数学建模 - 第二章 线性规划及单纯形法
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p j a1 j , a2 j ,, amj 为A的第j列向量
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
18
§2 线性规划问题的图解法
由以上两例分析可得如下重要结论：
x j 0 ( j 1,2, , n)
c c1 , c2 , , cn 价值向量
max s.t.
z cx Ax b x0
z cx
(1) (2) (3)
x x1 , x2 ,, xn 决策向量
T
T
b b1 , b2 ,, bm , bi 0 右端向量
3、图示目标函数（等值线）和移动方向； 4、寻找最优解。
16
§2 线性规划问题的图解法
绿色线段上的所有点 都是最优解,即有无穷多 最优解。Zman=34.2
x2
x1 + 1.9 x2 = 11.4
（3.8,4）
max z =3x1 + 5.7x2 s.t. x1 + 1.9x2 ≥ 3.8 x1 - 1.9x2≤ 3.8 x1 + 1.9x2 ≤11.4 x1 - 1.9x2 ≥ -3.8 x1 ，x2 ≥ 0
A2 … Am
a11
a21 … am1
a12
…
a1n
b1
b2 … bm
a22 … a2n … … … am2 … amn
的总价格最低。
单 价
c1
c2
…
cn
5
第二章 解：
线性规划及单纯形法
表2 食品 最少
设 xj 为购买食
品 Bj 的数量 ( j=1,2,
…,n )
min
s.t.
营养
A1 A2 …
B1
c c1, c2 ,, cn 价值向量
x x1 , x2 , , xn 决策向量
T
什么意思？ 为什么？
b b1 , b2 , , bm , bi 0 右端向量
T
21
第二章
线性规划及单纯形法
定义 3 在上述 LP 问题中，约束方程组（2）的系数 矩阵 A 的任意一个 m×m 阶的非奇异的子方阵 B （即 |B|≠0），称为 LP 问题的一个基阵或基。
xi (i=1,2,…,m) 为基变量；
pj (j= m+1,…,n) 为非基向量;
pm1 , pm 2 , , pn
则
A = ( B, N )
22
xj (j= m+1,…,n) 为非基变量
§3 线性规划问题解的基本性质 A = ( B, N ) xB= (x1,…,xm)T , xN =(xm+1,…,xn)T
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
bi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）
3、所有决策变量
均非负。
9
第二章
线性规划及单纯形法
如何转化为标准形式？
cjxj 。 1、目标函数为求极小值，即为：min z j 1
n
因为求 min z 等价于求 max (-z)，令 z’ = - z， 即化为：
a11 a1m B p1 , p2 , , pm a a mm m1
记：
a1m 1 a1n N a a mn mm 1
称 pi (i=1,2,…,m) 为基向量;
max z c j x j
' j 1 n
xn+1 ≥ 0
2、约束条件为不等式，
松弛变量
a
j 1 n
n
ij
x j bi x j bi
a
j 1
n
ij
x j xn 1 bi
a
j 1
ij
如何处理？
10
§1 线性规划问题及其数学模型 ３、右端项bi < 0时，只需将等式两端同乘（-1） 则右端项必大于零 4、决策变量无非负约束
a11 a21 …
B2
a12
… Bn
… a1n
需要量
b1 b2 …
a22 … a2n … … …
z cj xj
j 1
n
Am
单 价
am1
c1
am2c2…ຫໍສະໝຸດ …amncn
bm
a
j 1
n
ij
x j bi
（i = 1,2,…,m） 0≤ xj ≤lj
xj≥0 （j = 1,2,…,n）
6
§1 线性规划问题及其数学模型 Note：
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第二章 线性规划及单纯形法
1
第二章
线性规划及单纯形法
线性规划（Linear Programming，简称LP） 运筹学的一个重要分支，是运筹学中研究较早、发展较
快、理论上较成熟和应用上极为广泛的一个分支。
1947年G.B. Dantying 提出了一般线性规划问题求解 的方法——单纯形法之后，线性规划的理论与应用都得
消耗，这两种资源的现有数量和每件产品可获得的利 润如表 1。 问：如何安排生产计划，
表1 产品 资源 A B
单件利润
甲 1 1 15
乙 3 1 25
库存量 60 40
使工厂获总利润最大？
3
第二章
线性规划及单纯形法
表1 产品
决策变量
解 ： 设 x1，x2 为下一个生
产周期产品甲和乙的产量； 约束条件： x1 + 3x2 ≤ 60 x1 + x2 ≤ 40 x1，x2 ≥ 0 目标函数：
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤（或=，≥）b2
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤（或=，≥）bm
xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n） 其中aij、bi、cj（i = 1,2,…,m；j = 1,2,…,n）为已知
常数
8
§1 线性规划问题及其数学模型
e.g. 3 试将 LP 问题
min z = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 ≤7 x1-x2+x3 ≥2 -3x1+x2+2x3 = -5 x1,x2 ≥0 化为标准形式。
解： 令 x3= x4 - x5 其中x4、x5 ≥0；
对第一个约束条件加上松弛变量 x6 ；
对第二个约束条件减去松弛变量 x7 ； 对第三个约束条件两边乘以“-1” ； 令 z’=-z 把求 min z 改为求 max z’
则 x xB , xN
xB B N b. xN
代入约束方程（2），得
1
BxB Nxn b
1
自由变量 （独立变量）
令
xN 0
xB B b B NxN
xB B1b
(4)
B 1b x 0
12
§1 线性规划问题及其数学模型
LP的几种表示形式：
max s.t. z cj xj
j 1 n n
a
j 1
ij
x j bi (i 1,2, , m)
a11 a A 21 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n 系数矩阵 a mn
1、LP 问题从解的角度可分为：
a.有唯一最优解
⑴ 有可行解 ⑵ 无可行解
b.有无穷多最优解
c.无最优解
2、LP 问题若有最优解，必在可行域的某个顶点上取
到；若有两个顶点上同时取到，则这两点的连线上
任一点都是最优解。
19
§2 线性规划问题的图解法
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点：
资源
A B
单件利润
甲
1 1 15
乙
3 1 25
库存量
60 40
max z = 15x1 +25x2 s.t. x1 + 3x2 ≤ 60
z = 15 x1 +25 x2
Subject to
x1 + x2 ≤ 40
x1，x2 ≥ 0
4
§1 线性规划问题及其数学模型
e.g. 2 营养问题
假定在市场上可买到 B1,B2,…Bn n 种食品，第 i 种
特点：
线性规划问题的标准形式：
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
1、目标函数为极 大化； 2、除决策变量的 非负约束外，所有 的约束条件都是等 式，且右端常数均 为非负；
x1 - 1.9 x2 = -3.8
(0,2)
D
x1 - 1.9 x2 = 3.8
（7.6,2）
34.2 = 3 x1 +5.7 x2
可行域
max Z (3.8,0) min Z
o
0=3 x1 +5.7 x2
x1 + 1.9 x2= 3.8
x1
17
第二章
线性规划及单纯形法
可行域为无界 区域一定无最 优解吗？
1、善于抓住关键因素，忽略对系统影响不大的因素； 2、可以把一个大系统合理地分解成 n 个子系统处理。
三个基本要素：
1、决策变量
xj≥0
2、约束条件 —— 一组决策变量的线性等式或不等式
3、目标函数 —— 决策变量的线性函数
7
第二章
线性规划及单纯形法
线性规划问题的一般形式： max（min）z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤（或=，≥）b1
到了极大的发展。 60年来，随着计算机的发展，线性规划已广泛应用
于工业、农业、商业、交通运输、经济管理和国防等各 个领域，成为现代化管理的有力工具之一。
2
§1 线性规划问题及其数学模型
e.g. 1 资源的合理利用问题
某工厂在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，
要消耗A、B两种资源，已知每件产品对这两种资源的
x1，x2 ≥ 0
最优解：
B (30,10)
A (0,20)
x1=30 x2 =10
x1 3x2 60
C
最优值：zmax=700
x1
L1
15
(0,0) O Z=250
(40,0)
L2
第二章
线性规划及单纯形法
LP问题图解法的基本步骤：
1、在平面上建立直角坐标系； 2、图示约束条件，确定可行域和顶点坐标；
食品的单价是 ci , 另外有 m 种营养 A1,A2,…Am。设 Bj
内含有 Ai 种营养数量为 aij (i=1~m,j=1~n)，又知人们每 天对 Ai 营养的最少 需要量为 bi。见表2： 试在满足营养要
表2
食品 营养 B1 B2 … Bn 最少 需要量
求的前提下，确定食
品的购买量，使食品
A1
只能解决低维问题，对高维无能为力。
20
§3 线性规划问题解的基本性质
讨论如下 LP 问题：
max s.t. zc x Ax b x0 (1)
2
(3)
假设 A 的秩为 m ,
且只讨论 m < n 的情 形。
其中
a11 a12 a1n a a a 2n A 21 22 系数矩阵 a a a mn m1 m 2
的最优解，相应的目标函数值称为最优值，
记作 z*=c x*。
14
§2 线性规划问题的图解法 目标函数变形： x2=-3/5 x1+z/25 x2
x1 x2 40
max z = 15x1 +25x2
s.t. x1 + 3x2 ≤ 60 x1 + x2 ≤ 40
B点是使z达到最 大的唯一可行点
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
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第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
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§2 线性规划问题的图解法
由以上两例分析可得如下重要结论：
x j 0 ( j 1,2, , n)
c c1 , c2 , , cn 价值向量
max s.t.
z cx Ax b x0
z cx
(1) (2) (3)
x x1 , x2 ,, xn 决策向量
T
T
b b1 , b2 ,, bm , bi 0 右端向量
3、图示目标函数（等值线）和移动方向； 4、寻找最优解。
16
§2 线性规划问题的图解法
绿色线段上的所有点 都是最优解,即有无穷多 最优解。Zman=34.2
x2
x1 + 1.9 x2 = 11.4
（3.8,4）
max z =3x1 + 5.7x2 s.t. x1 + 1.9x2 ≥ 3.8 x1 - 1.9x2≤ 3.8 x1 + 1.9x2 ≤11.4 x1 - 1.9x2 ≥ -3.8 x1 ，x2 ≥ 0
A2 … Am
a11
a21 … am1
a12
…
a1n
b1
b2 … bm
a22 … a2n … … … am2 … amn
的总价格最低。
单 价
c1
c2
…
cn
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第二章 解：
线性规划及单纯形法
表2 食品 最少
设 xj 为购买食
品 Bj 的数量 ( j=1,2,
…,n )
min
s.t.
营养
A1 A2 …
B1
c c1, c2 ,, cn 价值向量
x x1 , x2 , , xn 决策向量
T
什么意思？ 为什么？
b b1 , b2 , , bm , bi 0 右端向量
T
21
第二章
线性规划及单纯形法
定义 3 在上述 LP 问题中，约束方程组（2）的系数 矩阵 A 的任意一个 m×m 阶的非奇异的子方阵 B （即 |B|≠0），称为 LP 问题的一个基阵或基。
xi (i=1,2,…,m) 为基变量；
pj (j= m+1,…,n) 为非基向量;
pm1 , pm 2 , , pn
则
A = ( B, N )
22
xj (j= m+1,…,n) 为非基变量
§3 线性规划问题解的基本性质 A = ( B, N ) xB= (x1,…,xm)T , xN =(xm+1,…,xn)T
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
bi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）
3、所有决策变量
均非负。
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第二章
线性规划及单纯形法
如何转化为标准形式？
cjxj 。 1、目标函数为求极小值，即为：min z j 1
n
因为求 min z 等价于求 max (-z)，令 z’ = - z， 即化为：
a11 a1m B p1 , p2 , , pm a a mm m1
记：
a1m 1 a1n N a a mn mm 1
称 pi (i=1,2,…,m) 为基向量;
max z c j x j
' j 1 n
xn+1 ≥ 0
2、约束条件为不等式，
松弛变量
a
j 1 n
n
ij
x j bi x j bi
a
j 1
n
ij
x j xn 1 bi
a
j 1
ij
如何处理？
10
§1 线性规划问题及其数学模型 ３、右端项bi < 0时，只需将等式两端同乘（-1） 则右端项必大于零 4、决策变量无非负约束
a11 a21 …
B2
a12
… Bn
… a1n
需要量
b1 b2 …
a22 … a2n … … …
z cj xj
j 1
n
Am
单 价
am1
c1
am2c2…ຫໍສະໝຸດ …amncn
bm
a
j 1
n
ij
x j bi
（i = 1,2,…,m） 0≤ xj ≤lj
xj≥0 （j = 1,2,…,n）
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§1 线性规划问题及其数学模型 Note：
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第二章 线性规划及单纯形法
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第二章
线性规划及单纯形法
线性规划（Linear Programming，简称LP） 运筹学的一个重要分支，是运筹学中研究较早、发展较
快、理论上较成熟和应用上极为广泛的一个分支。
1947年G.B. Dantying 提出了一般线性规划问题求解 的方法——单纯形法之后，线性规划的理论与应用都得
消耗，这两种资源的现有数量和每件产品可获得的利 润如表 1。 问：如何安排生产计划，
表1 产品 资源 A B
单件利润
甲 1 1 15
乙 3 1 25
库存量 60 40
使工厂获总利润最大？
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第二章
线性规划及单纯形法
表1 产品
决策变量
解 ： 设 x1，x2 为下一个生
产周期产品甲和乙的产量； 约束条件： x1 + 3x2 ≤ 60 x1 + x2 ≤ 40 x1，x2 ≥ 0 目标函数：
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤（或=，≥）b2
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤（或=，≥）bm
xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n） 其中aij、bi、cj（i = 1,2,…,m；j = 1,2,…,n）为已知
常数
8
§1 线性规划问题及其数学模型
e.g. 3 试将 LP 问题
min z = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 ≤7 x1-x2+x3 ≥2 -3x1+x2+2x3 = -5 x1,x2 ≥0 化为标准形式。
解： 令 x3= x4 - x5 其中x4、x5 ≥0；
对第一个约束条件加上松弛变量 x6 ；
对第二个约束条件减去松弛变量 x7 ； 对第三个约束条件两边乘以“-1” ； 令 z’=-z 把求 min z 改为求 max z’
则 x xB , xN
xB B N b. xN
代入约束方程（2），得
1
BxB Nxn b
1
自由变量 （独立变量）
令
xN 0
xB B b B NxN
xB B1b
(4)
B 1b x 0
12
§1 线性规划问题及其数学模型
LP的几种表示形式：
max s.t. z cj xj
j 1 n n
a
j 1
ij
x j bi (i 1,2, , m)
a11 a A 21 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n 系数矩阵 a mn
1、LP 问题从解的角度可分为：
a.有唯一最优解
⑴ 有可行解 ⑵ 无可行解
b.有无穷多最优解
c.无最优解
2、LP 问题若有最优解，必在可行域的某个顶点上取
到；若有两个顶点上同时取到，则这两点的连线上
任一点都是最优解。
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§2 线性规划问题的图解法
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点：
资源
A B
单件利润
甲
1 1 15
乙
3 1 25
库存量
60 40
max z = 15x1 +25x2 s.t. x1 + 3x2 ≤ 60
z = 15 x1 +25 x2
Subject to
x1 + x2 ≤ 40
x1，x2 ≥ 0
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§1 线性规划问题及其数学模型
e.g. 2 营养问题
假定在市场上可买到 B1,B2,…Bn n 种食品，第 i 种
特点：
线性规划问题的标准形式：
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
1、目标函数为极 大化； 2、除决策变量的 非负约束外，所有 的约束条件都是等 式，且右端常数均 为非负；
x1 - 1.9 x2 = -3.8
(0,2)
D
x1 - 1.9 x2 = 3.8
（7.6,2）
34.2 = 3 x1 +5.7 x2
可行域
max Z (3.8,0) min Z
o
0=3 x1 +5.7 x2
x1 + 1.9 x2= 3.8
x1
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第二章
线性规划及单纯形法
可行域为无界 区域一定无最 优解吗？
1、善于抓住关键因素，忽略对系统影响不大的因素； 2、可以把一个大系统合理地分解成 n 个子系统处理。
三个基本要素：
1、决策变量
xj≥0
2、约束条件 —— 一组决策变量的线性等式或不等式
3、目标函数 —— 决策变量的线性函数
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第二章
线性规划及单纯形法
线性规划问题的一般形式： max（min）z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤（或=，≥）b1
到了极大的发展。 60年来，随着计算机的发展，线性规划已广泛应用
于工业、农业、商业、交通运输、经济管理和国防等各 个领域，成为现代化管理的有力工具之一。
2
§1 线性规划问题及其数学模型
e.g. 1 资源的合理利用问题
某工厂在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，
要消耗A、B两种资源，已知每件产品对这两种资源的
x1，x2 ≥ 0
最优解：
B (30,10)
A (0,20)
x1=30 x2 =10
x1 3x2 60
C
最优值：zmax=700
x1
L1
15
(0,0) O Z=250
(40,0)
L2
第二章
线性规划及单纯形法
LP问题图解法的基本步骤：
1、在平面上建立直角坐标系； 2、图示约束条件，确定可行域和顶点坐标；
食品的单价是 ci , 另外有 m 种营养 A1,A2,…Am。设 Bj
内含有 Ai 种营养数量为 aij (i=1~m,j=1~n)，又知人们每 天对 Ai 营养的最少 需要量为 bi。见表2： 试在满足营养要
表2
食品 营养 B1 B2 … Bn 最少 需要量
求的前提下，确定食
品的购买量，使食品
A1
只能解决低维问题，对高维无能为力。
20
§3 线性规划问题解的基本性质
讨论如下 LP 问题：
max s.t. zc x Ax b x0 (1)
2
(3)
假设 A 的秩为 m ,
且只讨论 m < n 的情 形。
其中
a11 a12 a1n a a a 2n A 21 22 系数矩阵 a a a mn m1 m 2
的最优解，相应的目标函数值称为最优值，
记作 z*=c x*。
14
§2 线性规划问题的图解法 目标函数变形： x2=-3/5 x1+z/25 x2
x1 x2 40
max z = 15x1 +25x2
s.t. x1 + 3x2 ≤ 60 x1 + x2 ≤ 40
B点是使z达到最 大的唯一可行点