全微分的定义

= [ f ( x + Δx , y + Δy ) f ( x , y + Δy )]
+ [ f ( x , y + Δy ) f ( x , y )],
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 10
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x + Δx , y + Δy ) f ( x , y + Δy )
xy 2 x + y2 f ( x, y) = 0
微分存在． 全微分存在．
x2 + y2 ≠ 0 . x2 + y2 = 0
在点(0,0)处有
f x (0,0) = f y (0,0) = 0
2007年8月 8
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Δx Δy , Δz [ f x (0 Nhomakorabea0) Δx + f y (0,0) Δy ]= 2 2 ( Δx ) + ( Δy )
定理 1（必要条件） 如果函数 z = f ( x , y ) 在点
z ( x , y ) 可微分，则该函数在点 ( x , y ) 的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的全微分 y
z z dz = Δx + Δy ． y x
为
2007年8月
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6
证 如果函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 可微分,
P ′( x + Δx , y + Δy ) ∈ P 的某个邻域
Δ z = A Δ x + B Δ y + o( ρ )
总成立,
当 Δy = 0 时，上式仍成立，此时 ρ =| Δx |,
Δ f = f ( Δ x , Δ y ) f ( 0 ,0 )
1 = Δx Δy sin 2 2 ( Δx ) + ( Δy )
= o( ( Δ x ) + ( Δ y ) )
2 2
故 f ( x , y )在点( 0,0)可微
2007年8月
df
( 0,0 )
= 0.
20
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11
同理
f ( x , y + Δy ) f ( x , y )
当 Δy → 0 时，ε 2 → 0 ,
= f y ( x , y )Δy + ε 2 Δy ,
Δ z = f x ( x , y )Δ x + ε 1 Δx + f y ( x , y )Δ y + ε 2 Δ y
ε 1 Δx + ε 2 Δy →0 ∵ ≤ ε 1 + ε 2 ρ → 0, ρ
例5
解
计算(1.04)
2.02
的近似值.
设函数 f ( x , y ) = x y . 取 x = 1, y = 2, Δx = 0.04, Δy = 0.02.
∵ f (1, 2) = 1,
f x ( x , y ) = yx y 1 ,
f x (1, 2) = 2,
f y ( x , y ) = x y ln x ,
f ( x + Δx , y ) f ( x , y ) = A Δx + o(| Δx |),
f ( x + Δx , y ) f ( x , y ) z =A= , lim Δx → 0 x Δx
同理可得
2007年8月
z B= . y
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7
一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在 例 如，
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分
2007年8月
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2
全增量的概念
如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的某邻域内 有定义，并设 P ′( x + Δx , y + Δy )为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差
1 lim xy sin 2 则 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) x + y2 1 2 = lim ρ sinθ cosθ sin = 0 = f (0,0),
ρ →0
ρ
故函数在点( 0,0)连续,
f ( Δx ,0) f (0,0) 00 lim = lim = 0, f x (0,0) = Δx →0 Δx → 0 Δ x Δx
全微分
全微分的定义 可微条件
2007年8月
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1
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x + Δx , y ) f ( x , y ) ≈ f x ( x , y )Δx
f ( x , y + Δ y ) f ( x , y ) ≈ f y ( x , y )Δy
ρ →0
Δx → 0 Δy → 0
lim f ( x + Δx , y + Δy ) = lim[ f ( x , y ) + Δz ]
ρ →0
= f ( x, y)
故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
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二、可微的条件
多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
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全微分在近似计算中的应用
当二元函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的两 个偏导数 f x ( x , y ), f y ( x , y ) 连续，且 Δx , Δy 都较小时，有近似等式
同理
2007年8月
f y ( 0, 0 ) = 0.
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当( x , y ) ≠ ( 0,0) 时，
1 1 x2 y cos 2 , f x ( x , y ) = y sin 2 2 2 2 3 2 (x + y ) x +y x +y
当点 P ( x , y ) 沿直线 y = x 趋于 ( 0,0 ) 时,
( x , x )→ ( 0 , 0 )
lim
f x ( x, y)
1 1 x3 cos = lim x sin , 3 x →0 2| x| 2 2| x| 2 | x |
不存在.
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 19
所以 f x ( x , y )在( 0,0) 不连续. 同理可证 f y ( x , y ) 在( 0,0)不连续.
f y (1, 2) = 0,
由公式得 (1.04) 2.02 ≈ 1 + 2 × 0.04 + 0 × 0.02 = 1.08.
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 23
三、小结
１、多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法； ３、多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
故函数 z = f ( x , y )在点( x , y ) 处可微.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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z z 习惯上，记全微分为 dz = dx + dy . x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du = dx + dy + dz . x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
2007年8月
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例 1 计算函数 z = e xy 在点( 2,1) 处的全微分.
解
z xy = ye , x
z xy = xe , y
z z 2 2 =e , = 2e , x ( 2 ,1 ) y ( 2 ,1 )
= f x ( x + θ 1 Δx , y + Δy )Δx
(0 < θ 1 < 1)
= f x ( x , y )Δx + ε 1Δx （依偏导数的连续性）
其中ε 1 为Δx , Δy 的函数,
且当 Δx → 0, Δ y → 0 时，ε 1 → 0 .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
Δz ≈ dz = f x ( x , y ) Δx + f y ( x , y ) Δy.
也可写成
f ( x + Δx , y + Δy ) ≈ f ( x , y ) + f x ( x , y ) Δx + f y ( x , y ) Δy.
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函数在点( 0,0)处不可微.
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 9
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，
z z 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点( x , y ) x y
可微分．
定理２（充分条件） 如果函数 z = f ( x , y ) 的偏
证 Δz = f ( x + Δx , y + Δy ) f ( x , y )
4
2 z z π( 4 7 π ). dx + = dy = 8 x ( π , π ) y ( π , π )
4 4
南京航空航天大学 理学院 数学系 15
2007年8月
y 例 3 计算函数u = x + sin + e yz 的全微分. 2
解
u = 1, x
u 1 y yz = cos + ze , y 2 2
f ( x + Δx , y + Δy ) f ( x , y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量Δx , Δy 的全增 量，记为 Δz ， 即 Δz = f ( x + Δ x , y + Δ y ) f ( x , y )
2007年8月
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全微分的定义
如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量 Δz = f ( x + Δx , y + Δy ) f ( x , y ) 可以表示为 Δz = AΔx + BΔy + o( ρ ) ，其中 A, B 不依赖于
如果考虑点 P ′( Δ x , Δ y ) 沿着直线 y = x 趋近于 ( 0 ,0 ) ，
则
Δx Δy 2 2 ( Δx ) + ( Δy ) =
ρ
Δx Δx 1 = , 2 2 2 ( Δx ) + ( Δx )
说明它不能随着 ρ → 0 而趋于 0, 当 ρ → 0
时， Δz [ f x (0,0) Δx + f y (0,0) Δy ] ≠ o( ρ ),
u = ye yz , z
所求全微分
y 1 du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz . 2 2
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例4
试证函数
1 , ( x , y ) ≠ (0,0) xy sin 2 2 x +y 在 f ( x, y) = 0, ( x , y ) = (0,0)
所求全微分 dz = e dx + 2e dy .
2 2
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π 例 2 求函数 z = y cos( x 2 y ) ，当 x = ， y = π ， 4
dx =
解
π
4
，dy = π 时的全微分.
z = y sin( x 2 y ), x z = cos( x 2 y ) + 2 y sin( x 2 y ), y dz ( π , π )
2007年8月
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思考题 函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是: （1） f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处连续； ′ ′ （2） f x ( x , y ) 、 f y ( x , y )在点( x0 , y0 ) 的
点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0) 不连续，而 f 在点(0,0)可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
( x , y ) ≠ (0,0) ，( x , y ) = (0,0) 讨论.
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证 令 x = ρ cosθ , y = ρ sinθ ,
Δx , Δy 而仅与 x, y 有关， ρ = ( Δx ) + ( Δy ) ， 则称函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分， AΔx + BΔy 称为函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的 全微分，记为dz ，即 dz = AΔx + BΔy .
2 2
2007年8月
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4
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
事实上 Δz = AΔx + BΔy + o( ρ ), lim Δz = 0,