。显然，这三个关系式不是独立的，仅有两个独立关系。
学习要点：
1、任意一点的面力边界条件复变函数表达；
2、边界线段AB的面力边界条件：
上述公式表示了边界面力矢量与K-M函数 和(z)之间的关系。
显然对于给定的面力矢量，公式的右边为边界点的确定的函数，即已知函数；而左边为坐标z从弹性体区域内部向区域的边界趋近时的复位势函数值。
3、边界力矩与K-M函数的关系
如果将边界线段AB的面力矢量对坐标原点取矩，并利用关系式
可以得到
对上式作分部积分，可得
当绕lk一周时，除了Akln (z-zk)以外，其余各项均恢复原值。其中zk为lk内任一点，即其在域S之外。对上式积分可得
应该注意的是，在多连域内是单值连续的，但是其积分却不一定是单值连续的。设其有增量2iCk，则
将上式代入复位势函数表达式，可得
上式中，Ak为实常数，而k为复常数。即在多连域内，为一个单值解析函数再加上前面两项。对于应力分量表达式
则由几何关系
将上式代入公式
可得
将上述面力矢量用复数形式表达为Fsx+ iFsy，则
将公式
代入上式，可得
即
2、边界线段AB的面力边界条件
公式 的左边表示边界面力矢量在微分线段ds上的主矢量。将公式沿边界从定点A到动点B（设B点的坐标为z）积分，则可得边界面力矢量在弹性体边界线段AB上的主矢量
由于在K-M函数和(z)中，增加或减少一个复常数并不影响应力值，因此可以适当的选取K-M函数，使上式的常数为零。则
注意到
和
回代可得
公式的左边在外力给定的条件下，为边界点的确定函数。公式的右边为K-M函数由弹性体内部向边界趋近时的数值。
4、位移边界条件
下面再讨论位移边界条件，当边界位移给定时，设边界位移为
u=u,v=v
则根据位移边界条件，有
上式即为K-M函数表示的位移边界条件。
到此为止，求解弹性力学平面问题，由在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，变换为在给定的边界条件下寻找解析函数 和(z)的问题。
首先分别根据应力分量的单值条件，将K-M函数和(z)分解为单值解析函数和可能的多值函数两部份，构造可能的K-M函数和(z)的形式。然后根据位移的单值条件和内边界面力边界条件确定待定的系数。最后得到多连域中位移和应力分量单值连续的K-M函数形式。
学习要点
1、单连域中的单值解析函数和(z)在多连域中可能是多值的；
同理，x，y也可以表示为z和的函数，有
因此，应力函数也可以表示为复变函数z和 的函数，有
注意到
应力函数U（x，y）对坐标x，y的导数也可以表示为对复变函数z和 的求导运算，有
将上式的后两式相加，可以得到调和方程的复变函数表达形式
双调和方程的复变函数表达式为
2、双调和函数的复变函数形式
对于应力函数U（z）的复变函数表示。将双调和方程的复变函数表达式
§8.5多连域中φf(z)和(z)的一般表达式
学习思路：
本节的主要任务是确保描述应力和位移分量的K-M函数的单值性。
单连域中的单值解析函数和(z)在多连域可能不再是单值的。因此K-M函数和(z)表示的应力和位移形式也可能不再单值。要保证应力和位移分量的单值性，必须讨论K-M函数和(z)在多连域中的可能形式。
3、边界力矩与K-M函数的关系：
4、位移边界条件：
思考题：
1、根据上述面力边界条件说明：对于单连域弹性体，K-M函数为单值解析函数，而对于多连域，K-M函数将不再是单值的。（解答）
1、任意一点的面力边界条件复变函数表达
对于弹性力学平面问题，其面力边界条件为
将复变函数表示的应力分量表达式
代入上式，则
设AB为弹性体的任意一段边界，而s是从边界上一点A量取的弧长（边界的外法线n指向弧长的右边），如图所示
学习要点与思路：
本节工作是将位移分量表示为复变函数形式，通过K-M函数表达弹性体位移。
对于应力解法，如果应力函数满足变形协调方程，则单连域问题应力函数描述的变形已经是协调的。一般的讲，不需要专门分析位移。但是对于复变函数弹性力学解，处理的问题均为多连域问题，因此位移单值连续条件即使对于应力解法也是不可缺省的。
本节引入复变函数
，和
这主要是简化公式的描述，并没有增加未知函数。上述函数均称为K-M函数。
学习要点：
1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示；2、应力分量表达式
1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示
对于无体力的弹性力学问题。如果选取的应力分量满足
则上述应力分量自然是满足平衡微分方程的。这里的问题是选取的应力函数是复变函数形式表达的，而且是由K-M函数描述的。因此，应力分量也必须通过K-M函数表达。根据公式
1、分别将应力函数、应力分量、位移和边界条件等表示为复变函数形式，就是用K-M函数表示；
2、探讨无限大多连域中，K-M函数的表达形式，将其表示为级数形式；
3、利用保角变换将无限大多连域映射为单位圆，使得问题的边界条件简化；
4、将边界条件转化为柯西积分，求解级数系数，从而使得问题求解。
如果你还没有学习复变函数课程，请你学习附录2或者查阅有关参考资料。
但是对于多连域问题中，K-M函数 和(z)可能表现为多值函数，尽管它们在单连域中是单值连续的解析函数。
对于多连域弹性体S，具有m个内边界和一个外边界，而分别为内边界中的点，如图所示
那么如何选择这些K-M函数，才能保证应力分量和位移分量的单值连续条件呢。这里的原则是保证应力和位移分量的单值性，分别根据应力分量的单值条件，构造可能的K-M函数和(z)的形式，然后根据位移的单值条件和面力边界条件确定待定的系数。
在位移的复变函数表达式推导中，首先将几何方程代入物理方程的前两式，得到位移偏导数的表达式，这是K-M函数对x，y坐标的偏导数。积分确定位移表达式，并且根据物理方程的第三式，确定弹性体的刚体位移，写出K-M函数表达的位移复变函数表达形式。
学习要点：
1、K-M函数表达的位移偏导数表达式；2、积分确定位移分量；3、位移分量的复变函数表达形式
乘以2，并对 作积分，可得
对 再作一次积分，可得
对z作一次积分，可得
对z再作积分一次，可得
应力函数U(z)的复变函数表达式中，有四个待定函数。注意到应力函数为实函数，因此公式右边的复变函数的虚部必须为零。所以上述函数必须是两两共轭的，即
或者
因此应力函数可以用两个待定函数表示为
或者
上述公式称为古尔萨（Goursat）公式。公式将双调和函数通过两个复变函数
第八章
知识点
双调和方程的复变函数表达形式
应力分量复变函数表达式
应力分量的单值条件
多连域的K-M函数
无穷远应力与K-M函数
位移分量的曲线坐标表达
保角变换公式与K-M函数
柯西积分确定K-M函数
孔口应力
裂纹前缘应力分布
双调和函数的复变函数形式
位移分量的复变函数表达形式
位移分量的单值条件
无限大多连域中K-M函数的一般形式
本节首先将双调和方程表示为复变函数形式；然后通过积分用解析函数表示双调和函数。学习时应该注意：应力函数为实函数，通过复变函数表达的双调和函数也是实函数，因此应力函数虚部等于零。
上述分析的结果是使得应力函数通过两个单值解析函数和(z)表示。
和(z)称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M函数；或者称为复位势函数。
2、应力分量的单值条件；3、位移分量的单值条件；
4、多连域中位移和应力分量单值连续的K-M函数形式：
1、单连域中的单值解析函数和(z)在多连域中可能是多值的
对于弹性力学的应力解法，若K-M函数和(z)满足公式，即
则应力分量已经满足平衡微分方程，变形协调方程，对于单连域问题，
和(z)均为单值解析函数。根据边界条件，问题就可以求解。
将位移表达式代入上式，则
整理可得
根据柯西-黎曼条件，公式左边第一项为零，所以
因此，g(x)=x+ v0,f(x)=y+ u0。这一结果说明：g(x)和f(y)表示刚体位移，因此对于变形分析，可以略去不计。即公式可以表示为
3、位移分量的复变函数表达形式
将上述两式
相加，则可得K-M函数表示的位移分量。有