2012高三数学寒假作业(3)

2 2
1 ab sin C 2
2 2
所以
3 1 ab sin 2 2 6
由余弦定理得 1 a b 2ab cos 所以 a b 2 3 由正弦定理得

6
a 2 b2 6
sin A sin B sin C 1 a b c 2
所以 sin A sin B
②△ABC 可能是直角三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形
x x x 3 cos sin 2 2 2
（1）设 x
，且 f ( x) 3 1 ，求 x 的值； , 2 2
（2）在 ABC 中， AB 1, f (C) 3 1 ，且 ABC 的面积为
） Ｃ．7 Ｄ．
上的点，则 PM PN 的最大值为（ Ａ．9 Ｂ．8
5 x 11y 22, 12. 某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 须满足约束条件 2 x 3 y 9, 则 z=10x+10y 2 x 11.
的最大值是 (A)80 (B) 85 二、填空题： (C) 90
（I）求 a，b 的值； （II）证明： f ( x) 2 x 2 ．
x2 y 2 21.如图，椭圆 C : 2 1 的焦点在 x 轴上，左右顶点分别为 A1 , A ，上顶点为 B，抛物线 C1 , C2 a 2
分别以 A,B 为焦点，其顶点均为坐标原点 O， C1 与 C2 相交于直线 y 2 x 上一点 P. （1）求椭圆 C 及抛物线 C1 , C2 的方程； （2） 若动直线 l 与直线 OP 垂直， 且与椭圆 C 交于不同的两点 M,N， 已知点 Q 2, 0 ， 求Q M Q N 的最小值.
5 5 1 1 在 △ CED 中 ， ED= 2 AC 1= 2 ， CD= 2 AB= 2 ， 1 CE= 2 CB1=2 2 ，
cos CED
∴
8 5 22 2 2

2 2 5
，
2 2 ∴ 异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值 5 .
b f ( x) 1 2ax . x 20. （I）

2
x x x 2sin cos = 3(1 cos x) sin x = 2cos x 3 2 2 2 6
由 2cos x


1 3 3 1 ，得 cos( x 6 ) 2 ， 6
因为 x 于是 x
A． 1, 2
B． 1,
C． 0, 2
D．
,1
）
9.若直线 y x b 与曲线 y 3 4 x x 2 有公共点，则 b 的取值范围是（ A.[ 1 2 2 , 1 2 2 ] C.[ 1 2 2 ,3] 10. 已知 x0 是函数 f ( x) 2 x （A） f x1 0, f x2 0 （C） f x1 0, f x2 0 11. P 为双曲线 B.[ 1 2 ,3] D.[-1, 1 2 2 ]
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线 OP 的斜率为 2 ，所以直线 l 的斜率为
2 2
设直线 l 方程为 y
2 xb 2
x2 y2 1 16 2 由 ，整理得 5x 2 8 2bx (8b 2 16) 0 „„„„ 6 分 y 2 x b 2

2
2x f ( x) k 有几个零点？（注： ln(1 x ) 1 2 1 x
2 '
2
）
DCBAA 13.
高三数学寒假作业（三）答案 BDBCB AC 14. 6 ; 15.
2 ; 2
1 3 或 ； 2 2
16.（1） （ 4）
17.（1） f ( x) 2 3 cos
7.若对 a (,0), x0 R, 使 a cos x0 a 成立，则 cos x 0 （ 6
A.
1 2
B.
2
3 2
2
C.
1 2
D.
3 2
8. 已知不等式 xy ax 2 y 对于 x 1, 2 ， y 2,3 恒成立，则实数 a 的取值范围是 （ ）
CC1 AC
AC 面 B1BCC1
B1C 面 B1BCC1
AC⊥BC1；
（II）设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE，∵ D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点，∴ DE//AC1， ∵ DE 平面 CDB1，AC1 平面 CDB1，∴ AC1//平面 CDB1； （III）∵ DE//AC1，∴ ∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的 角，
3 ，求 sin A sin B 的值. 2
18.已知{ an }是公比为 q 的等比数列，且 a1 , a3 , a2 成等差数列. （Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ）设{ bn }是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的 大小，并说明理由.
1 3 (a b) 1 2 2
18. （Ⅰ）由题设 2a3 a1 a2 ,即2a1q 2 a1 a1q,
a1 0, 2q 2 q 1 0.
1 q 1或 . 2
（Ⅱ）若 q 1, 则S n 2n 当 n 2时, S n bn S n 1 若q
2 2
(D)95
13. 过点（1， 2）的直线 l 将圆(x－2) ＋y ＝4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k＝ ． 14. 已知向量 a (x-1,2), b =(4,y),若 a b ，则 9 3 的最小值为
x y




.
15. 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1 , F2 ， 若曲线 r 上存在点 P 满足 PF 1 : F 1F 2 : PF 2 4: 3: 2 ， 则曲线 r 的离心率等于 16.已知函数 f ( x) e x x ，对于曲线 y f ( x) 上横坐标成等差数列的三个点 A，B，C，给出以下 判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 三、解答题 17.已知函数 f ( x) 2cos
1 4
B．
2 4
C．
3 4
D．
2 3
)
3.“m=
1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0 相互垂直”的( 2
（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 4. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ) A． 8
2 3
B． 8 D．
3
C． 8 2
2 3
5. 若 函 数
f ( x) (k 1)a x a x (a 0且a 1) 在 R 上 既 是 奇 函 数 ， 又 是 减 函 数 ， 则
）
g ( x) loga ( x k ) 的图象是（
6. 已知 an 为等差数列， a1 a3 a5 105 ， a2 a4 a6 99 ，以 Sn 表示 an 的前 n 项和，则 使得 Sn 达到最大值的 n 是 ( （A）21 （B）20 ) （C）19 （D） 18 ）
2
g ( x) 1 2 x
3 ( x 1)(2 x 3) . x x
当0 x 1时, g ( x) 0;当x 1时, g ( x) 0. 所以g ( x)在(0,1)单调增加, 在(1, )单调减少.
而 g (1) 0, 故当x 0时, g ( x) 0,即f ( x) 2 x 2. 21. 解： （Ⅰ）由题意，A（ a ，0） ，B（0， 2 ） ，故抛物线 C1 的方程可设为 y 4ax ，C2 的方程
高三数学寒假作业（3）
命题人：张光明 审核人：郭领刚
一、选择题： 1.定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝ ，设集合 A=｛0，1｝ ，B=｛2，3｝ ，则集合 A ⊙B 的所有元素之和为( ) （A）0 （B）6 （C）12 （D）18 o s B( 2. 三角形 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 若 a、 b、 c 成等比数列， 且 c 2a ， 则c ) A．
1 的一个零点,若 x1 1, x0 , x2 x0 , ,则( 1 x
（B） f x1 0, f x2 0 （D） f x1 0, f x2 0
)
x2 y 2 1 的右支上一点， M ， N 分别是圆 ( x 5)2 y 2 4 和 ( x 5)2 y 2 1 9 16
2 , ， 所以 x , 6 3 3 2 2
6


3
或x

6


3
所以 x

2
或
6
（2）因为 C 0, ，由（1）知 C 又因 S ABC

6
于是 ab 2 3 所以 a b 7
2
为 x 2 4 2 y „„„„ 1 分
y 2 4 ax 2 由 x 4 2 y y 2x
所以椭圆 C:
得 a 4, P(8,8 2 ) „„„„ 3 分
x2 y2 1 ，抛物线 C1： y 2 16x, 抛物线 C2： x 2 4 2 y „5 分 16 2



F ( x ) f ( x) 2 ， 22.已知函数 f ( x) x2 b sin x 2 ， 且对于任意实数 x， 恒有 F ( x) F ( x) 0 .
（1）求函数 f ( x ) 的解析式； （2）已知函数 g ( x) f ( x) 2( x 1) a ln x 在区间 0,1 上单调递减，求实数 a 的取值范围； （3）函数 h( x) ln 1 x
故对于 n N ,当2 n 9时, S n bn ;当n 10 时, S n bn ;当n 11 时, S n bn . 19. （I）直三棱柱 ABC－A1B1C1，底面三边长 AC=3，BC=4，AB=5， ∴ AC⊥BC， 又因为 CC1 面 ABC 又 CC1 BC C
f (1) 0, 1 a 0, 即 (1) 2. 1 2a b 2. f 由已知条件得 ，解得 a 1, b 3.
（II） f ( x)的定义域为(0, ) ，由（I）知 f ( x) x x 3ln x.
2
设 g ( x) f ( x) (2x 2) 2 x x 3ln x, 则
19. 如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，AB=5. 点 D 是 AB 的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面 CDB1； (理做)（III）求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值．
2 20. 设函数 f ( x) x ax b ln x ，曲线 y f ( x) 过 P（1,0） ，且在 P 点处的切斜线率为 2．
n(n 1) n 2 3n 1 . 2 2
(n 1)( n 2) 0. 故 S n bn . 2
1 n(n 1) 1 n 2 9n , 则S n 2n ( ) . 2 2 2 4
(n 1)( n 10) , 4
当 n 2时, S n bn S n 1