电路分析基础第五版第3章
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–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U
b
增补方程：U=7I3
解得： I1=-28.3A I2=-46.7A I3=-18.3A
注意 有受控源的电路，方程列写分两步：
① 先将受控源看作独立源列方程；
②将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方 程，消去中间变量。
§3-4 网孔电流法
结点a： –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
7I1–11I2=70-U
a
11I2+7I3= U 增补方程：I2=6A
I1 7 I2 11
+ 70V
1 6A + U
2
I3 7
解得：
–
-
I1=2A I2=6A I3=8A
b 设电流源 电压
a
解2
I1 7 I2 11
共2b个独立方程。
e
图
有向图
1. KCL的独立方程数
2
1
2
1 43
3
6
5
4
1
i1i4i6 0
2 i1i2i30 3 i2i5i6 0
4 i3i4i50
结论
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
n个节点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
2. KVL的独立方程数
2
1
2
对网孔列KVL方程：
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的 连支数：
bt n1
b lbb tb(n 1 )
②回路(Loop)
L是连通图的一个子图，构成一 条闭合路径，并满足：(1)连通，
13 2
75
6 84
(2)每个结点关联2条支路。
回路 23
12 75
5
84
不 是 回 路
1）对应一个图有很多的回路；
2、根据KVL及支路VAR 列每个网孔KVL方程，形 成网孔电流方程。
+
R1
i
R
m
4
1
u s1 +
u s4
R3
R2 +
R
5
im R6
2
u s2
+ im 3
u s3
(KVL)m1：R1im1+us1+R5(im1-im2)-us4+R4(im1-im3)=0 (KVL)m2：R2im2+us2+R6(im2-im3) +R5(im2-im1)=0 (KVL)m3：R3im3 +R4(im3-im1) +us4+R6(im3-im2) - us3 =0
+
R1
i
R
m 4
1
u s1
+
u s4
R2 +
R
5
im R6
2
u s2
+ im 3
向相反），取正值。如：R12、 R 3
u s3
R13 、R21 、R23 、R31 、R32 。
3、源电压：各网孔沿绕行方向上升的电源电压 代数和。如：us11,us22,us33
推广之，具有多个网孔的电路有相同形式的方程。
(4)联立求解可得各 支路电流。
小结 （1）支路电流法的一般步骤：
①标定各支路电流（电压）的参考方向； ②选定(n–1)个结点，列写其KCL方程； ③选定b–(n–1)个独立回路，指定回路绕行方向，结
合KVL和支路方程列写；
R kik uSk
④求解上述方程，得到b个支路电流； ⑤进一步计算支路电压和进行其它分析。
图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图，非连通图至少存 在两个分离部分。
(4)子图
若图G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称G1是G 的子图。
①树(Tree)
T是连通图的一个子图且满足下
列条件：
a. 连通 b. 包含所有结点 c. 不含闭合路径
树
不 是 树
树支：构成树的支路
连支：属于G而不属于T的支路
A
im2 = 1 A
所以： i1=im1=4/3A
i1 6Ω i2 6 i3
+ i3
+
9V i m 1
3
im 2ห้องสมุดไป่ตู้
3
i2=im2=1A i3=im1- im2 =4/3-1=1/3A 或 i3=i1- i2 =4/3-1=1/3A
四、总结
1、若电路中含有受控源时，一律视为独立源处 理，且补列控制量方程(用网孔电流表示)。 2、无受控源时，网孔电流方程中系数关于主对角 是对称的； 有受控源时，网孔电流方程中系数关 于主对角是不对称的； 3、自电阻总为正，互电阻可正可负。
+
u s6
R6
R 2 im 1 (R 2 R 5 )im 2 u s 2 u s 4
(KVL)m3：
R 3 im 1 (R 3 R 6 )im 3 u s 6 u s4
补列方程： is4 im2 im3
例4、用网孔分析法求 各支路电流。
解：
i1 6Ω i2 6 i3
+ i3
A
A
B
D
C
哥尼斯堡七桥难题
B
D
C 七桥问题的图
2. 电路的图
i
R1 R2
R3 R5
R4
+
_ uS
R6
元件的串联及并联 组合作为一条支路
n4b6
n5 b8
抛开元 件性质
1
8 3
5
2
4
1
3
5
2
4
6
7
6
图:一个元件作为 一条支路
有向图
结论
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图 中的支路和节点与电路的支路和节点一一对应。
应的基本回路。
1 45
86 3 72
5
86 7
4 86
3
4
8 2
3
注意
网孔为基本回路。
§3-2 KCL和KVL的独立方程数
对于具有n个节点、b条支路的电路
独立KCL方程(n-1)个， 独立KVL方程b-(n-1) 个， 元件电压与电流关系（VAR）
a
i1 b i4
i2 i6
i3 d
方程b个。
i5 c
( K ) m 3 V : _ R 4 i m L 1 _ R 6 i m 2 + ( R 3 + R 4 + R 6 ) i m 3 = u s 3 _ u s 4
+
三、规范化网孔电流方程列写
R 1im 11+R 1im 22+R 1im 33=us11
R1
i R
m 4
1
u s1
+
u s4
R 2im 11+R 2im 22+R 2im 33=us22 R 3
(n1 )[b(n1 ) ]b
§3-3 支路电流法
以支路电流为变量
KCL 独立的 KVL 独立的 VAR • 消去未知的支路电压，代之以未知的支路电 流作为回路方程中的变量
• 联立求解上述约束支路电流的独立节点方程 和独立回路方程，求出各支路电流
例： (1)选定各支路电流的参考方向并标示于图中。 (2)列写独立的KCL方程
① i1i4i60 ② i2i5i60 ③ i3i4i5 0
(3)选择基本回路，列写独立的KVL方程 R 1 i1 u s 1 R 4 i4 u s3 R 3 i3 0
R 3 i3 u s 3 R 5 i5 u s 2 R 2 i2 0
R 6i6R 5i5R 4i40
1 u1u3u40
1 43
3
2 u2u3u50
6
5
4
3 u4u5u60
1 - 2 u1u2u4u50
注意 可以证明通过对以上三个网孔方程进
行加、减运算可以得到其他回路的KVL方程
结论 ①KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)
②n个节点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方 程数为：
孔电流，
所以 Im2=2A 不必再列网孔2的方程。
网孔1的KVL方程： (20+30)Im1+30Im2=40 解得：Im1=-0.4A
故得：I=Im1+Im2=1.6A
例3、列网孔方程
解：
(KVL)m1：
im1 is1
(KVL)m2：
R1
is1
R2 + im1
R3
R5
i
m
u
2
s
u
2
s
4
+i s 4 i m 3
明 2）基本回路的数目是一定的，为连支数； 确 3）对于平面电路，网孔数等于基本回路数。
lbl b(n1)
基本回路(单连支回路) 基本回路具有独占的一条连支
6
5
6
45
2
1
3
2
1
3
2
1
3
结论
支路数＝树支数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
bnl1 结点、支路和
基本回路关系
例 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对
例1、用网孔分析法求各支路电流。
解：共有两个网孔，且只 含电压源和电阻，可
I1 5
直接用公式。
+
设参考方向如图。 20V 20
列网孔方程：
- Im1 I3
10 I2
+
Im2
10V
-
(5+20)Im1-20Im2=20
解得：Im1=1.143A
-20Im1+(10+20)Im2=-10
Im2=0.429A
所以： I1=Im1=1.143A I2=-Im2=-0.429A
I3=Im2 - Im1 =-0.714A
例2、用网孔分析法求流经30电阻的电流I。
解：电路中含电流源， 不能直接用公式。
20 50
设参考方向如图。
+
40V
I Im2 30
2A
网孔电流Im2是唯一流
- Im1
过含有电流源支路的网
整理得：
( K ) m 1 : V ( R 1 R 4 L R 5 ) i m 1 _ R 5 i m 2 _ R 4 i m 3 _ u s 1 u s 4
( K ) m V 2 :_ R 5 i L m 1 + ( R 2 + R 5 + R 6 ) im 2 _ R 6 im 3 = _ u s 2
7 7I1–11I2=70-6=64
–
–
b
11I2+7I3= 6
解得：
I1 6A
I2 2A
a
I1 7 I2 11 I3
+ 1+ 70V 6V
2
7
–
–
b
I3 4A
P70 V670 42W 0
P6V2612W
例2 求各支路电流。(电路中含有理想电流源）
解1 (1) n–1=1个KCL方程：
如图中im1、im2、im3
R1
i
R
m
4
1
u s1 +
u s4
R3
R2 +
R
5
im R6
2
u s2
+ im 3
u s3
电路中所有支路电流都可以用网孔电流线性表 示。
2、网孔分析法：以网孔电流为变量，运用KVL 求解电路的方法。
3、仅适用于平面电路。
二、网孔电流方程的建立
1、设网孔电流的参考方向
作为列方程时的回路绕 行方向。
+
9V i m 1
3
im 2
3
(K)V m 1 (6 L 3 )im 1 3 im 2 9
(K)m V 2 3 L im 1 (3 3 )im 2 6 i3
补列控制量方程 i3 im1 im2
整理 3im1 im2 3
3im1 4im2 0
解得：
im1
=
4 3
4、若独立支路含有独立电流源，则该电流源电 流即为该网孔电流，为已知。
若独立电流源在公共支路时，则用电压源替代， 多一个未知变量，补列电流方程(电流源电流用网 孔电流表示)。
⑴图的定义(Graph)
G={支路，节点}
①图中的节点和支路各自是一个整体。 ②移去图中的支路，与它所联接的节点依然
存在，因此允许有孤立节点存在。 ③如把节点移去，则应把与它联
接的全部支路同时移去。
(2)路径 (3)连通图
从图G的一个结点出发沿着一些支 路连续移动到达另一结点所经过的 支路构成路径。
（2）支路电流法的特点： 支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程列
写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多
的情况下使用。
例1 求各支路电流及各电压源发出的功率。
解： ① n–1=1个KCL方程：
I1 + 70V
a
7 I2 11
1+ 6V
2
I3
结点a： –I1–I2+I3=0
② b–( n–1)=2个KVL方程：
第三章 电阻电路的一般分析
教学目标
建立并深刻理解电路图论、支路电流、网孔
电流（回路电流）、节点电压的基本概念。
根据给定电路合理选择支路电流、网孔电流
（回路电流）、节点电压变量，建立方程组并 求解。
根据电路中的特殊问题合理假设相关电路变
量，并灵活运用电路分析方法求解电路。
§3-1 电路的图
1. 网络图论 图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味 和应用极为广泛的一门学科。
例：求图示电路各支路电流。
该图中有6条支路，4 个节点，3个网孔。
如果以支路电流为变 量，需要列出6个独 立的KCL、KVL方 程，才能求出各支路 电流。
+
R1 R4
u im1
s
1
+
R2 +
R5
R 6 im2 u s 2
u s 4 im3 +
R3
u s3
一、定义
+
1、网孔电流：是一种 沿着网孔边界流动的假 想电流。
R 3im 11+R 3im 22+R 3im 33=us33
R2 +
R
5
im R6
2
u s2
+ im 3
u s3
四、规范化网孔电流方程中参数含义
1、自电阻：各自网孔内所有电阻之和。永为正
值。如：R11、R22、R33。 2、互电阻：两网孔之间公有 电阻之和。有正值或负值， 两网孔电流流经互电阻的参 考方向一致时（网孔电流方
I3
+
6A +1
7
70V
U
–
-
b
由于I2已知，故只列写两个方程
结点a： –I1+I3=6
避开电流源支路选取回路： 7I1＋7I3=70
解得： I1=2A I2=6A I3=8A
例3
7 +
70V –
求各支路电流。(电路中含有受控源）
a
I1 I2 1+
5U_
11 + U
b
增补方程：U=7I3
解得： I1=-28.3A I2=-46.7A I3=-18.3A
注意 有受控源的电路，方程列写分两步：
① 先将受控源看作独立源列方程；
②将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方 程，消去中间变量。
§3-4 网孔电流法
结点a： –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
7I1–11I2=70-U
a
11I2+7I3= U 增补方程：I2=6A
I1 7 I2 11
+ 70V
1 6A + U
2
I3 7
解得：
–
-
I1=2A I2=6A I3=8A
b 设电流源 电压
a
解2
I1 7 I2 11
共2b个独立方程。
e
图
有向图
1. KCL的独立方程数
2
1
2
1 43
3
6
5
4
1
i1i4i6 0
2 i1i2i30 3 i2i5i6 0
4 i3i4i50
结论
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
n个节点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
2. KVL的独立方程数
2
1
2
对网孔列KVL方程：
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的 连支数：
bt n1
b lbb tb(n 1 )
②回路(Loop)
L是连通图的一个子图，构成一 条闭合路径，并满足：(1)连通，
13 2
75
6 84
(2)每个结点关联2条支路。
回路 23
12 75
5
84
不 是 回 路
1）对应一个图有很多的回路；
2、根据KVL及支路VAR 列每个网孔KVL方程，形 成网孔电流方程。
+
R1
i
R
m
4
1
u s1 +
u s4
R3
R2 +
R
5
im R6
2
u s2
+ im 3
u s3
(KVL)m1：R1im1+us1+R5(im1-im2)-us4+R4(im1-im3)=0 (KVL)m2：R2im2+us2+R6(im2-im3) +R5(im2-im1)=0 (KVL)m3：R3im3 +R4(im3-im1) +us4+R6(im3-im2) - us3 =0
+
R1
i
R
m 4
1
u s1
+
u s4
R2 +
R
5
im R6
2
u s2
+ im 3
向相反），取正值。如：R12、 R 3
u s3
R13 、R21 、R23 、R31 、R32 。
3、源电压：各网孔沿绕行方向上升的电源电压 代数和。如：us11,us22,us33
推广之，具有多个网孔的电路有相同形式的方程。
(4)联立求解可得各 支路电流。
小结 （1）支路电流法的一般步骤：
①标定各支路电流（电压）的参考方向； ②选定(n–1)个结点，列写其KCL方程； ③选定b–(n–1)个独立回路，指定回路绕行方向，结
合KVL和支路方程列写；
R kik uSk
④求解上述方程，得到b个支路电流； ⑤进一步计算支路电压和进行其它分析。
图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图，非连通图至少存 在两个分离部分。
(4)子图
若图G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称G1是G 的子图。
①树(Tree)
T是连通图的一个子图且满足下
列条件：
a. 连通 b. 包含所有结点 c. 不含闭合路径
树
不 是 树
树支：构成树的支路
连支：属于G而不属于T的支路
A
im2 = 1 A
所以： i1=im1=4/3A
i1 6Ω i2 6 i3
+ i3
+
9V i m 1
3
im 2ห้องสมุดไป่ตู้
3
i2=im2=1A i3=im1- im2 =4/3-1=1/3A 或 i3=i1- i2 =4/3-1=1/3A
四、总结
1、若电路中含有受控源时，一律视为独立源处 理，且补列控制量方程(用网孔电流表示)。 2、无受控源时，网孔电流方程中系数关于主对角 是对称的； 有受控源时，网孔电流方程中系数关 于主对角是不对称的； 3、自电阻总为正，互电阻可正可负。
+
u s6
R6
R 2 im 1 (R 2 R 5 )im 2 u s 2 u s 4
(KVL)m3：
R 3 im 1 (R 3 R 6 )im 3 u s 6 u s4
补列方程： is4 im2 im3
例4、用网孔分析法求 各支路电流。
解：
i1 6Ω i2 6 i3
+ i3
A
A
B
D
C
哥尼斯堡七桥难题
B
D
C 七桥问题的图
2. 电路的图
i
R1 R2
R3 R5
R4
+
_ uS
R6
元件的串联及并联 组合作为一条支路
n4b6
n5 b8
抛开元 件性质
1
8 3
5
2
4
1
3
5
2
4
6
7
6
图:一个元件作为 一条支路
有向图
结论
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图 中的支路和节点与电路的支路和节点一一对应。
应的基本回路。
1 45
86 3 72
5
86 7
4 86
3
4
8 2
3
注意
网孔为基本回路。
§3-2 KCL和KVL的独立方程数
对于具有n个节点、b条支路的电路
独立KCL方程(n-1)个， 独立KVL方程b-(n-1) 个， 元件电压与电流关系（VAR）
a
i1 b i4
i2 i6
i3 d
方程b个。
i5 c
( K ) m 3 V : _ R 4 i m L 1 _ R 6 i m 2 + ( R 3 + R 4 + R 6 ) i m 3 = u s 3 _ u s 4
+
三、规范化网孔电流方程列写
R 1im 11+R 1im 22+R 1im 33=us11
R1
i R
m 4
1
u s1
+
u s4
R 2im 11+R 2im 22+R 2im 33=us22 R 3
(n1 )[b(n1 ) ]b
§3-3 支路电流法
以支路电流为变量
KCL 独立的 KVL 独立的 VAR • 消去未知的支路电压，代之以未知的支路电 流作为回路方程中的变量
• 联立求解上述约束支路电流的独立节点方程 和独立回路方程，求出各支路电流
例： (1)选定各支路电流的参考方向并标示于图中。 (2)列写独立的KCL方程
① i1i4i60 ② i2i5i60 ③ i3i4i5 0
(3)选择基本回路，列写独立的KVL方程 R 1 i1 u s 1 R 4 i4 u s3 R 3 i3 0
R 3 i3 u s 3 R 5 i5 u s 2 R 2 i2 0
R 6i6R 5i5R 4i40
1 u1u3u40
1 43
3
2 u2u3u50
6
5
4
3 u4u5u60
1 - 2 u1u2u4u50
注意 可以证明通过对以上三个网孔方程进
行加、减运算可以得到其他回路的KVL方程
结论 ①KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)
②n个节点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方 程数为：
孔电流，
所以 Im2=2A 不必再列网孔2的方程。
网孔1的KVL方程： (20+30)Im1+30Im2=40 解得：Im1=-0.4A
故得：I=Im1+Im2=1.6A
例3、列网孔方程
解：
(KVL)m1：
im1 is1
(KVL)m2：
R1
is1
R2 + im1
R3
R5
i
m
u
2
s
u
2
s
4
+i s 4 i m 3
明 2）基本回路的数目是一定的，为连支数； 确 3）对于平面电路，网孔数等于基本回路数。
lbl b(n1)
基本回路(单连支回路) 基本回路具有独占的一条连支
6
5
6
45
2
1
3
2
1
3
2
1
3
结论
支路数＝树支数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
bnl1 结点、支路和
基本回路关系
例 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对
例1、用网孔分析法求各支路电流。
解：共有两个网孔，且只 含电压源和电阻，可
I1 5
直接用公式。
+
设参考方向如图。 20V 20
列网孔方程：
- Im1 I3
10 I2
+
Im2
10V
-
(5+20)Im1-20Im2=20
解得：Im1=1.143A
-20Im1+(10+20)Im2=-10
Im2=0.429A
所以： I1=Im1=1.143A I2=-Im2=-0.429A
I3=Im2 - Im1 =-0.714A
例2、用网孔分析法求流经30电阻的电流I。
解：电路中含电流源， 不能直接用公式。
20 50
设参考方向如图。
+
40V
I Im2 30
2A
网孔电流Im2是唯一流
- Im1
过含有电流源支路的网
整理得：
( K ) m 1 : V ( R 1 R 4 L R 5 ) i m 1 _ R 5 i m 2 _ R 4 i m 3 _ u s 1 u s 4
( K ) m V 2 :_ R 5 i L m 1 + ( R 2 + R 5 + R 6 ) im 2 _ R 6 im 3 = _ u s 2
7 7I1–11I2=70-6=64
–
–
b
11I2+7I3= 6
解得：
I1 6A
I2 2A
a
I1 7 I2 11 I3
+ 1+ 70V 6V
2
7
–
–
b
I3 4A
P70 V670 42W 0
P6V2612W
例2 求各支路电流。(电路中含有理想电流源）
解1 (1) n–1=1个KCL方程：
如图中im1、im2、im3
R1
i
R
m
4
1
u s1 +
u s4
R3
R2 +
R
5
im R6
2
u s2
+ im 3
u s3
电路中所有支路电流都可以用网孔电流线性表 示。
2、网孔分析法：以网孔电流为变量，运用KVL 求解电路的方法。
3、仅适用于平面电路。
二、网孔电流方程的建立
1、设网孔电流的参考方向
作为列方程时的回路绕 行方向。
+
9V i m 1
3
im 2
3
(K)V m 1 (6 L 3 )im 1 3 im 2 9
(K)m V 2 3 L im 1 (3 3 )im 2 6 i3
补列控制量方程 i3 im1 im2
整理 3im1 im2 3
3im1 4im2 0
解得：
im1
=
4 3
4、若独立支路含有独立电流源，则该电流源电 流即为该网孔电流，为已知。
若独立电流源在公共支路时，则用电压源替代， 多一个未知变量，补列电流方程(电流源电流用网 孔电流表示)。
⑴图的定义(Graph)
G={支路，节点}
①图中的节点和支路各自是一个整体。 ②移去图中的支路，与它所联接的节点依然
存在，因此允许有孤立节点存在。 ③如把节点移去，则应把与它联
接的全部支路同时移去。
(2)路径 (3)连通图
从图G的一个结点出发沿着一些支 路连续移动到达另一结点所经过的 支路构成路径。
（2）支路电流法的特点： 支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程列
写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多
的情况下使用。
例1 求各支路电流及各电压源发出的功率。
解： ① n–1=1个KCL方程：
I1 + 70V
a
7 I2 11
1+ 6V
2
I3
结点a： –I1–I2+I3=0
② b–( n–1)=2个KVL方程：
第三章 电阻电路的一般分析
教学目标
建立并深刻理解电路图论、支路电流、网孔
电流（回路电流）、节点电压的基本概念。
根据给定电路合理选择支路电流、网孔电流
（回路电流）、节点电压变量，建立方程组并 求解。
根据电路中的特殊问题合理假设相关电路变
量，并灵活运用电路分析方法求解电路。
§3-1 电路的图
1. 网络图论 图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味 和应用极为广泛的一门学科。
例：求图示电路各支路电流。
该图中有6条支路，4 个节点，3个网孔。
如果以支路电流为变 量，需要列出6个独 立的KCL、KVL方 程，才能求出各支路 电流。
+
R1 R4
u im1
s
1
+
R2 +
R5
R 6 im2 u s 2
u s 4 im3 +
R3
u s3
一、定义
+
1、网孔电流：是一种 沿着网孔边界流动的假 想电流。
R 3im 11+R 3im 22+R 3im 33=us33
R2 +
R
5
im R6
2
u s2
+ im 3
u s3
四、规范化网孔电流方程中参数含义
1、自电阻：各自网孔内所有电阻之和。永为正
值。如：R11、R22、R33。 2、互电阻：两网孔之间公有 电阻之和。有正值或负值， 两网孔电流流经互电阻的参 考方向一致时（网孔电流方
I3
+
6A +1
7
70V
U
–
-
b
由于I2已知，故只列写两个方程
结点a： –I1+I3=6
避开电流源支路选取回路： 7I1＋7I3=70
解得： I1=2A I2=6A I3=8A
例3
7 +
70V –
求各支路电流。(电路中含有受控源）
a
I1 I2 1+
5U_
11 + U